山东济南市育英教育集团2025-2026学年下学期八年级学科综合能力展示 数 学

2024级育英教育集团学科综合能力展示 数学 (2026.04) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.(4分)在以下著名的数学曲线中，既是轴对称也是中心对称的图形为（) 科克曲线 B 笛卡尔心形线 蝴蝶曲线 D 三叶玫瑰线 2.(4分)在下列等式中，从左到右边的变形是因式分解的是（ A.a (a-b-1)=a2-abta B.a2-2a+3=a(a-2)+3 C.-a2+2a-1=-(a-1)2 D.4a+2=2a(2+) 3.(4分)若分式的值等于0，则x的值为（) A.士1 B.1 C.0 D.-1 4.(4分)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明口ABCD是菱形的是(). A.AB=BC B.∠ABD=∠CBDC.OA2+OB2=AD2 D,AC=BD 5.(4分)如果把分式x中的x和)都扩大3倍，那么分式的值() A.不变 B.扩大3倍 C.扩大6倍 D.缩小3倍 6.(4分)如图，口ABCD绕点A逆时针旋转，得到口AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C与 点C是对应点，点D'与点D是对应点)，点B'恰好落在BC边上，已知∠C=115°，则∠C'B'C 的度数为() A.45 B.50° C.659 D.70° D D 第4题图 第6题图 第1页共8页 7.(4分)在口ABCD中，AB=3,按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA, BC于点M,N:②分别以M,N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O:③ 作射线BO,交AD于点E,交CD延长线于点F,若DB=2,则BC的长为( A.3 B.4 C.5 D.6 8.(4分)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900 里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马 的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为() 900 900 A 900 =2×x-1 B. x+3 x+1 -2x209 C. 900 =2Xx+3 900 D900 .900 x-1 x-3 =2xx+1 9.(4分)如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD,若测得AC两点之间的距 离为12cm,BD两点之间的距离为16cm,则这两张纸条的宽为() A.19.2cm B.10cm C.9.6cm D.4.8cm 0 A N 第7题图 第9题图 10.(4分)如图，已知A(3,1)与B(1,0),P0是直线y=x上的一条动线段且PQ=√2(0在P的 下方)，当AP+PQ+QB最小时，O点申标为（) A.(1,1) B学 c.2,2) 33 D.(0,0) 第2页共8页 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。填空题请直接填写答案） 1.(4分)若分式，有意义，则实数x的取值范围是 12.(4分).如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,若∠B+∠C=90°，AD=AB=2,则底边BC的长 为 A 13.(4分)关于x的分式方程号=2-是有增根，则m=. 14.(4分)如图，△OAB的边OB长为3，把△OAB沿OB方向平移2个单位长度，得到△CDBE,连接 AC,DB,若△DBE的面积为3，则图中阴影部分的面积为 D C B E 15.(4分)如图，在口ABCD中，AB=6,AD=8,∠ABC=120°，点E是AD上一点，将△ABE沿BE折 叠得到△BE,连接DA并延长，交BC于点F,当E为AD中点时，FA的长度为一· E D B 第3页共8页 三、解答题（本大题共10个小题，共0分。写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16.（7分)分解因式：(1)a2-4b2; (2)5x2-10x+5. 17.(8分)(1)计算：号+ (2)解方程： 经+2= 18。(7分)先化简，再求值：（号+1）+，再从-2，-山，0,1中选一个合适的数代入求值， x2-× 19.(7分)如图，在口ABCD中，对角线AC和BD交于点O,点E、点F分别为OA,OC的中点，连接 BE,DF.求证：BE∥DF A D E 0 心 F 20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,3),B(-2,4),C （-1,1). (1)若△4BC经过平移后得到△4：B1C,已知点C,的坐标为(1，-5)，作出△AB1C并写出其余两个 顶点的坐标： (2)将△ABC绕点O按顺时针方向x,衣90°后得到△A2B2C2,作出△AB2C2; (3)若将△41B1C绕某一点旋转可得到△4B2C2,直接写出旋转中心的坐标. 个y 41 第4页共8页 21.(9分)2025、2026年连续两年春节联欢晚会的人形机器人舞蹈表演节目爆火，并带动整个人形机器 人行业的畅销.某公司推出了A、B两款人形机器人在网上进行预约销售，每个B款人形机器人的售价 比每个A款人形机器人的售价少20%，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，B款人形机器 人比A款人形机器人多售出10个. (1)求该公司A、B两款人形机器人在网上每个的售价各是多少方元？ (2)已知A款人形机器人每个的成本是12万元，B款人形机器人每个的成本是10万元.根据网上预 约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样 进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 22.(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AD=4,CD=12,BD⊥AD,∠A=60°，动点P、O 分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线A=D=C先由A向D运动，再由D向C 运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动， 设运动时间为1秒. D 0 P A Q B B （图1)》 (图2) B 备用图 备用图 (1)两平行线DC与AB之间的距离是 (2)当P、Q与△BCD的某两个顶点围成一个平行四边形时，1的值为 (3)当直线P2恰好平分四边形ABCD面积时，求1的值. 第5页共8页 23.(10分)在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究.如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式 分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁.请同学们阅读以下材料，尝试 解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方 法，例如，分解因式(x2+2x)（x2+2x+2)+1: 解：将“x2+2x”看成一个整体，令x242x=y: 原式=y(y+2)+1=y242y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4: 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把x+4分解因式；19世纪的法国数学家苏菲•姬曼抓住了该式只有两项，而且属于 平方和(x2)2422的形式，要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去，即可得 x4+4=x+4x2+4-4x2=（x2+2)2-42=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2): 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”， 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：(x2-6x+8)(x2-6x+10)+1; (2)因式分解：x+4y4= (直接写出结果)： (3)因式分解：x2-2ax-b2-2ab. 第6页共8页 y 24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线1：y=~x3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线2： y=2x与直线1交于点P. y=2x yA y=2x y=一x+3 y=-+3 0 (1)A点坐标为 ,P点坐标为 (2)将直线h向下平移1个单位长度，交直线于G,交x轴于H,求四边形POHG的面积。 (3)若点C为线段AB上一动点，在平面内是否存在点D,使得以O,A,C,D为顶点，且以OA为 一边的四边形是菱形，若存在，请直接写出D点的坐标，若不存在，请说明理由。 第7页共8页 25.(12分).如图，在R1△ABC和Rt△ADE中；AB=AC,.AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，△ADE绕 点A旋转. (I)如图1，若连接BD、CE,则BD、CE的数量关系为： ；位置关系为 (不 用证明)： (2)如图2，若连接CD、BE,取BE中点F,连接AF,试探究AF与CD的关系，并证明你的结论： (3)在(2)的条件下，当△ADE旋转到使点D落在直线BC上，若AF=1.5,AC=2N2,请直接写 出线段AD的长. 图1 图2 第8页共8页