21.3.2菱形（第1课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.3.2菱形（第1课时） 知识分点练 夯基础 知识点1 菱形的性质 1．如图，在菱形中，点在边上，连接、，且，设，，则，关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得，，，．由等腰三角形的性质可得，结合平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求出．根据，得出等式，变形后即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，菱形的对角线交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点，根据菱形的性质得出，，，，平分，求出，，进而求出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， 四边形为菱形， ，，，，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 4．如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，的长度，然后根据勾股定理求出，然后根据垂线段最短得到当时，有最小值，然后利用菱形面积求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ∵点P是边上的一个动点， ∴当时，有最小值，如图， ， ∴ ∴， 的最小值为． 5．如图，菱形的对角线与相交于点，，，于点，点，分别为，的中点，连接，．则的值为__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分别求出、的长，最后求和即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 在中，， ， ， ， 在中，点为的中点， ， 在中，点为的中点， ， ． 6．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接交于点，连接 (1)求证：； (2)已知，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质得到，则可证明，进而证明四边形为平行四边形，则； （2）连接，证明四边形为平行四边形，进而证明为矩形则；证明为等边三角形，得到，则，利用勾股定理得到，则，据此可得． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ，即， ； 又， ∴四边形为平行四边形， ； （2）解：如图所示，连接， 四边形为菱形， ，， ，即， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∵， 为矩形， ； ∵， 为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得． 知识点2 菱形的面积 7．如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E在边上，连接，．若，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，结合菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线、的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ，， 菱形的面积． 8．如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据菱形的性质可得，再由点、分别是，的中点，可得，，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点、分别是，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴与菱形的面积之比是． 9．如图，在菱形中，已知，交于点，且，则菱形的面积用含，的式子表示为_____． 【答案】 【详解】解：由题意，菱形的面积. 10．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 11．如图，四边形是平行四边形． (1)求作菱形，使得点E，F分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，交于点F，连接，则四边形为所求． （2）连接，交于点O，根据菱形的性质得到，，，，因此，进而根据勾股定理求出，从而，根据菱形的面积计算方法求解即可． 【详解】（1）解：如图，菱形为所求． 由作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （2）解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 12．如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明四边形是矩形即可求证； （）由（）可得，设，，利用勾股定理可得，即得，，得到，，再根据菱形的面积公式计算即可求解； 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴可设，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴，， ∴，， ∴． 能力综合练 练思维 13．如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，． 在和中， ， ． ， ， ． ，， ， ． 故选：A． 14．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理、等边对等角等知识点，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 由菱形的性质可得、，可得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得的度数，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 15．如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①由菱形的性质得到，再通过平行线的性质得到，再通过邻补角的定义得到，结合判定即可； ②由菱形的性质得到，结合①的结论证明，由直角三角形斜边中线的性质即可得到结论； ③由垂直平分线的判定：“如果一条直线上有两个点，这两个点到一条线段的两个端点的距离分别相等，那么这条直线就是该线段的垂直平分线．”证明，，即可证明垂直平分； ④通过三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质得到，，再由图得到线段间的和差关系即，即可证明． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是等边三角形 故①符合题意； 连接，令、相交于点，如图所示． 是等边三角形 ，， 是的中点， 在中， 故②符合题意； ，， 和在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故③符合题意； 是的中点， 是的中位线， ， ， 故④符合题意； 其中正确的结论有4个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理以及含角的直角三角形的性质．准确掌握这些性质，结合图形合理运用这些性质是解题的关键． 16．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P，则与的位置关系是_____，的长是____． 【答案】 【分析】利用菱形的性质得出相关角的度数，即可得出结论；，过点作，交的延长线于点，利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在菱形中，，垂直平分，垂足为E，与对角线交于点F，连接，则的大小为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，利用菱形的性质得出相等的边和角，表示出相关的角，根据线段垂直平分线的性质得出，证明，得出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 18．如图，菱形，过点，分别作，交，的延长线于点，． (1)求证：四边形为矩形． (2)连接，交于点，若，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形为矩形，进行证明即可； （2）设，（），则，再根据勾股定理得出，，列出方程，再解方程进行计算即可． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ． ，， ，， ， ∴四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ． 设，（）， ∵四边形是矩形． ∴， 在中，， ∵ ∴ 解得： ∴菱形的周长是． 19．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，由菱形性质可证为等边三角形，可得，再由勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， 又， ， ∵四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 拓展探究练 提素养 20．如图，在矩形中，点P、Q分别是上一点，（a是常数），平分． (1)求证：； (2)若 ①当，，判断点Q与点C是否重合？说明理由； ②连接，当，当四边形是菱形时，求长； (3)设，，是否存在常数a，使得无论m、n取何值，恒成立？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①点Q与点C重合，理由见解析② (3)当时，无论m、n取何值，恒成立，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的性质证明； （2）①过点作于点，假设，利用矩形的性质表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解； ②连接，利用菱形的性质以及勾股定理求解； （3）过点作于点，利用矩形的判定和性质得出相等的边和直角，然后利用勾股定理表示出等式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①点Q与点C重合，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 假设，则，， 由勾股定理得， 即， 解得， 即点Q与点C重合； ②如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 由勾股定理得； （3）解：当时，无论m、n取何值，恒成立，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即， 整理得， 要使恒成立， ∴，且， 解得， ∴当时，无论m、n取何值，恒成立． 21．如图1，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，、．点是的中点，点P在边上以每秒2个单位长的速度由点向点B运动．设动点P的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且以O、D、P、M四点为顶点的四边形构成菱形，请直接写出符合条件的的坐标． 【答案】(1)3 (2)； (3)点坐标为或或或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，进而得到，由题意得，则，根据平行四边形的性质得到，据此列方程求解即可； （2）要使四边形为菱形，得到，利用勾股定理求出的值，进而求出的值； （3）分情况讨论：①当、为菱形的边且点在点的右侧或②当点在点的左侧且在线段上或③当点在点的左侧且在延长线上或④为菱形的对角线时，根据菱形的性质得到，再利用勾股定理求出或的长即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形，、， 、， 点是的中点， ， 由题意得：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 四边形为菱形， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， 当时，， ， 点坐标为； （3）解：①当、为菱形的边，且点在点的右侧时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 点坐标为； ②当点在点的左侧且在线段上时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， 点坐标为； ③当点在点的左侧且在的延长线上时，如图： 四边形为菱形， ， 在中，由勾股定理得：， 点坐标为； ④当为菱形的对角线时，如图，过点作， 四边形为菱形， ，且点和点关于对称， 在中，， ， ， ； 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、分类讨论和数形结合的思想方法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.2菱形（第1课时） 知识分点练 夯基础 知识点1 菱形的性质 1．如图，在菱形中，点在边上，连接、，且，设，，则，关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线交于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 5．如图，菱形的对角线与相交于点，，，于点，点，分别为，的中点，连接，．则的值为__________． 6．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接交于点，连接 (1)求证：； (2)已知，若，求的长． 知识点2 菱形的面积 7．如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E在边上，连接，．若，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 8．如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，已知，交于点，且，则菱形的面积用含，的式子表示为_____． 10．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 11．如图，四边形是平行四边形． (1)求作菱形，使得点E，F分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求菱形的面积． 12．如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 能力综合练 练思维 13．如图，在菱形中，点，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，E是线段上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．如图，菱形中，，点在边上，点在菱形外部，且满足，．连结，，取的中点，连结，． ①是等边三角形；②；③垂直平分；④． 其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P，则与的位置关系是_____，的长是____． 17．如图，在菱形中，，垂直平分，垂足为E，与对角线交于点F，连接，则的大小为________．（用含的代数式表示） 18．如图，菱形，过点，分别作，交，的延长线于点，． (1)求证：四边形为矩形． (2)连接，交于点，若，求菱形的周长． 19．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得．连接．过点作，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 拓展探究练 提素养 20．如图，在矩形中，点P、Q分别是上一点，（a是常数），平分． (1)求证：； (2)若 ①当，，判断点Q与点C是否重合？说明理由； ②连接，当，当四边形是菱形时，求长； (3)设，，是否存在常数a，使得无论m、n取何值，恒成立？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由． 21．如图1，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，、．点是的中点，点P在边上以每秒2个单位长的速度由点向点B运动．设动点P的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且以O、D、P、M四点为顶点的四边形构成菱形，请直接写出符合条件的的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $