专题03四边形易错必刷题型专练(25大题型共计82题)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题03四边形易错必刷题型专练 题型01.利用平行四边形性质求解 题型02.证明四边形是平行四边形 题型03.平行四边形性质与判定应用 题型04.添条件成为平行四边形 题型05.已知三点求平行四边形第四个点 题型06.平行四边形性质证明 题型07.矩形的性质计算 题型08.矩形折叠问题 题型09.矩形判定证明 题型10.补充条件判定矩形 题型11.求矩形在坐标系中的坐标 题型12.菱形的性质计算 题型13.菱形判定证明 题型14.补充条件判定菱形 题型15.菱形折叠问题 题型16.正方形折叠问题 题型17.正方形性质计算 题型18.正方形判定证明 题型19.补充条件判定正方形 题型20.正方形重叠面积计算 题型21.特殊平行四边形动点问题 题型22.四边形线段最值问题 题型23.特殊平行四边形对称性求阴影面积 题型24.三角形中位线求解问题 题型25.中点四边形 【易错必刷题型一.利用平行四边形性质求解】 1．如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是平行四边形，得，，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 2．在中，如果，那么______． 【答案】135 【分析】本题考查平行四边形的性质． 解题思路是利用平行四边形对边平行的性质，结合平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，的面积为12，，，，垂足为点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得到，再由面积求出，从而在中根据勾股定理求得，因此，再由等边对等角即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 【易错必刷题型二.证明四边形是平行四边形】 4．如图，四边形的对角线，交于点，，．当_____时，四边形是平行四边形． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知对角线互相平分，根据平行四边形判定定理，需对角线也互相平分，从而计算的长度． 【详解】解：∵已知 ，即对角线被点平分． ∴要使四边形是平行四边形，对角线也必须被点平分，即 ∵，且 ∴ 当时，四边形是平行四边形． 故答案为：． 5．已知四边形中，交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，需逐一分析各条件能否判定四边形为平行四边形，最终得到正确选项． 【详解】解：选项A：当时，四边形可以是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故A错误． 选项B：当时，无法推出对角线互相平分或两组对边平行相等，不能判定是平行四边形，故B错误． 选项C：当 时，无法推出两组对边分别平行，不能判定是平行四边形，故C错误． 选项D：， ． ， ， ， 四边形中两组对边分别平行，因此四边形是平行四边形，故D正确． 6．如图，在中，是对角线，，，垂足分别为E，F，连接，． (1)线段与线段的关系为________． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)平行且相等 (2)见解析 【分析】(1) 利用平行四边形的性质得到且，从而得到内错角相等，结合垂直条件利用AAS证明三角形全等，得出，再由垂直于同一直线的两条直线平行得出． (2) 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴且． （2）解：∵且， ∴四边形是平行四边形． 【易错必刷题型三.平行四边形性质与判定应用】 7．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用． 先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 9．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 【易错必刷题型四.添条件成为平行四边形】 10．如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题先通过已知的和，计算得出，依据“同旁内角互补，两直线平行”得到，再结合平行四边形的判定定理，得出添加，或、等条件，都能判定四边形是平行四边形． 【详解】解：已知  ， ，则， 根据同旁内角互补，两直线平行，可得， 根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此添加，或、都可判定四边形是平行四边形． 故这个条件可以是：，答案不唯一，也可填、等． 11．如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时，四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 12．如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为．    解答下列问题： (1)线段 ， （用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)t， (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，解一元一次方程，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段；点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； （2）由是边上的高，可得双勾股模型，由此列方程即可求解； （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意，，列式计算即可． 【详解】（1）∵点E由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段； ∵点G从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． （2）∵是边上的高， ∴，， ∵，， ∴， 解得． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当在线段上时，如图，此时，    根据题意，得， 解得．    当在线段上时，如图，此时， 根据题意，得， 解得，不合题意舍去． 故当时，以E、、、G为顶点的四边形是平行四边形． 【易错必刷题型五.已知三点求平行四边形第四个点】 13．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 【易错必刷题型六.平行四边形性质证明】 16．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交边于点．若，，则的长为______．    【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．设与交于点，利用尺规作图得出，，则可得，，利用四边形是平行四边形，结合，得出，则可得，即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点，    ∵以点为圆心，长为半径画弧，交边于点， ∴， ∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质判断所给结论即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 无法根据已知条件得到， 所以正确的是①②④⑤． 18．如图，在平行四边形中，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质得到，，证明出即可得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【易错必刷题型七.矩形的性质计算.】 19．如图，已知矩形的对角线、相交于点O，，垂足为H，如果，那么______°． 【答案】35 【分析】根据题意，得，根据，得到，求解即可； 【详解】解：矩形的对角线、相交于点O， ， ， ， ， ， ， ， ； 20．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 21．如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 【答案】 【分析】作于M，交于N，根据矩形的性质可得 即可求解． 【详解】解：作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴ ∴， ∴ 22．如图，菱形的对角线，相交于点O，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由两对对边平行证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得，，再由勾股定理求出，再求矩形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，， 在中，，， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 23．在矩形中，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若分别是中点，请证明四边形一定是怎样的四边形（相遇时除外） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为矩形时或 【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ， ， 分别是中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， ， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ， ， ； 综上，四边形为矩形时或. 24．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，即证四边形是矩形； （2）根据勾股定理求得，根据平分，以及得出得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形 ，    平分 ， 的面积． 【易错必刷题型八.矩形折叠问题.】 25．如图，矩形纸片中，，，将此矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】24 【分析】由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理可得， 即，解得， 的面积为：． 26．如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在线段上．若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由折叠的性质得到，从而得出,，，，，利用矩形的性质推出，通过等边对等角得到，进而表示出，最终由勾股定理列方程求得结果． 【详解】解：∵是由沿着对折得到的， ∴， ∴,，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 27．在矩形纸片中，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，和相交于点，求的长； (2)图①中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)如图②将矩形纸片折叠，使与重合，求折痕的长． 【答案】(1)cm (2)等腰梯形，见解析 (3)cm 【分析】（1）通过折叠的性质，和矩形对边平行的性质，得到，从而得到，再设参数，利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）中的关系，求出，利用等边对等角和对顶角相等，得到，从而得到，再通过折叠的性质，和矩形对边相等的性质，得到，即可得到四边形的形状； （3）连接，先通过折叠的性质，和矩形的性质，确定和互相垂直平分，利用（1）的结论，通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质，得， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （2）解：等腰梯形．理由如下： 由折叠性质，得，， 在矩形中，，， ∴，， 由（1），得， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴， 又与不平行， ∴四边形是梯形， 又， ∴四边形是等腰梯形． （3）解：如图，连接，设交于点O，则由折叠的性质，得，，且点O为中点， 在矩形中，， ∴， 又，， ∴， ∴，， 由（1），得， ∴， ∴， 同（1）理，得， 在中，， 解得， ∴． 【易错必刷题型九.矩形判定证明】 28．如图，在中，点，分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的周长及矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为；矩形的面积为4 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，即，证明，则可证明四边形是平行四边形，再由即可证明结论； （2）由矩形的性质得到，由勾股定理求出，则，据此可求出矩形的面积；求出，根据平行四边形的周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形的周长． 29．如图，在中，点D在上，于点C，过点A作，的平行线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据，，判定四边形是平行四边形，再结合， 得到一个内角为直角，根据 “有一个角是直角的平行四边形是矩形”，即可得证． （2）利用平分和四边形是矩形，结合求出 的长度，即的长度，由平分和 推出，设，利用勾股定理在中建立方程，求解得到的长度． 【详解】（1）证明：由题意易得，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，， 在中，，， ， ， ， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 30．如图，中，，，垂足为，点是边上一个动点，过点分别作，，垂足分别为，，过点作交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：； (3)若，，则当最短时，的长为_____． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平行线的性质和垂线的定义可判断，从而证明四边形是矩形； （2）连接，由可得，结合，即可得到； （3）连接、，由矩形的性质可得，因此只需研究的最短的情况．结合垂线段最短可知，当时，取得最小值，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，最后再一次使用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）证明；∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，连接、， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，此时最短， 如图，， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 【易错必刷题型十.补充条件判定矩形】 31．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明四边形为平行四边形，进而即可得到答案． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形． 32．已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：四边形的对角线、相交且互相平分， 四边形是平行四边形． 选项A，，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项B，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意； 选项C，时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定四边形为矩形，符合题意； 选项D，，，平行四边形对角线互相平分，可得，，，可推出平行四边形是矩形，不符合题意． 综上，答案选C． 33．如图，的对角线，相交于点，，．请从下面三个选项中，选择一个作为条件，使是矩形：①；②；③． (1)你添加的条件是_____；（填序号） (2)在（1）的条件下，求证：是矩形． 【答案】(1)①或②或③ (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）选一个条件即可； （2）利用平行四边形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：①或②或③； （2）证明：选①， ，， ， 在和中，， ， ． 四边形为平行四边形， ，， ，即， 四边形是矩形； 选②， 证明：，， ， 在和中，， ， ∴ ∴． 四边形为平行四边形， ，， ，即， 四边形是矩形． 选③， 证明：四边形为平行四边形， ，，，． ，， 在和中，， ， ， ， ， ， ． ，， ，即， 四边形是矩形． 【易错必刷题型十一.求矩形在坐标系中的坐标】 34．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 35．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定点、的坐标，利用尺规作图的性质得出平分，结合角平分线的性质及全等三角形判定得出，设点坐标构建方程求解即可． 【详解】解：点的坐标为，轴，轴，， ，，，．四边形是矩形 以为圆心、的长为半径画弧交于点， ． 在中，， 点的坐标为． 由作图可知，平分，即． 点在上，轴， 点的横坐标为， 设，则． 连接， 平分， ∴ 又∵ ， ，． ∴． 在： ， 解得． 点的坐标为． 36．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为．    (1)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； (2)如图②，点E，F分别在，边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合；连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的基础上，直接写出点C的对应点G的坐标＿＿＿． 【答案】(1) (2)四边形为菱形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系与四边形的结合问题，熟练掌握图形翻折前后全等的性质是解题的关键； （1）由折叠可得，，可得，再根据勾股定理求出的长，即可得到点坐标； （2）同样利用折叠得到，四边形与四边形全等，设，则，利用勾股定理求出的长，进而得到，根据菱形的判定即可得到四边形的形状； （3）过点作轴于点，根据（2）的结论，利用求出，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点坐标为， ∴，， 由折叠可知，， ∴， 在中， ， ∴点的坐标为． （2）解：由题可得图如下：    由折叠知，四边形与四边形全等，点坐标为， ∴，，， 设， ∵点， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵ ∴四边形为菱形． （3）解：过点作轴于点，如图所示：    由（2）得：， ， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为． 【易错必刷题型十二.菱形的性质计算】 37．在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 【答案】或 【分析】根据菱形对角线互相垂直的性质，可得，结合点在菱形边上的不同位置，分两种情况分类计算即可． 【详解】解： 四边形是菱形，对角线、相交于点， 菱形对角线互相垂直，即， ， 分两种情况讨论： ① 当点在边上时，在内部， ； ② 当点在边上时，在外部， ． 综上，的度数为或． 38．如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，的长度，然后根据勾股定理求出，然后根据垂线段最短得到当时，有最小值，然后利用菱形面积求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ∵点P是边上的一个动点， ∴当时，有最小值，如图， ， ∴ ∴， 的最小值为． 39．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】. 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 40．如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明四边形是矩形即可求证； （）由（）可得，设，，利用勾股定理可得，即得，，得到，，再根据菱形的面积公式计算即可求解； 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴可设，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴，， ∴，， ∴． 41．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）因为平分，所以可得一组相等的角，结合上述平行线的角的关系，可推出；因为，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，． ∵，的周长为18， ∴，则． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 【易错必刷题型十三菱形判定证明.】 42．如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，结合，可得，从而可得结论； （2）由菱形的性质可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为120，与的和34， ∴，， ∴，， ∴， ∴. 43．如图1，在四边形中，，将线段平移得到，且为垂直平分线上一点，连接与交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，连接交于点，连接，若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3)证明过程见解析． 【分析】（1）由平移可得四边形是平行四边形，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，可得，结合已知可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，即可证得结论； （3）由平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵将线段平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为垂直平分线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 44．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据条件证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出，，，进而推出，结合角平分线的性质和等角对等边推出，根据勾股定理和三角形的中线性质求出，，进而求得即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，点为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，， ， 平分， ， ， ， 在中，，点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷题型十四.补充条件判定菱形】 45．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 46．如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项条件，结合菱形判定依据，逐一分析能否判定平行四边形为菱形． 【详解】解：A、∵是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，是平行四边形． ∴． ∵， ∴是菱形，不符合题意． B、∵， ∴． ∵， ∴只能说明是的角平分线，无法推出的邻边相等或对角线垂直，不能判定其为菱形，符合题意． C、，直接根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定是菱形，不符合题意． D、由三角形外角性质，， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴是菱形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定定理、三角形外角性质，解题关键是准确区分 “能判定菱形的条件” 和 “不能判定菱形的条件”，熟练将角的关系转化为边的关系． 47．如图，四边形的对角线；相交于点，，且，若 ，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选择②，理由见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，根据平分得出，由得出，即可得出，根据等角对等边可得，即可得出平行四边形是菱形． 【详解】解：选择②平分， ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【易错必刷题型十五.菱形折叠问题】 48．如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H，由得，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 49．如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，相交于点O，设与相交于点求出，证明与重合，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 相交于点O，设与相交于点 ∵沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与重合， ∴． 50．如图，已知是的对角线，将沿某条直线翻折，使点与点重合，该折痕与边相交于点，与边相交于点，与相交于点，连结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的面积是24，则四边形的面积为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据翻折的性质和平行四边形的性质，可证明，得，可得到与互相垂直平分，即可证明出结论； （2）由（1）中，可得，可推理出，故可得出结果． 【详解】（1）解：∵翻折的性质， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，结合，， ∴， ∴， ∴与互相垂直平分， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴, ∴． 【易错必刷题型十六.正方形折叠问题】 51．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 52．如图，正方形中，是边上一点且，是的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交的延长线于点，若、、三点共线，则该正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，过点作交的延长线于点，得矩形，矩形，证明，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形，设正方形的边长为 ，， 如图，过点作交的延长线于点，连接， 则四边形，是矩形， ，， 由折叠可知：，， ， 平分， ， ， ， 是边的中点， ， 由折叠可知：，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 或（舍去）． ∴该正方形的边长为． 53．已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得,， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ， ， 又 ， ， ． （2）解：∵， 设， , ， 在中， ， ∴． 【易错必刷题型十七.正方形性质计算】 54．如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】利用正方形的性质证明，得出，再结合直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ． ． 在中，，， ． ． 点在的延长线上， ． 在中，． 55．如图，在正方形中，为边上一点，连接，作的垂直平分线交于G，交于，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，连接，作于．则四边形是矩形，设，则，首先证明，推出 ，在中，根据，构建方程求出即可． 【详解】解：如图，连接，作于．则四边形是矩形， 设，则， 垂直平分，四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴． 56．如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为_________． 【答案】 【分析】过点P作于点E，根据正方形和等边三角形的性质，得，，，勾股定理求出，再根据求出答案． 【详解】如图，过点P作于点E， 四边形是边长为4的正方形， ，， 是等边三角形，， ，， 在中，， = ． 57．四边相等，四角相等的四边形叫正四边形，正四边形也称作正方形． (1)如图1，四边形是周长为m的正方形，则 ， ． (2)如图2，一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，试用，的代数式表示图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积； (3)在（2）的条件下，若未被小正方形覆盖部分的面积为12，且，求分别以，为边长的两个正方形面积之和． 【答案】(1)，； (2)未被小正方形覆盖部分的面积为； (3)以a，b为边长的两个正方形面积之和为25． 【分析】本题主要考查了正方形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的定义可得答案； （2）由图示可得：大正方形的边长为，小正方形的边长为，利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可； （3）由（2）及本小题题意可得关于，的二元一次方程组，解方程组，然后将边长平方并相加即可． 【详解】（1）解：四边形是周长为m的正方形， ，， ； 故答案为：；； （2）解：由图示可得：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为： ， ∴未被小正方形覆盖部分的面积为； （3）解：由（2）及题意得： 解得或 （舍） ， 以，为边长的两个正方形面积之和为． 58．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)2 【分析】（1）由,，判定四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等及有一个内角是，判定其为正方形； （2）先证，进而即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是正方形； （2）∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【易错必刷题型十八.正方形判定证明】 59．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先证明四边形是矩形， 再根据角平分线的性质得出，即可求证； （）证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵于点， ∴ ， ∵平分，， 又∵， ∴， ∴． 60．如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形中位线，利用平行四边形的定义证明即可； （2）先证明四边形是一个菱形．再证明四边形是一个矩形，即可得到四边形是一个正方形． 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点，即，， ∴， 同理，可得， ∴四边形是一个平行四边形． （2）证明：∵、分别是边、上的中线，并交于点G， ∴点G是的重心． ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是一个平行四边形， ∴四边形是一个菱形， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是一个矩形， ∴四边形是一个正方形． 61．已知在四边形中，，，． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)连接，过点作，垂足为，延长交边或边于点． ①如图2，如果点在边上，且，求的度数； ②如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据平行线的性质求出，证明，得出，然后证明四边形是矩形，最后根据正方形的判定即可得证； （2）过D作，根据平行四边形的判定与性质可得出，进而得出，根据等边对等角得出，，设，根据平行线的性质得出，，，则，结合得出，则，求出，即可求解； ②分两种情况讨论：当E在边上，过A作交于M，根据平行四边形的判定与性质得出，证明，根据勾股定理求出，然后根据等面积法即可求出的长度；当在上，此时，由①知，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据完全平方公式可求出，，则，，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴矩形是正方形； （2）解：①过D作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当E在边上，过A作交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在上，此时， ∵， ∴，， 由①知， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 综上，的长为或． 【易错必刷题型十九.补充条件判定正方形】 62．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定，因为平行四边形中，，根据对角线相等的平行四边形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，再添加一组邻边相等即可证明四边形是正方形． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 63．已知平行四边形的对角线、相交于点，下列补充条件中，能判定这个平行四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题已知四边形是平行四边形，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一分析选项，正方形是同时满足矩形和菱形性质的平行四边形． 【详解】解：∵原四边形是平行四边形， 对选项A：∵， ∴平行四边形是矩形，又与是等价的，都能判定该平行四边形是矩形，不能判定为正方形，故A不符合题意； 对选项B：∵平行四边形对角线互相平分， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∵平行四边形既是矩形又是菱形，因此是正方形，故B符合题意； 对选项C：∵， ∴平行四边形是菱形，菱形本身对角线互相垂直，因此不能推出它是正方形，故C不符合题意； 对选项D：平行四边形对角线本来互相平分，恒成立，仅能推出平行四边形是矩形，不能判定是正方形，故D不符合题意． 64．如图：已知：是的角平分线，交于，交于． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据平行线的性质结合角平分线的定义，推出，即可得证； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形，得到时，四边形是正方形，即可. 【详解】（1）（1）， ， 四边形是平行四边形，， 是的角平分线， ， ， （等角对等边）， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴当，四边形是正方形， 即， 当时，四边形是正方形． 【易错必刷题型二十.正方形重叠面积计算】 65．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 66．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 67．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）． (2)当秒时，求的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围． (4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或或或13 【分析】（1）当点在上时，，当在的延长线时，； （2）当时，点在的右侧，此时的边长是3； （3）先根据临界确定两种情形：和，进而确定的边长，从而求得； （4）分为点在的右侧，在和之间及在左侧，设到距离是，距离是，列出二元一次方程组求得． 【详解】（1）解：当点在上时，， 当在的延长线时，， 故答案是或； （2）如图1， 作于， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点和点重合时，点在上，此时， 当点和重合时，此时， 当点和和点重合时，此时， 当点在上时，此时， ∴当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图3， ∵， ∴，∴， 当时，如图4， 此时是五边形或三角形， ∴； （4）设点到的距离是，到的距离是， 当点在的右侧时， ∵， ∴， ∴， 此时， 当点在和之间时， 当时， ∵， ∴， 此时， 当时， ∵， ∴， 此时， 当点在的左侧时， ∵，， ∴， 此时， 综上所述：或或或13． 【点睛】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确分类，找出数量关系． 【易错必刷题型二十一.特殊平行四边形动点问题】 68．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 69．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∵，， ∴，， 当四边形为矩形时，， 即，解得，故①不正确； 当四边形为平行四边形时，则， 即，解得，故②不正确； 当时，分两种情况： 当四边形是平行四边形时，则， 即，解得， 当四边形是等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示，    则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴， 即， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有个． 故选： 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示各线段的长度是解题的关键． 70．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)当时，四边形是正方形． 【分析】（1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形， 如图， ∵，， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得， 此时， ∴矩形为正方形， ∴当时，四边形是正方形． 【易错必刷题型二十二.四边形线段最值问题】 71．如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 【答案】8 【分析】连接，取的中点，连接，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得、、三点共线时最大即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，， 矩形中，，，， ，， 根据勾股定理，， 为的中点，为的中点， ， ， ， 由三角形的三边关系得、、三点共线时最大， 此时． 72．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，图形与坐标，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 过点作于点，延长到点，使，根据菱形的性质和勾股定理可得，以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，，，然后证明，可得，连接，，，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为20，边长为5， ， 在中，根据勾股定理得： ， 以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 连接，，， ， ，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值． 但是当，，三点共线时，点不在边上， ． 故选：D． 73．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            【答案】（）详见解析；（）． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】（1）证明：连接，   由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，，    ∴， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 【易错必刷题型二十三.特殊平行四边形对称性求阴影面积】 74．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 75．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 76．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 【易错必刷题型二十四.三角形中位线求解问题】 77．如图，已知，于，于，，．点是的中点，则的长为 ________ 【答案】 【分析】延长，取，连接，过点D作于点G，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出，根据中位线的性质求出． 【详解】解：延长，取，连接，过点D作于点G，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴． 78．如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】利用中位线的性质得到的长，即可求出的长，再由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵为的中点， ∴． 79．如图1，在正方形中，E是边上的一动点（不与端点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，作于点M． (1)求证：； (2)如图2：连接与交于点G． ①直接写出与的位置关系________； ②求证：点G是线段的中点； (3)在（2）条件下，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①②见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得到，，由正方形的性质得到，则可证明，进而可利用证明可得，可得，故可得； （2）①证明，得到； ②过点F作交于L，可证明四边形是平行四边形．得到，再证明，即可证明； （3）连接交于点，则点为的中点，设，得，，，证明是的中位线，，求出，，得． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， 又是正方形的对角线， ， ∴， ∴； ②证明：过点F作交于L，如图， ∵，即 又， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点G是线段的中点； （3）解：连接交于点，则点为的中点， 设， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， 又是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷题型二十五.中点四边形】 80．如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）． 【答案】先变大后变小 【分析】连接，证明四边形的面积是平行四边形的面积的一半，再根据平行四边形的面积的变化情况：先变大后变小，而得出四边形的面积也是先变大后变小． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是的中点， ∴, 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴, 在变化过程中，不变，边上的高由短变长再变短， ∴平行四边形的面积先变大再变小， ∴平行四边形的面积先变大再变小． 81．如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 82．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03四边形易错必刷题型专练 题型01.利用平行四边形性质求解 题型02.证明四边形是平行四边形 题型03.平行四边形性质与判定应用 题型04.添条件成为平行四边形 题型05.已知三点求平行四边形第四个点 题型06.平行四边形性质证明 题型07.矩形的性质计算 题型08.矩形折叠问题 题型09.矩形判定证明 题型10.补充条件判定矩形 题型11.求矩形在坐标系中的坐标 题型12.菱形的性质计算 题型13.菱形判定证明 题型14.补充条件判定菱形 题型15.菱形折叠问题 题型16.正方形折叠问题 题型17.正方形性质计算 题型18.正方形判定证明 题型19.补充条件判定正方形 题型20.正方形重叠面积计算 题型21.特殊平行四边形动点问题 题型22.四边形线段最值问题 题型23.特殊平行四边形对称性求阴影面积 题型24.三角形中位线求解问题 题型25.中点四边形 【易错必刷题型一.利用平行四边形性质求解】 1．如图，在中，对角线，交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，如果，那么______． 3．如图，的面积为12，，，，垂足为点，连接，求的度数． 【易错必刷题型二.证明四边形是平行四边形】 4．如图，四边形的对角线，交于点，，．当_____时，四边形是平行四边形． 5．已知四边形中，交于点，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D．且 6．如图，在中，是对角线，，，垂足分别为E，F，连接，． (1)线段与线段的关系为________． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【易错必刷题型三.平行四边形性质与判定应用】 7．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为______． 8．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【易错必刷题型四.添条件成为平行四边形】 10．如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 11．如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为．    解答下列问题： (1)线段 ， （用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ 【易错必刷题型五.已知三点求平行四边形第四个点】 13．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【易错必刷题型六.平行四边形性质证明】 16．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交边于点．若，，则的长为______．    17．如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，在平行四边形中，，求证：． 【易错必刷题型七.矩形的性质计算.】 19．如图，已知矩形的对角线、相交于点O，，垂足为H，如果，那么______°． 20．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 21．如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 22．如图，菱形的对角线，相交于点O，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 23．在矩形中，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若分别是中点，请证明四边形一定是怎样的四边形（相遇时除外） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值． 24．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的面积． 【易错必刷题型八.矩形折叠问题.】 25．如图，矩形纸片中，，，将此矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 26．如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在线段上．若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 27．在矩形纸片中，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，和相交于点，求的长； (2)图①中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)如图②将矩形纸片折叠，使与重合，求折痕的长． 【易错必刷题型九.矩形判定证明】 28．如图，在中，点，分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的周长及矩形的面积． 29．如图，在中，点D在上，于点C，过点A作，的平行线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 30．如图，中，，，垂足为，点是边上一个动点，过点分别作，，垂足分别为，，过点作交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：； (3)若，，则当最短时，的长为_____． 【易错必刷题型十.补充条件判定矩形】 31．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 32．已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 33．如图，的对角线，相交于点，，．请从下面三个选项中，选择一个作为条件，使是矩形：①；②；③． (1)你添加的条件是_____；（填序号） (2)在（1）的条件下，求证：是矩形． 【易错必刷题型十一.求矩形在坐标系中的坐标】 34．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 35．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，以为圆心、的长为半径画弧，交于点；再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 36．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为．    (1)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标； (2)如图②，点E，F分别在，边上，将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合；连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的基础上，直接写出点C的对应点G的坐标＿＿＿． 【易错必刷题型十二.菱形的性质计算】 37．在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 38．如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 39．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 40．如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 41．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【易错必刷题型十三菱形判定证明.】 42．如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）． 43．如图1，在四边形中，，将线段平移得到，且为垂直平分线上一点，连接与交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，连接交于点，连接，若，求证：四边形是菱形． 44．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【易错必刷题型十四.补充条件判定菱形】 45．如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 46．如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 47．如图，四边形的对角线；相交于点，，且，若 ，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【易错必刷题型十五.菱形折叠问题】 48．如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 49．如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（   ） A． B． C． D． 50．如图，已知是的对角线，将沿某条直线翻折，使点与点重合，该折痕与边相交于点，与边相交于点，与相交于点，连结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的面积是24，则四边形的面积为______． 【易错必刷题型十六.正方形折叠问题】 51．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 52．如图，正方形中，是边上一点且，是的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交的延长线于点，若、、三点共线，则该正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 53．已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【易错必刷题型十七.正方形性质计算】 54．如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 55．如图，在正方形中，为边上一点，连接，作的垂直平分线交于G，交于，若，，则的长为______． 56．如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为_________． 57．四边相等，四角相等的四边形叫正四边形，正四边形也称作正方形． (1)如图1，四边形是周长为m的正方形，则 ， ． (2)如图2，一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，试用，的代数式表示图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积； (3)在（2）的条件下，若未被小正方形覆盖部分的面积为12，且，求分别以，为边长的两个正方形面积之和． 58．如图，四边形中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点F，交于点G，若． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【易错必刷题型十八.正方形判定证明】 59．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 60．如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 61．已知在四边形中，，，． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)连接，过点作，垂足为，延长交边或边于点． ①如图2，如果点在边上，且，求的度数； ②如果，，求的长． 【易错必刷题型十九.补充条件判定正方形】 62．如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 63．已知平行四边形的对角线、相交于点，下列补充条件中，能判定这个平行四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 64．如图：已知：是的角平分线，交于，交于． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【易错必刷题型二十.正方形重叠面积计算】 65．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 66．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 67．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题： (1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）． (2)当秒时，求的值． (3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围． (4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值． 【易错必刷题型二十一.特殊平行四边形动点问题】 68．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 69．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为（单位：），下列结论①当时，四边形为矩形；②当时，四边形为平行四边形；③当时，或；④当时，或。其中结论正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 70．如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【易错必刷题型二十二.四边形线段最值问题】 71．如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 72．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 73．矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．            【易错必刷题型二十三.特殊平行四边形对称性求阴影面积】 74．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 75．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 76．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【易错必刷题型二十四.三角形中位线求解问题】 77．如图，已知，于，于，，．点是的中点，则的长为 ________ 78．如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 79．如图1，在正方形中，E是边上的一动点（不与端点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，作于点M． (1)求证：； (2)如图2：连接与交于点G． ①直接写出与的位置关系________； ②求证：点G是线段的中点； (3)在（2）条件下，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【易错必刷题型二十五.中点四边形】 80．如图，木匠师傅在设计窗格时，先做出平行四边形木框，固定边在窗棱上，再连接各边中点E、F、G、H构造出四边形窗花．请问，在向左推动木框的过程中（各点始终在同一平面内），四边形的面积___________（填“先变大后变小”或“始终不变”或“先变小后变大”）． 81．如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 82．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $