专题11.3 解一元一次不等式（3大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版七年级数学下学期

专题11.3 解一元一次不等式 知识点1：解一元一次不等式的一般步骤 1.基本思想：利用不等式的性质，将不等式化为、、、的形式。 2.标准五步法 1.去分母：两边同乘各分母最小公倍数，不漏乘常数项，分子为多项式时加括号。 2.去括号：遵循去括号法则，括号前为负号时各项变号。 3.移项：移项要变号，不等号方向不变。 4.合并同类项：将含未知数项与常数项分别合并。 5.系数化为1：两边除以未知数系数；系数为负时，不等号方向改变。 3.与解一元一次方程对比 步骤 解一元一次方程 解一元一次不等式 核心区别 去分母 同乘最小公倍数 同乘最小公倍数 不等式需注意乘除负数变号 去括号 括号前负号变号 括号前负号变号 一致 移项 移项变号 移项变号 一致 合并同类项 系数相加 系数相加 一致 系数化为1 除以系数，等号不变 除以系数，系数负则不等号变向 不等式性质3 知识点2：不等式的解集 解集：一个不等式所有解的集合，通常有无数个解。 知识点3：不等式解集在数轴上的表示 数轴表示规则 定边界：含等号（≥、≤）用实心圆点，不含等号（>、<）用空心圆圈。 定方向：大于向右画，小于向左画。 解集符号 边界点类型 数轴图示 方向 空心圆圈（不包含） 向右 空心圆圈（不包含） 向左 实心圆点（包含） 向右 实心圆点（包含） 向左 【基础必考题型】 【题型1】移项、合并同类项解简单一元一次不等式 1.核心知识点 移项变号；合并同类项；系数化为1（正数不变号） 2.解题方法技巧 移项“移小不移大、移负不移正”，简化计算；系数为正直接除 【例题1】.（25-26八年级下·山西太原·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 【变式题1-1】.（2026·陕西咸阳·三模）解不等式：． 【答案】 【详解】解： 解得， ∴原不等式的解集为． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·浙江杭州·期中）解不等式：，并把它的解表示在数轴上． 【答案】，见解析 【详解】解： ， ， ； 把解表示在数轴上如图： 【变式题1-3】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）关于的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】按照一元一次不等式的基本求解步骤计算即可得到结果． 【详解】解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为，得． 【题型2】去分母解一元一次不等式 1.核心知识点 最小公倍数；不漏乘常数项；分子多项式加括号 2.解题方法技巧 找最简公分母→两边同乘→常数项必乘→分子加括号 【例题2】.（2026·陕西·模拟预测）解不等式：． 【答案】 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴原不等式的解集为． 【变式题2-1】.（2026·安徽宿州·二模）不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】解：， 两边同乘以，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·上海奉贤·期中）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·上海嘉定·期中）解不等式： 【答案】 【详解】解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 原不等式的解集为． 【题型3】在数轴上表示不等式的解集 1.核心知识点 虚实点判断；方向判断；数形结合 2.解题方法技巧 先定边界点→再分虚实→最后定方向；大于右、小于左 【例题3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出不等式的解，再判断数轴即可． 【详解】解： ， 解得，对应的数轴如下： 【变式题3-1】.（2026·安徽淮南·一模）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见详解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可，再根据在数轴上表示方法表示出解集即可． 【详解】解： 解集在数轴上表示如下： 【变式题3-2】.（2026·安徽阜阳·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解不等式得， ∴在数轴上表示正确的是． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式求出的取值范围，再根据“小于向左，大于向右，有等号画实心点，无等号画空心圈”的原则在数轴上表示即可． 【详解】解：不等式，解得， 在数轴上表示为：实心点在2处，方向向左，如图所示： 【培优高频题型】 【题型4】求一元一次不等式的整数解/非负整数解/正整数解 1.核心知识点 求解集；在范围内筛选整数；边界等号取舍 2.解题方法技巧 先解不等式→画数轴→圈出符合整数→端点是否可取 【例题4】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）不等式的所有负整数解之和等于__________． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式得到不等式的解集，再找出解集中所有的负整数解，计算负整数解的和即可得到答案． 【详解】解：移项得：， 合并同类项得：， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得：， 所以不等式的所有负整数解为， ． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式的最小整数解是_________． 【答案】 【详解】解： 移项得， 合并同类项得 系数化为，得 ∴不等式的最小整数解是． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·四川达州·期中）不等式的所有非负整数解的和是____________． 【答案】 【详解】解： ， 不等式的所有非负整数解为、、， 则所有非负整数解的和是． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）不等式的正整数解为______． 【答案】 1, 2 【分析】先求解一元一次不等式得到解集，再从解集中找出所有正整数，即可得到答案． 【详解】解： 不等式两边同除以，得. 移项，得. 因为是正整数，所以满足条件的正整数为． 【题型5】含参数不等式：由解集方向判断参数正负 1.核心知识点 不等式性质3；不等号方向改变→系数为负 2.解题方法技巧 看不等号方向是否改变→反推未知数系数大于0或小于0→解参数范围 【例题5】.（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）当________时，不等式的解集为． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，即不等式两边同除以同一个负数时，不等号方向改变，由此求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为． ∴， 解得． 【变式题5-1】.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）不等式的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．根据不等式的解集是，即可得出，进而可求出． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， ∴， 故答案为： 【变式题5-2】.（24-25七年级下·上海·月考）已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先根据不等式的性质可得，再解不等式即可得． 【详解】解：∵关于的不等式的解集是， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·江苏扬州·期末）关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值______________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的性质3解答即可．解不等式要依据不等式的性质3：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵关于x的一元一次不等式的解集是． ∴， ∴满足条件的m值可以是. 故答案为：（答案不唯一）． 【题型6】方程的解是不等式的解（求参数范围） 1.核心知识点 解方程；将解代入不等式；求参数范围 2.解题方法技巧 先求方程解→代入不等式→化简得参数不等式→求解 【例题6】.（24-25七年级下·山东德州·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式的整数解，把方程组中两个方程相减得到，再由题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足， ∴， ∴， ∴满足题意的最小整数a是． 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·上海黄浦·期中）已知关于x、y的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代入不等式中，求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于，的二元一次方程组．若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组用表示出、，再根据得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 得：，解得， 把代入得：，解得， ， ， ， 解得． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河南开封·期中）关于的方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组得到，再根据，列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：方程组， 得：， ∵关于的方程组的解满足， ∴， ∴． 【题型7】同解集不等式求参数值 1.核心知识点 分别求解集；令解集相等；列方程求参数 2.解题方法技巧 两式同解→最简形式边界相等→建立方程求解 【例题7】.（25-26七年级下·安徽池州·期中）若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解参数． 【详解】解：由题意得， 解得； 解得， 两个不等式的解集相同， 解得． 【变式题7-1】.（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）关于的不等式与的解集相同，求的值． 【答案】 【分析】首先根据解不等式的方法，求出两个不等式的解集和，根据两个不等式的解集相同，可知，进而求出答案． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵两个不等式的解集相同， ∴， ∴ 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，求的值． 【答案】 【分析】分别求出两不等式的解集，再根据两不等式的解集相同，可得关于a的方程，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， ∵关于的不等式的解集与不等式的解集相同， ∴， 解得：． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于的不等式和不等式的解集相同，则求的值为_________． 【答案】7 【分析】本题考查了解简单不等式的知识点；解不等式要依据不等式的基本性质：分别求解两个不等式，根据解集相同建立方程求解即可． 【详解】解：不等式，的解集是； 不等式，的解集是； 由于两个不等式的解集相同， 因此， 解得． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算与一元一次不等式 1.核心知识点 新定义翻译；标准不等式求解；整数解计数 2.解题方法技巧 按规则把新运算→化为常规一元一次不等式→求解集→筛选解 【例题8】.（25-26七年级下·全国·课后作业）定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如．求不等式的解集． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，不等式的解集，解题的关键是理解新定义运算，掌握一元一次不等式的解题步骤． 根据，计算出的值，然后根据解不等式的步骤，即可解出不等式的解集． 【详解】解：∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）对于实数m，n，定义一种运算“”为：．已知，求x的最大正整数． 【答案】 【分析】先根据新定义运算求出※的表达式，再据此列出不等式，解不等式后找出的最大正整数．本题主要考查了新定义运算以及一元一次不等式的求解，熟练掌握新定义运算规则并正确列出不等式是解题的关键． 【详解】解：， ． 解得． 的最大正整数为． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意．列出不等式，然后求出不等式的最小整数解即可． 【详解】解：∵, ∴， 不等式即为：， 解得：， ∴不等式的最小整数解是2． 故答案为： 2． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·山西临汾·期中）已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________． 【答案】5 【分析】首先根据题意建立关于的二元一次方程组，求解可确定的值，然后根据可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵，，， 则有，解得， ∴， ∵， ∴， 解得， 所以，关于的不等式的最小整数解为5． 【题型9】跨学科阅读理解类不等式 1.核心知识点 信息提取；数学建模；规范求解 2.解题方法技巧 圈画关键条件→转化不等关系→列不等式→求解并作答 【例题9】.（25-26八年级下·宁夏银川·期中）下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题． 解不等式：． 解：去分母，得………………………………………① 去括号，得…………………………………………………② 移项、合并同类项，得…………………………………………………③ 两边都除以－7，得…………………………………………………………④ (1)填空：第①步中“去分母”的依据是______；第______步有错误，这一步错误的原因是______； (2)写出该不等式的正确解答过程． 【答案】(1)不等式的基本性质2，④，不等式两边同时除以一个负数，不等式的方向没有改变 (2)见解析 【分析】（1）根据不等式的性质，进行作答即可； （2）根据解不等式的步骤，进行求解即可． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的基本性质2，第④步出错，原因是不等式两边同时除以一个负数，不等式的方向没有改变； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得 两边都除以，得． 【变式题9-1】.（2026八年级下·广东深圳·专题练习）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解， ． 又， ．即． 又， ．① 同理得：．② 由得， 的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题：已知，且，，则的取值范围． 【答案】 【分析】仿照题干所给的方法计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， 由得， ∴的取值范围为． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 【答案】(1)B； (2) 专属组合，理由见详解； (3) 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“专属组合”和“非属组合“的定义，判断即可； （2）同理（1）解答即可； （3）先解方程和不等式，然后根据“专属组合”的定义求a的取值范围； 【详解】（1）解：， ， ， ， 不在范围内， 是“非属组合”； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“专属组合”； （3）解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“专属组合”， 在范围内， ， ． 【变式题9-3】.（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； ①直接判断 是“有缘组合”还是“无缘组合”A．有缘组合B．无缘组合 填“A”或“B”______ ②判断是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围． 【答案】(1)①B；②“有缘组合”，理由见解析 (2) 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可； （2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围； 【详解】（1）解：①， ， ， ， 不在范围内， 是“无缘组合”； ②， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“有缘组合”； （2）解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， 在范围内， ． 易错点 1.去分母漏乘常数项，只给含分母项乘公分母，常数项不乘。 2.括号前为负号，去括号时部分项不变号，导致符号错误。 3.移项不变号，把“移项”与“直接交换位置”混淆。 4.系数为负数时，化系数为1忘记改变不等号方向。 5.数轴虚实点混淆：含等号画空心、不含等号画实心。 6.混淆“解”与“解集”，把单个值当作所有解的集合。 重点 1.解一元一次不等式五步法及每步依据。 2.不等式性质3的正确使用（乘除负数变号）。 3.解集的数轴规范表示。 4.求不等式的整数解等特殊解。 难点 1.含参数不等式：由解集方向/整数解个数反推参数范围。 2.去分母、去括号的综合易错步骤规范。 3.数形结合：用数轴分析边界、临界值与等号取舍。 4.新定义、情境题中准确建模为一元一次不等式。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图是车辆限高标志，车辆的高的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据限高标志的含义可知，车辆高度不能超过，且高度必须大于，据此列出不等式组并在数轴上表示即可． 【详解】解：标志为限高 车辆高度应满足 又车辆高度必须为正数 车辆高度的范围是 在数轴上表示为：处为空心圆圈向右，处为实心圆点向左． 观察选项，只有D选项符合． 2．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再找出解集范围内的最小整数即可得到答案． 【详解】解： 移项得 ∵大于 的整数为 ∴其中最小的整数为． 3．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可通过方程组变形直接得到的表达式，再解一元一次不等式得到的取值范围． 【详解】解： 将得 整理得 两边同除以2得 ∵方程组的解满足 ∴ 解得 ． 二、填空题 4．已知关于、的二元一次方程组，如果，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先由二元一次方程组得到，再根据得，即可求解． 【详解】解：， 得， ∴， ∵， ∴， 解得， 即的取值范围是． 5．关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出关于x的方程的解，再根据方程的解是非负数，列出不等式求解a的取值范围即可． 【详解】解：解关于x的方程，得， ∵关于x的方程的解是非负数， ∴， 解得． 6．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“柳子数”．如：，，则8，16均为“柳子数”，在不超过2026的正整数中，所有的“柳子数”之和为_____． 【答案】257048 【分析】根据“柳子数”的定义，设出两个连续奇数分别为，，推导得到“柳子数”的表达式为，结合不超过2026的条件确定的范围，再化简求和即可求解． 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数， 由平方差公式得， 令，解得， ∴所有不超过的“柳子数”之和为：． 三、解答题 7．解不等式：． 【答案】 【分析】按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 8．定义一种新运算：，如：．已知，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算以及一元一次不等式的求解，解题的关键是根据新运算规则将转化为常规表达式，再求解不等式． 先依据新运算规则得出的表达式，然后根据列出不等式，最后求解该不等式得到x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即为， 解得． 9．下面是菲菲同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助菲菲完成相应任务． 解不等式． 解：          第一步                   第二步                   第三步                          第四步                            第五步 (1)任务一： ①以上解题过程中，第一步的依据是_________； ②该题第_________步出现错误，错误的具体原因是_________； (2)任务二： ③不等式的解集为_________； ④请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议_______． 【答案】(1)①不等式的基本性质2；②五；不等式两边同时除以一个负数，不等号没有变号 (2)③；④解不等式时需要注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变（答案不唯一） 【分析】（1）①观察解题过程，得出去分母：不等式两边同时乘上，不等式符号不变，即第一步的依据是不等式的基本性质2； ②运用不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号进行分析，即可作答． （2）③结合，进行解不等式，即可作答． ④根据不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变，即可作答． 【详解】（1）解：①在以上解题过程中，第一步的依据是不等式的基本性质2； ②该题第五步出现错误，错误的具体原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号没有变号； （2）解：③依题意，∵， ∴， 即不等式的解集为； ④依题意，建议解不等式时需要注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变（答案不唯一）；． 10．如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值x”到“判断结果是否大于等于1”为一次运算． 例如：开始输入x的值为，运行第一次：．因为，所以需要运行第二次：．因为，则输出结果为3. (1)当时，输出结果为_____；当时，输出结果为_____． (2)要使开始输入的x值只经过一次运行就能输出结果，求x的取值范围； (3)若经过两次运行后输出的结果为2.6，求出此时输入的x的值． 【答案】(1)1，5 (2) (3) 【分析】（1）先代值计算出第一次运行的结果，再比较结果为1的大小，若结果大于等于1，则输出，若小于1，则把结果作为新数输入求解即可； （2）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案； （3）根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，运行第一次：， ∴输出结果为1， 当时，运行第一次：， ∵， ∴运行第二次：， ∵， ∴输出结果为5． （2）解：由题意得，， 解得． （3）解：由题意得，第一次运算后的结果为， ∵经过两次运行后输出的结果为2.6， ∴， 解得． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 解一元一次不等式 知识点1：解一元一次不等式的一般步骤 1.基本思想：利用不等式的性质，将不等式化为、、、的形式。 2.标准五步法 1.去分母：两边同乘各分母最小公倍数，不漏乘常数项，分子为多项式时加括号。 2.去括号：遵循去括号法则，括号前为负号时各项变号。 3.移项：移项要变号，不等号方向不变。 4.合并同类项：将含未知数项与常数项分别合并。 5.系数化为1：两边除以未知数系数；系数为负时，不等号方向改变。 3.与解一元一次方程对比 步骤 解一元一次方程 解一元一次不等式 核心区别 去分母 同乘最小公倍数 同乘最小公倍数 不等式需注意乘除负数变号 去括号 括号前负号变号 括号前负号变号 一致 移项 移项变号 移项变号 一致 合并同类项 系数相加 系数相加 一致 系数化为1 除以系数，等号不变 除以系数，系数负则不等号变向 不等式性质3 知识点2：不等式的解集 解集：一个不等式所有解的集合，通常有无数个解。 知识点3：不等式解集在数轴上的表示 数轴表示规则 定边界：含等号（≥、≤）用实心圆点，不含等号（>、<）用空心圆圈。 定方向：大于向右画，小于向左画。 解集符号 边界点类型 数轴图示 方向 空心圆圈（不包含） 向右 空心圆圈（不包含） 向左 实心圆点（包含） 向右 实心圆点（包含） 向左 【基础必考题型】 【题型1】移项、合并同类项解简单一元一次不等式 1.核心知识点 移项变号；合并同类项；系数化为1（正数不变号） 2.解题方法技巧 移项“移小不移大、移负不移正”，简化计算；系数为正直接除 【例题1】.（25-26八年级下·山西太原·期中）不等式的解集是______． 【变式题1-1】.（2026·陕西咸阳·三模）解不等式：． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·浙江杭州·期中）解不等式：，并把它的解表示在数轴上． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）关于的不等式的解集是________． 【题型2】去分母解一元一次不等式 1.核心知识点 最小公倍数；不漏乘常数项；分子多项式加括号 2.解题方法技巧 找最简公分母→两边同乘→常数项必乘→分子加括号 【例题2】.（2026·陕西·模拟预测）解不等式：． 【变式题2-1】.（2026·安徽宿州·二模）不等式的解集为___________． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·上海奉贤·期中）解不等式：． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·上海嘉定·期中）解不等式： 【题型3】在数轴上表示不等式的解集 1.核心知识点 虚实点判断；方向判断；数形结合 2.解题方法技巧 先定边界点→再分虚实→最后定方向；大于右、小于左 【例题3】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·安徽淮南·一模）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式题3-2】.（2026·安徽阜阳·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·安徽合肥·期中）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型4】求一元一次不等式的整数解/非负整数解/正整数解 1.核心知识点 求解集；在范围内筛选整数；边界等号取舍 2.解题方法技巧 先解不等式→画数轴→圈出符合整数→端点是否可取 【例题4】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）不等式的所有负整数解之和等于__________． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式的最小整数解是_________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·四川达州·期中）不等式的所有非负整数解的和是____________． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·陕西西安·期中）不等式的正整数解为______． 【题型5】含参数不等式：由解集方向判断参数正负 1.核心知识点 不等式性质3；不等号方向改变→系数为负 2.解题方法技巧 看不等号方向是否改变→反推未知数系数大于0或小于0→解参数范围 【例题5】.（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）当________时，不等式的解集为． 【变式题5-1】.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）不等式的解集是，则的取值范围是________． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·上海·月考）已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是______． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·江苏扬州·期末）关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值______________ ． 【题型6】方程的解是不等式的解（求参数范围） 1.核心知识点 解方程；将解代入不等式；求参数范围 2.解题方法技巧 先求方程解→代入不等式→化简得参数不等式→求解 【例题6】.（24-25七年级下·山东德州·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是_______． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·上海黄浦·期中）已知关于x、y的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于，的二元一次方程组．若方程组的解满足，求的取值范围． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·河南开封·期中）关于的方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7】同解集不等式求参数值 1.核心知识点 分别求解集；令解集相等；列方程求参数 2.解题方法技巧 两式同解→最简形式边界相等→建立方程求解 【例题7】.（25-26七年级下·安徽池州·期中）若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则m的值为______． 【变式题7-1】.（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）关于的不等式与的解集相同，求的值． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）若关于的不等式的解集与不等式的解集相同，求的值． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·四川成都·月考）如果关于的不等式和不等式的解集相同，则求的值为_________． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算与一元一次不等式 1.核心知识点 新定义翻译；标准不等式求解；整数解计数 2.解题方法技巧 按规则把新运算→化为常规一元一次不等式→求解集→筛选解 【例题8】.（25-26七年级下·全国·课后作业）定义新运算：对于任意实数a，b都有．例如．求不等式的解集． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）对于实数m，n，定义一种运算“”为：．已知，求x的最大正整数． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：．如：，则不等式的最小整数解为______． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·山西临汾·期中）已知有理数和，定义一种新运算“&”，规定：（、是都不为0的常数），等式右边的运算是通常的四则运算．例如．当，时，则关于的不等式的最小整数解为____________． 【题型9】跨学科阅读理解类不等式 1.核心知识点 信息提取；数学建模；规范求解 2.解题方法技巧 圈画关键条件→转化不等关系→列不等式→求解并作答 【例题9】.（25-26八年级下·宁夏银川·期中）下面是小亮同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并解答问题． 解不等式：． 解：去分母，得………………………………………① 去括号，得…………………………………………………② 移项、合并同类项，得…………………………………………………③ 两边都除以－7，得…………………………………………………………④ (1)填空：第①步中“去分母”的依据是______；第______步有错误，这一步错误的原因是______； (2)写出该不等式的正确解答过程． 【变式题9-1】.（2026八年级下·广东深圳·专题练习）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解， ． 又， ．即． 又， ．① 同理得：．② 由得， 的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题：已知，且，，则的取值范围． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 【变式题9-3】.（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； ①直接判断 是“有缘组合”还是“无缘组合”A．有缘组合B．无缘组合 填“A”或“B”______ ②判断是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围． 易错点 1.去分母漏乘常数项，只给含分母项乘公分母，常数项不乘。 2.括号前为负号，去括号时部分项不变号，导致符号错误。 3.移项不变号，把“移项”与“直接交换位置”混淆。 4.系数为负数时，化系数为1忘记改变不等号方向。 5.数轴虚实点混淆：含等号画空心、不含等号画实心。 6.混淆“解”与“解集”，把单个值当作所有解的集合。 重点 1.解一元一次不等式五步法及每步依据。 2.不等式性质3的正确使用（乘除负数变号）。 3.解集的数轴规范表示。 4.求不等式的整数解等特殊解。 难点 1.含参数不等式：由解集方向/整数解个数反推参数范围。 2.去分母、去括号的综合易错步骤规范。 3.数形结合：用数轴分析边界、临界值与等号取舍。 4.新定义、情境题中准确建模为一元一次不等式。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图是车辆限高标志，车辆的高的范围可表示为（    ） A． B． C． D． 2．不等式 的最小整数解为（    ） A．3 B． C． D． 3．若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知关于、的二元一次方程组，如果，那么的取值范围是___________． 5．关于x的方程的解是非负数，则a的取值范围是______． 6．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“柳子数”．如：，，则8，16均为“柳子数”，在不超过2026的正整数中，所有的“柳子数”之和为_____． 三、解答题 7．解不等式：． 8．定义一种新运算：，如：．已知，求x的取值范围． 9．下面是菲菲同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助菲菲完成相应任务． 解不等式． 解：          第一步                   第二步                   第三步                          第四步                            第五步 (1)任务一： ①以上解题过程中，第一步的依据是_________； ②该题第_________步出现错误，错误的具体原因是_________； (2)任务二： ③不等式的解集为_________； ④请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议_______． 10．如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值x”到“判断结果是否大于等于1”为一次运算． 例如：开始输入x的值为，运行第一次：．因为，所以需要运行第二次：．因为，则输出结果为3. (1)当时，输出结果为_____；当时，输出结果为_____． (2)要使开始输入的x值只经过一次运行就能输出结果，求x的取值范围； (3)若经过两次运行后输出的结果为2.6，求出此时输入的x的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $