精品解析：北京大学附属中学行知/未名学院2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷

2025-2026学年第二学期北大附中行知/未名学院高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数的求导法则计算即可得. 【详解】根据复合函数求导法则，令，则， . 2. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. 1 B. 6 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理计算通项求参数，即可求得常数项. 【详解】易知展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为.B正确. 3. 函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助导数的几何意义判断即可得. 【详解】在点附近，曲线呈下降趋势，故切线斜率， 在点和点附近，曲线呈上升趋势，故切线斜率， 比较点和点的上升“势头”，显然在点处的曲线更加陡峭（倾斜程度更大）， 而在点处相对平缓，因此，； 故. 4. 某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】将人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.然后利用分步计数原理计算出两种情况的方法数，再相加求得总的选法数. 【详解】人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.“个男生个女生”的方法数有. “个男生个女生”的方法数有.故总的方法数有种.所以本题选A. 【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，属于基础题.对于比较复杂的计数问题，往往先通过分类的方法，将复杂的问题转化为几个较为简单的问题来计算.在计算每个简单的问题过程中，又是用分步计数原理来计算方法数.最后相加得到总的方法数. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的定义域为,求导得 当时，,则函数在上单调递减， 当时，,则函数在上单调递增. 因，则. 6. “”是“函数存在极大值和极小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可判断它们之间的条件关系. 【详解】由题意可知， 当时，则当时，， 当时，， 故为的极大值点，为的极小值点， 故的极大值为，极小值为， 故“”是“函数存在极大值和极小值”的充分条件； 若，则， 同理可得的极大值为，极小值为， 故“函数存在极大值和极小值”推不出“”， 故是存在极大值和极小值的充分不必要条件. 7. 已知函数在处取得极大值，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. -1或2 【答案】B 【解析】 【详解】. 因为函数在处取得极大值，故， 解得或， 当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，， 当时，当时， 故函数在处取得极大值，符合题意. 8. 一个盒子内有三个小球，分别标有号码1，2，3，每次取出一个，记下它的号码后再放回，共取3次.则取出的小球中最大号码为2的取法有（ ） A. 7种 B. 8种 C. 19种 D. 27种 【答案】A 【解析】 【详解】每次取一个小球放回3次，最后3次中号码最大为2的方法，可以每次都在1和2两个球里边挑选，再减去每次只拿1号球的情况，即，共有7种情况. 9. 已知函数，则的零点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性进行判断即可． 【详解】 设， 则. 因为，所以. 所以当变化时，的变化情况如下表： 0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 又，所以当时，， 所以在区间上单调递减. 又因为， 所以在区间上存在函数的零点个数为1个． 10. 某地区新能源汽车总保有量与时间之间满足Logistic增长模型：，：该地区环境容纳量上限，：由初始条件决定的常数.则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 函数单调递增 C. 若，则存在，使 D. 函数存在极小值点 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数运算可判定A，利用复合函数单调性可判定B，利用复合函数求导法则及基本不等式计算可判定C，结合C项及对勾函数的性质分类讨论函数的单调性，由此判定极值可判定D. 【详解】对于A：若，即A正确； 对于B：易知分母 为正且单调递减，所以单增，即B正确； 对于C：易知 而，故C选项正确； 对于D：分母为对勾型函数，当且仅当， 即时，分母取到最值， 因此，若，分母单调递增，单调递减，无极小值，也无极大值， 若，分母先递减后递增，先增再减，有极大值但无极小值，故D错. 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知函数，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以，则， 故. 12. 如图所示是“杨辉三角”的前五行，则该表格的第六行从左至右第4个数字可理解为：当___________时，二项展开式第___________项的二项式系数. 【答案】 ①. 5 ②. 4 【解析】 【详解】“杨辉三角”的第行对应的是二项式展开式的二项式系数， 所以该表格的第六行从左至右第4个数字为展开式的第4项的二项式系数. 13. 7位同学站成一排，其中甲乙丙三人相邻，且都不与丁相邻，则不同的排队方法有___________种.（以数字作答） 【答案】432 【解析】 【分析】相邻元素捆绑法，不相邻元素插空法求解即可． 【详解】甲乙丙三人相邻，捆绑到一起有种方法，然后看成一个元素与丁不相邻采用插空法， 先将除甲乙丙丁外的其他3人排成一排有种方法，有4个空选2个空插进去有种方法, 所以共有种方法． 14. 已知函数，则满足函数在上存在递增区间的的一个值为___________. 【答案】写出内的任意一个值都可以 【解析】 【详解】 函数在上存在单调递增区间，使得成立， 即成立. 令，则. 因为时，恒成立， 所以恒成立，单调递增. 因为，所以， 所以， 因为,所以实数的取值范围是. 所以写出内的任意一个值都可以 15. 设函数，则： ①函数的极值点有___________个； ②若对任意，总存在唯一，使得，则的最大值为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先对函数在上的部分求导并化简，分析其在上的单调性，确定在处取得极小值、处为零点，结合时单调递减、时单调递减，画出分段函数草图；再根据“对任意，总存在唯一使”的条件，通过计算与，分别令和得到和，由此确定区间的端点，计算的最大值为，对应. 【详解】对求导得. 故对函数单调性研究如下 1 0 0 递增 递减 递增 故函数的草图图像如下:可知函数的极值点有个. 若对任取，总存在唯一，使得，能取的最大范围区间如图所示: 令，即； 令，即； 故满足要求的取值的差的最大值为 即最大值为，此时. 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数. （1）当时，求证：是单调递增函数； （2）已知函数的一个零点为2，求的极值. 【答案】（1） 当时， 以下两种解法： 解法一： 所以，在上是单调递增函数； （使用配方法和判别式法同等给分） 解法二：是开口向上的二次函数. ，所以 （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求出导函数，结合二次函数的性质得到即可证明结论； （2）根据，解出利用导函数求出的极值点即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如果函数的一个零点是， 则，即，所以 所以， 令得：或 列表如下： 1 （1，3） 3 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （列表确认导函数零点是原函数极值点） 所以的极大值为，极小值为 17. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间是和；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和. 【解析】 【分析】（1）依题意利用可求的值； （2）求导，分，，讨论导函数的符号，确定函数的单调递增区间. 【小问1详解】 由 求导得， 依题意 ，解得. 【小问2详解】 定义域是， ①当时，令得且， 根据的情况列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间是和； ②当时，，则的单调递增区间是； ③当时，令得且， 根据的情况列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间是和. 18. 已知函数，. （1）若， （i）求函数在处的切线方程； （ii）求证：是函数的极小值点； （2）若，恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1）（i）； （ii）当时，，则 令，则， 当时，，单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此为的极小值点. （2）2 【解析】 【分析】（1）（i）根据导数的几何意义求解即可. （ii）根据导数与单调性，极值的关系证明即可. （2）通过分离参数得到，构造函数，，根据导数与单调性、最值的关系，结合零点存在定理及已知条件求解即可. 【小问1详解】 （i）当时，，则， 又，， 所以在处的切线方程为. （ii）略 【小问2详解】 当时，， 因此可变形为，即. 设， 则， 设，则，所以在单调递增， 又，， 因此在存在唯一零点，，且， 当时，；当时，； 又当时，，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在时取得最小值，即. 又，即，所以. 因为，所以， 又，所以， 又是整数，所以的最大值为2. 19. 已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. （1）若，写出的值； （2）当时，若恒成立，求证：； （3）对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 【答案】（1）， （2） 考虑的任意一行， 由于每个元素只能是或，则这三个元素中至少有两个是相等的， 即在的三个组合中，至少有一个组合满足， 按行统计即可得中所有相等元素的对数和至少为， 等价于所有组合的之和满足 结合条件，得，即. （3）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）直接按列比较即可； （2）时每一行相等元素的对数至少为，从而中所有相等元素的对数也即所有组合的之和至少为，结合即可得； （3）的所有列完全相同时即有最大值，分析每一行相等元素的对数的最小值，即可得到所有组合的之和的最小值，结合即可得的最小值. 【小问1详解】 比较的第列，相同行有第行，故； 比较的第列，相同行有第行，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由定义可知，则，而当的所有列完全相同时， 对任意都有，此时，因此的最大值为. 设第行有个，则有个，该行中相等元素的对数为 ， 该式对同样成立， 以为自变量，当取最接近对称轴的整数时，取得最小值， 当为偶数时，时有， 当为奇数时，时有， 采用与（2）相似的分析可知所有组合的之和为， 又的最大值为，所以， 可得，代入即可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期北大附中行知/未名学院高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 2. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. 1 B. 6 C. 12 D. 20 3. 函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. “”是“函数存在极大值和极小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数在处取得极大值，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. -1或2 8. 一个盒子内有三个小球，分别标有号码1，2，3，每次取出一个，记下它的号码后再放回，共取3次.则取出的小球中最大号码为2的取法有（ ） A. 7种 B. 8种 C. 19种 D. 27种 9. 已知函数，则的零点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 某地区新能源汽车总保有量与时间之间满足Logistic增长模型：，：该地区环境容纳量上限，：由初始条件决定的常数.则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 函数单调递增 C. 若，则存在，使 D. 函数存在极小值点 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知函数，则的值为___________. 12. 如图所示是“杨辉三角”的前五行，则该表格的第六行从左至右第4个数字可理解为：当___________时，二项展开式第___________项的二项式系数. 13. 7位同学站成一排，其中甲乙丙三人相邻，且都不与丁相邻，则不同的排队方法有___________种.（以数字作答） 14. 已知函数，则满足函数在上存在递增区间的的一个值为___________. 15. 设函数，则： ①函数的极值点有___________个； ②若对任意，总存在唯一，使得，则的最大值为___________. 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数. （1）当时，求证：是单调递增函数； （2）已知函数的一个零点为2，求的极值. 17. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； （2）求的单调递增区间. 18. 已知函数，. （1）若， （i）求函数在处的切线方程； （ii）求证：是函数的极小值点； （2）若，恒成立，求整数的最大值. 19. 已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. （1）若，写出的值； （2）当时，若恒成立，求证：； （3）对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $