北京大学附属中学行知/未名学院2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷

2025-2026学年第二学期北大附中行知/未名学院高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 2. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. 1 B. 6 C. 12 D. 20 3. 函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. “”是“函数存在极大值和极小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数在处取得极大值，则的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. -1或2 8. 一个盒子内有三个小球，分别标有号码1，2，3，每次取出一个，记下它的号码后再放回，共取3次.则取出的小球中最大号码为2的取法有（ ） A. 7种 B. 8种 C. 19种 D. 27种 9. 已知函数，则的零点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 某地区新能源汽车总保有量与时间之间满足Logistic增长模型：，：该地区环境容纳量上限，：由初始条件决定的常数.则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 函数单调递增 C. 若，则存在，使 D. 函数存在极小值点 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 已知函数，则的值为___________. 12. 如图所示是“杨辉三角”的前五行，则该表格的第六行从左至右第4个数字可理解为：当___________时，二项展开式第___________项的二项式系数. 13. 7位同学站成一排，其中甲乙丙三人相邻，且都不与丁相邻，则不同的排队方法有___________种.（以数字作答） 14. 已知函数，则满足函数在上存在递增区间的的一个值为___________. 15. 设函数，则： ①函数的极值点有___________个； ②若对任意，总存在唯一，使得，则的最大值为___________. 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数. （1）当时，求证：是单调递增函数； （2）已知函数的一个零点为2，求的极值. 17. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； （2）求的单调递增区间. 18. 已知函数，. （1）若， （i）求函数在处的切线方程； （ii）求证：是函数的极小值点； （2）若，恒成立，求整数的最大值. 19. 已知是一个行列的数表，其中且，且对任意，都有. 对于且，定义，表示有限集合的元素个数. （1）若，写出的值； （2）当时，若恒成立，求证：； （3）对给定的，设的最大值为，求的最大值和最小值. 2025-2026学年第二学期北大附中行知/未名学院高二期中考试 数学试卷 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位序号. 2.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 4.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题共60分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 ①. 5 ②. 4 【13题答案】 【答案】432 【14题答案】 【答案】写出内的任意一个值都可以 【15题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【16题答案】 【答案】（1） 当时， 以下两种解法： 解法一： 所以，在上是单调递增函数； （使用配方法和判别式法同等给分） 解法二：是开口向上的二次函数. ，所以 （2）极大值为，极小值为 【17题答案】 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间是和；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和. 【18题答案】 【答案】（1）（i）； （ii）当时，，则 令，则， 当时，，单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此为的极小值点. （2）2 【19题答案】 【答案】（1）， （2） 考虑的任意一行， 由于每个元素只能是或，则这三个元素中至少有两个是相等的， 即在的三个组合中，至少有一个组合满足， 按行统计即可得中所有相等元素的对数和至少为， 等价于所有组合的之和满足 结合条件，得，即. （3）最大值为1，最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $