第8章 专题特训五 特殊平行四边形中的折叠问题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 专题特训五 特殊平行四边形中的折叠问题>“答案与解析"见P25 类型一求角度问题 5.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上， 1.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使，点A △CDE沿CE折叠得到△CFE,且B,F,E 落在对角线BD上的点A'处.若∠ADB= 三点共线.若DE=3,CD=7,求BF的长. E 24°，则∠AEB的度数为 A.66°B.60° C.57° D.48° B (第5题) H (第1题) (第2题) 2.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落 在点G处，点C落在点H处.若∠EFD 80°，则∠DFH的度数为 3.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B 的对应点为E,AE与CD交于点F. (1)求证：△DAF≌△ECF. (2)若∠FCE=40°，求∠BAC的度数. 6.如图，在矩形ABCD中，E为BC的 中点，将△ABE沿直线AE折叠，点 B落在点B处，连接B'C. (1)求证：AEB'C. (第3题) (2)若AB=8,BC=12,求线段BC的长 B (第6题) 类型二求线段长度问题 4.如图，在矩形ABCD中， C D AD=10cm,AB=6cm.将 △BCE沿BE折叠，使点 R C的对应点C'落在AD (第4题) 上，则DE的长为 ( A.2cm B.2.5 cm C gem 8 D.cm 54 第8章四边形 类型三求图形的周长问题 类型四探究性问题 7.如图，有一张矩形纸片ABCD,AB=8, 9.如图①，在矩形ABCD中，AB=6 AD=6,先将矩形纸片ABCD折叠，使边 AD=8,点P在边BC上，且不与点 AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕 B,C重合，直线AP与DC的延长 为AF.再将△AEF沿EF折叠，AF与BC 线交于点E 相交于点G,则△GCF的周长为 (1)若P是BC的中点，求证：△ABP≌ E(D）BE(D)B △ECP (2)将△APB沿直线AP折叠得到△APB', 点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB',交 (第7题) 直线AD于点F. 8.如图，折叠矩形纸片ABCD,使点A,C分别 ①求证：FA=FP. 落在BD上的点E,F处，折痕分别为 ②在(1)的条件下，求FA的长 BG,DH. ③连接B'C,求△PCB'周长的最小值 (I)求证：四边形BGDH是平行四边形 ④如图②，连接BB交AE于点H,G是AE (2)若AB=6,AD=8,求四边形BGDH的 的中点.当∠EAB'=2∠AEB'时，请判断 周长 AB与HG之间的数量关系，并说明理由. B H (第8题) ② (第9题) 55变，为√2. A H E B A E B ② (第6题) 7.(1)如图，过点A作AM∥FG,交 BE于点N,交BC于点M. ,四边形ABCD为正方形， ∴.AD∥BC,AB=BC,∠ABC= ∠C=90°. FG⊥BE, .∠FOB=90°. .·AM∥FG, .∠ANB=∠FOB=90°. .'.∠ABN+∠BAM=90 .∠ABC=90, ..∠ABN+∠CBE=90°. ∴.∠BAM=∠CBE 在△ABM和△BCE中， ∠BAM=∠CBE, AB=BC, ∠ABM=∠C, ∴.△ABM≌△BCE. .'AM=BE. ·AD∥BC,AM∥FG, '.四边形AMGF为平行四边形 .'AM=FG. ∴.BE=FG. (2)如图，连接BF,EF. .·FG⊥BE,O是BE的中点， ∴.BF=EF. 在正方形ABCD中，AD=AB IDC=BC=8,∠BAD=∠D=90°. EC=3, .DE=5. 设AF=x,则DF=8-x 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 BF2=AB2+AF2=82+x2: 在Rt△DEF中，由勾股定理，得 EF2=DE2+DF2=52+(8-x)2. BE=EE. ∴.BF2=EF2,即82+x2=5+(8 》解得x 25 AF的长为器 AF B MG (第7题) 8.(1)AE=EF. (2)(1)中的结论成立 理由：如图①，在AB上取一点G,使 AG=CE,连接EG. ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠B=∠BCD=90. .AG=CE, ∴.AB-AG=BC-CE,即BG=BE. ∴.△BGE是等腰直角三角形. ∴.∠BGE=∠BEG=45°. ∴.∠AGE=180°-45°=135°. :CF是正方形ABCD的外角平 分线， .∠DCF=45. ∴.∠EC℉=90°+45°=135°= ∠AGE AE⊥EF, ∴.∠AEB+∠FEC=90. :∠BAE+∠AEB=90, .'.∠FEC=∠BAE 在△GAE和△CEF中， ∠AGE=∠ECF, GA=CE, ∠GAE=∠CEF, .∴.△GAE≌△CEF. .∴.AE=EF (3)(1)中的结论仍然成立. 25 如图②，延长BA至点H,使AH= CE,连接HE :四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠B=∠BCD=90° AH=CE, .AH+AB=CE+BC,E BH=BE. ∴.∠H=∠BEH=45. ,CF是正方形ABCD的外角平分 线，∠DCE=180°-∠BCD=90°， .∠ECF=45. .∠H=∠ECF ∠AEF=90°，∠B=90°， ∠HAE=∠B+∠BEA,∠CEF= ∠AEF+∠BEA, ∴.∠HAE=∠CEF. 在△HAE和△CEF中， ∠HAE=∠CEF, RAH=EC. ∠H=∠ECF, ∴.△HAE≌△CEF. ∴.AE=EF. G外 B 0 C E ② (第8题) 专题特训五特殊平行 四边形中的折叠问题 1.C2.20 3.(1),将矩形ABCD沿对角线 AC折叠， ∴.AD=BC=CE,∠D=∠B= ∠E=90°. 在△DAF和△ECF中， ∠DFA=∠EFC, ∠D=∠E, AD=CE, '.△DAF≌△ECF (2)△DAF≌△ECF, ∴.∠DAF=∠ECF=40°， ,四边形ABCD是矩形， .∠DAB=90 .∠EAB=∠DAB-∠DAF= 90°-40°=50° 由折叠的性质，知∠EAC=∠BAC, ·∠BAC=7∠EAB=25 4.D解析：.·四边形ABCD是矩 形，.AB=CD=6cm,AD=BC= 10cm,∠A=∠D=90°.将△BCE 沿BE折叠，使点C的对应点C'落在 AD上，..BC=BC'=10cm,CE= C'E.∴.AC'=√CB-AB= √102-6=8(cm).∴.C'D=2cm. 设DE=xcm,则CE=CE=(6 x)cm.在Rt△C'DE中，C'E2 C'D2+DE2,.(6-x)2=4+x2. 号DE的长为号m 5.,四边形ABCD是矩形， .AB=CD,BC=AD,BC∥AD, ∠A=90°. ∴.∠BCE=∠DEC ,△CDE沿CE折叠得到△CFE,且 B,F,E三点共线 .∠BEC=∠DEC,FE=DE=3. .∠BCE=∠BEC .'BC=BE .'BE=AD. ∴.BE-FE=AD-DE,即BF= AE. AE2+AB2=BE2,且AB=CD= 7,BE=BF+3, .BF2+72=(BF+3)2. &脉-裂 6.(1),E为BC的中点， .BE=EC. 由折叠的性质，得B'E=BE, ∠BEA=∠B'EA .B'E=EC ∴.∠EB'C=∠B'CE. ,∠BEB'=∠BEA+∠B'EA= ∠EB'C+∠B'CE, ∴.∠BEA=∠B'CE. ∴.AEB'C. (2)如图，连接BB交AE于点H. ,在矩形ABCD中，∠ABE=90°， AB=8,BC=12,E为BC的中点， .BE=6. ∴.AE=√AB2+BE=10. ,将△ABE沿直线AE折叠，点B 落在点B处 ∴.BH=B'H,BB⊥AE,即BH是 △ABE的高 :SaE=号AB·BE=3AE· 1 BH, B'H=BH=AB·BE=4,8. AE ∴.BB'=BH+B'H=9.6 由(1)知，AEBC, .BB⊥B'C. ∴.∠BB'C=90. ∴.B'C=VBC2-BBz= √/122-9.6=7.2. (第6题) 7.4十√⑧解析：由折叠的性质，可知 ∠BAF=45°，AE=AD=6..EB= 2.易得四边形EFCB为矩形， '.FC=EB=2,∠C=90°，AB∥FC. ∴.∠GFC=∠BAG=45.∴.易得 △GC℉是等腰直角三角形..GC= FC=2.由勾股定理，得GF √FC+GC=√⑧.∴.△GCF的周 长为GC+FC+GF=4+√8. 8.(1)由矩形和折叠的性质，可得 26 GD∥BH,AB∥CD,∠GBD= ∠ABD,∠HDB=∠CDB. ∴.∠ABD=∠CDB. ∴.∠GBD=∠HDB. ∴.BGDH ∴.四边形BGDH是平行四边形. (2)在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD=√AB2+AD=10. 由折叠的性质，得BE=AB=6, GE=AG,∠BEG=∠A=90°. .∠DEG=90°，DE=BD-BE=4. 设GD=x,则GE=AG=8一x 在Rt△GDE中，由勾股定理，得 DE2=GD2-GE2,即42=x2一(8 x)2,解得x=5. ∴.AG=3,GD=5. 在Rt△ABG中，由勾股定理，得 BG=√JAB+AG=√45. .·2(BG+GD)=2W45+10, .四边形BGDH的周长为 2√45+10. 9.(1)四边形ABCD是矩形， ∴.ABCD. ∴.∠BAP=∠E,∠B=∠PCE. P是BC的中点， .BP=CP. .△ABP≌△ECP. (2)①四边形ABCD是矩形， .AD//BC. .∠APB=∠FAP. 由折叠的性质，得∠APB=∠APF, .∠FAP=∠APF. ∴.FA=FP ②在矩形ABCD中，AB=6,AD=8, .BC=AD=8. P是BC的中点， .BP=CP=4. 由折叠的性质，得AB′=AB=6, PB'=PB=4,∠B=∠AB'P= ∠AB'F=90° 设FA=x,则FP=x .B'F=x-4 在Rt△ABF中，由勾股定理，得 FA2=B'F2+AB'2,2=(x- +6,解得=号 FA的长为号 ③如图①，连接AC. 由折叠的性质，得AB′=AB=6, PB'=PB ∴.△PCB'的周长=CP+PB+ CB'=CP+PB+CB'=CB+CB'= 8+CB' 易知AB'+CB'≥AC,当点B'恰好位 于对角线AC上时，AB′+CB'的值最 小，为AC的长，此时CB'的长最小， 则△PCB'的周长最小. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=√AB+BC=√62+82=10. ∴.CB长的最小值=AC-AB'=4. .△PCB'周长的最小值=8+4=12. ④AB=2HG. 理由：如图②，由折叠的性质，可知 ∠1=∠2，AB=AB',BB⊥AE. 过点B作B'M∥DE,交AE于点M. AB∥DE, ∴.AB//DE//B'M. .∠1=∠2=∠3=∠AED .AB'=B'M=AB. ∴.H是AM的中点. :∠EAB'=2∠AEB',即∠2= 2∠5， .∠3=2∠5. ∠3=∠4+∠5， .∠4=∠5. .B'M=EM. .'B'M=EM=AB'=AB :G是AE的中点，H是AM的 中点， ·.AG=2AE,AH=2AM. 1 :HG AG-AH= (AE 1 AM)=EM. HG-7AB. .∴.AB=2HG B F B' D C ① p G 3 M B D C ② (第9题) 8.3三角形的中位线 1.D2.A3.25°4.6 5.(1)如图，连接EF,AE. E,F分别为BC,AC的中点， ÷EF/AB,EF=2AB. 又：AD=AB. ∴.EF=AD. 又EF∥AD, .四边形AEFD是平行四边形 .AP=FP (2)在Rt△ABC中， .·E为BC的中点，BC=10, 1 AE=2BC=5. 又，四边形AEFD是平行四边形， .∴.DF=AE=5. B R- --P (第5题) 6.C解析：如图，连接AR.E,F 分别是AP,RP的中点，∴.EF是 △APR的中位线.·EF=2AR.由 27 题意知，AR的长不变.'.线段EF的 长不变 B (第6题) 7.A解析：M,Q分别是AB,AD 的中点，且BD=6,∴.MQ∥BD, MQ=号BD=3.同理，可得PN/ BD,PN=2BD=3,MN∥AC, MN=2AC=4.·MQ/PN,MQ PN.∴.四边形MNPQ是平行四边 形.AC⊥BD,MQ∥BD,∴.MQ⊥ AC.又.MN∥AC,.∴.MQ⊥MN. .四边形MNPQ是矩形. ∴.SI边形NpQ=MQ·MN=3X 4=12. 解析：如图，在AN上截取 NF=BN,连接CF.,M是BC的中 点，∴.MN是△BCF的中位线 .MN∥CF..·MN∥AD,∴.CF∥ AD.∴.∠AFC=∠EAD,∠ACF= ∠DAC.AD平分∠CAE, .∠EAD=∠DAC.∴.∠AFC= ∠ACF...AF=AC=9..∴.BF= AB-AF 11.NF BN, ·NP2AN=NF+AF婴 N B M C (第8题) 9.270°-3a解析：，∠ACD=90°， ∠D=a,.∠DAC=90°-a.AC 平分∠BAD,∴.∠BAC=∠DAC= 90°-a.∠ABC=90,E为AC 的中点，.BE=AE=EC. ∴.∠EBA=∠EAB=90°-a. .∠BEC=180°-2a.E,F分别