21.3.2 第1课时菱形的性质（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

21.3.2 第1课时 A知识分点练 夯基础 知识点1菱形的性质 1【一题多解】如图，菱形的对角线AC,BD相交 于点O,E是CD的中点.若BC=4,则OE的 长为 () A.4 B.3 C.23 D.2 第1题图 第2题图 2.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点 O,若AC=8,BD=6,则菱形ABCD的边 长是 () A.12 B.5 C.10 D.无法确定 3.【一题多解】(2024·上海)在菱形ABCD中， ∠ABC=66°，则∠BAC= 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OMNP的 顶点P的坐标是(3,4)，则顶点N的坐标是 M 5.(2024·福建)如图，在菱形ABCD中，点E,F分 别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD.求 证：BE=DF. 48数学8年级下册R刷版 菱形 菱形的性质 知识点2菱形的面积 6.如图，在菱形ABCD中，O为对角线的交点， AB=13cm,AO=5cm,则菱形ABCD的面 积为 () B4 A.120 cm2 B.45 cm2 C.60 cm2 D.30 cm 7.如图，在菱形ABCD中，AC,BD相交于点O, 菱形的周长为8，∠ABC=60°，求BD的长和 菱形ABCD的面积. B能力综合练 练思维 8【新情境·传统文化】中国结寓意团圆、美满，并 以其独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深 厚的文化底蕴.如图，晓进家有一个菱形中国结 装饰，对角线AC,BD相交于点O,测得AB= 10cm,BD=16cm,AH⊥BC于点H,连接 OH,则OH的长为 () B H A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 9.(2025·凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对 角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点， EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,连接FG 若AC=12,BD=16,则FG的长为 第9题图 第10题图 10.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB= 60°，E为AB的中点，F是AC上的一个动点， 则EF十BF的最小值为 11.如图，已知四边形ABCD是菱形，过AB的中 点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD 的延长线于点F. (1)求证：AM=DM; (2)若DF=3,求菱形ABCD的周长， C拓展探究练 提素养 12【新考法·综合与实践】[问题提出]菱形的面 积不仅等于底乘高，还等于对角线乘积的一 半.我们日常生活中常见的风筝的形状（即“筝 形”)是不是也可以用这种方法求面积呢？ 如图1，四边形ABCD是筝形，其中对角线 BD长20cm,AC长40cm,AC垂直平分 BD,垂足为E,求筝形ABCD的面积.（请将 求解过程补充完整) 解：S事形Aaw=SABD十SACH= 2BD·AE+ BD·CE… [类比探究]如图2，四边形ABCD的对角线 AC,BD互相垂直，垂足为E,其中对角线BD 长40cm,AC长30cm,求四边形ABCD的 面积. [结论]对角线互相垂直的四边形的面积等于 [拓展提高]如图3，四边形ABCD的对角线 BD长40cm,点A到BD的距离与点C到 BD的距离之和为30cm,求四边形ABCD的 面积. 图2 图3 第二十一章四边形4911.(1)没有出发时，这两根橡皮筋互相平分 (2)存在.理由略 第2课时平行四边形的判定（二） 1.A 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3.证明：解法1：.AE∥DF,.∠A=∠D. AB=CD,AE=DF,.△ABE≌△DCF(SAS), ∴.BE=CF,∠ABE=∠DCF, ∴∠EBC=∠FCB,∴BE∥CF, .四边形EBFC是平行四边形. 解法2：如图，连接AF,ED,EF,EF交AD于点O. AE∥DF,AE=DF, ∴.四边形AEDF是平行四边形， ..EO=FO,AO=DO. .AB=CD,∴.AO-AB=DO-CD,即BO=CO, .四边形EBFC是平行四边形. 4.略5.D6.(5,3)或(-5,3)或(3，-3)7.3 8.四边形CDEF是平行四边形.理由略 9.当t的值为2或3.5时，以P,Q,E,D为顶点的四边形 平行四边形 21.2.3三角形的中位线 1.D2.B3.124.20 5.证明：如图，连接DF,EF. :D,E,F分别是三边的中点， EF∥AB,EF=号AB,AD=2AB,ADLEF,. ∴.四边形ADFE是平行四边形， .AF与DE互相平分， 6.略7.A8.B9.C10.2 11.解：(1)△OMN是等腰三角形.理由略 (2)如图，连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF」 B E,F分别是AD,BC的中点， HF//CN.HF-CD,HE/BM,HE- 2AB. .'AB=CD,..HE=HF, ∴.∠HEF=∠HFE. .HE∥BM,HF∥CN, ∴.∠HEF=∠BME,∠HFE=∠CNE, ∴.∠BME=∠CNE 21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 第1课时矩形的性质 1.D2.B3.(1)25(2)254.略5.C6.D7.4 8.略9.B 10.1)3(2)2 11.(1)8(2)135 12.解：(1)CN2=BN2+CD (2)证明：如图，延长NO交AD于点P,连接PM,MN. ,四边形ABCD是矩形， .OB=OD,AD∥BC, ∴.∠BNO=∠DPO,∠NBO=∠PDO ∴.△BON≌△DOP(AAS), ∴.ON=OP,BN=DP. .∠MON=90°，∴.PM=MN .∠ADC=∠BCD=90°， .PM2=DP2+DM2,MN2=CM2+CN2, ..DP:+DM=CM+CN2, ∴.BN2+DM2=CM2+CN2. 第2课时矩形的判定 1.C2.1003.略4.C 5.对角线相等的平行四边形是矩形 6.略7.A8.略9.A10.D11.矩形 12.解：(1)如图，以点B为圆心，BC的长为半径作孤，交 AD于点E,点E即为所求.连接BE,CE D ,四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC, ∴.∠DEC=∠BCE. ,BE=BC,∴.∠BEC=∠BCE, ∴.∠DEC=∠BEC,即EC平分∠BED. (2)当AE=2时，四边形ABCD为矩形.理由如下： 由(1)，知BE=BC=√5. 若要使四边形ABCD为矩形，则∠A=90. 在Rt△ABE中， AB=1,∴AE=√BE2-AB2=√/5-I=2, ,.当AE=2时，四边形ABCD为矩形. 13.(1)略(2)5cm 21.3.2菱形 第1课时菱形的性质 1.D2.B3.574.(8,4)5.略6.A 答案5· 7.BD=2/3,S题形Bcm=2√38.A9.510√3 11.(1)略(2)24 12解：[问题提出]Sm=SAm十Sm=号BD· AE+号BD·CE=2BD.(AE+CE)=合BD·AC '.BD=20 cm,AC=40 cm, 1 六S￥ABCD-=2×20×40=400(cm2). 1 [类比探究]S=S△AD十SACHD=乞BD·AE十 2BD.CE-=BDAE+CB)=号BD:AC=号× 1 40×30=600(cm2). [结论]两对角线乘积的一半 [拓展提高]如图，过点A作AN⊥BD于点N,过点C作 CM⊥BD于点M. Sg魂形ABCD=S△ABD十SACBD= 2BD·AN+2BD·CM= 1 BD.(AN+CM)-X40X30=600(em). 第2课时菱形的判定 1.B 2.证明：解法1：，AE∥CD,CE∥AB, .四边形ADCE是平行四边形. :∠ACB=90°，D为AB的中点， CD-TAB-AD. ∴.四边形ADCE是菱形. 解法2：利用对角线互相垂直进行证明. 连接DE,与AC交于点O(图略)，证明DO⊥AC,也可证 明四边形ADCE是菱形. 3.164.略5.四条边相等的四边形是菱形 6.略7.A8.AB=CD 9.解：(1)证明：在Rt△ABC中， ∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点， .AD-2 BC-CD-DB,AE-DE. ,'AF∥BC,∴.∠AFE=∠DBE. ∠AFE=∠DBE, 在△AEF和△DEB中，： ∠AEF=∠DEB, AE=DE, ∴.△AEF≌△DEB(AAS),∴.AF=DB, ..AF=DC, ∴四边形ADCF是平行四边形. AD=CD,.四边形ADCF是菱形. (2)30 ·答 11 10.解：1)当t=3时，四边形ABQP是矩形 (2)四边形EQCP能为菱形. 由题意，得PE=(8-t)cm,CQ=(11-2t)cm. 在Rt△PDC中，CP2=CD2+DP2=16+t2. 若四边形EQCP为菱形，则PE=CQ=CP. 由PE=CQ,得8-t=11-2t,解得t=3. 当t=3时，PE=CQ=CP=5, .当t=3时，四边形EQCP为菱形. 21.3.3正方形 第1课时正方形的性质 1.B2.B3.B4.22.55.75°6.(-2，-1) 7.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， .BC=CD=AD,∠BCE=∠CDF=90. .AF=DE,..DF=CE. (BC=CD, 在△BCE和△CDF中，{∠BCE=∠CDF, CE=DF, ..△BCE≌△CDF(SAS). (2)5 8.证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°，∠COD=90°， ∴.∠DOF+∠COF=90. .∠EOF=90°，.∠COE+∠COF=90°， ∴.∠COE=∠DOF,∴.△COE≌△DOF(ASA), ∴.CE=DF 7 【变式】49.210.B 11.(1)略(2)成立.理由略 12.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°，AB=AD,∴.∠BAG+∠DAE=90°. DE⊥AG,∴∠AED=∠DEF=90°， .∠DAE+∠ADE=90°，.∠ADE=∠BAG. ,BF∥DE,∴.∠BFA=∠DEF=90°， ∴.∠AED=∠BFA,.△ADE≌△BAF(AAS), .'.AE=BF, ∴.AF-BF=AF-AE=EF. (2)AF十BF=EF.证明如下： 在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠BAF+∠DAE=90°. DE⊥AG,∠E=90°，.∠DAE+∠ADE=90°， .∠BAF=∠ADE BF∥DE,∴∠AFB=180°-∠E=90°， ∠E=∠AFB,∴.△ADE≌△BAF(AAS),∴AE=BF, .AF十BF=AF十AE=EF. (3)8 第2课时正方形的判定 1.D2.AC=BD(答案不唯一) 3.有一组邻边相等的矩形是正方形 6·