精品解析：安徽桐城市杨公中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学

2026年桐城市杨公中学期中考试 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准条形码上的以上信息. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】 . 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 15 B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】使用等差数列前项和的性质成等差数列表示未知量，进而求解即可. 【详解】设，，则， ，，成等差数列，， 即，解得，所以. 3. 的展开式共（ ） A. 15项 B. 21项 C. 25项 D. 31项 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为求满足的解的个数,再利用隔板法计算. 【详解】展开式中任意一项的形式为（为系数），其中指数满足，为非负整数，不同的对应不同的项， 因此问题转化为求该不定方程的非负整数解的个数, 根据隔板法公式：个相同元素分给个不同对象，非负整数解的个数为， 此处，，代入得： . 4. 等比数列满足且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 由等比数列性质可知， 所以，. 5. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 6. 已知定义在上的连续函数为奇函数，的导函数为．若对任意，都有，且，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，首先判断的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调性解函数不等式. 【详解】令，因为是奇函数，即， ，是奇函数； 又当时，， 在上单调递增，在上单调递增； 是定义在上的连续函数，所以在上单调递增； 又，， 对于不等式，又，所以， 所以不等式等价于，即， 所以，且，即不等式解集为． 7. 徽风皖韵，山水入怀，江淮毓秀名人辈出，安徽山水人文皆是胜景．7个人到安徽省的7个不同地方旅游，一人只去一个地方，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，其余3人无限制，则不同的旅游方案共有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据容斥原理，总方案数＝7人全排列－任意1人违规的方案数＋任意2人违规的方案数－任意3人违规的方案数＋4人都违规的方案数，求解即可． 【详解】记甲去A地，或乙去B地，或丙去C地，或丁去D地为违规，且对应不能去的地方为禁地， 7个人到7个不同地方，即7人全排列，共有种情况， 任意1人违规（从甲、乙、丙、丁中选1人去禁地，其余6人无限制），共有种方案数； 任意2人违规（从甲、乙、丙、丁中选2人去禁地，其余5人无限制），共有种方案数； 任意3人违规（从甲、乙、丙、丁中选3人去禁地，其余4人无限制），共有种方案数； 4人都违规（甲、乙、丙、丁中4人都去禁地，其余3人无限制），共有种方案数， 所以不同的旅游方案共有种方案数． 故选：A 8. 如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，将转化为，令，利用导数判断函数的单调性，得到，令，根据导数判断单调性，求得最大值，即可求解. 【详解】令，则， ， 因为，所以， 令，则， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 ， 要使存在，使得不等式 成立，则， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据排列数、组合数的性质或排列数、组合数的计算公式即可求解. 【详解】根据组合数的性质或组合数的计算公式， 所以 ，所以A选项正确； ， ， 所以，所以B选项正确； ，而，所以C选项错误； ， ，所以D选项正确． 10. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，即可得，即可判断A；结合单调性分析数列的正负性，即可得的最值，即可判断BCD. 【详解】因为数列为等差数列， 则，即， 且，即，可得， 所以公差，故A正确； 可知等差数列为递增数列，当时，；当时，； 所以当时，取最小值，故B错误； 所以，，故C错误，D正确． 11. 已知定义域为的奇函数满足，不恒为零，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令，代入计算即可判断；对于B，结合奇函数和对称轴的性质即可判断；对于C，由，两边求导数即可求解；对于D，由，两边求导数，令即可求解. 【详解】因为定义域为的奇函数满足， 所以，且的对称轴为， 对于A，令，满足是定义在上的奇函数，且对称轴为，但，故A错误； 对于B，由于，则，因为为奇函数， 所以，则， 所以，故B正确； 对于C，由，两边求导数可得，所以是偶函数，故C正确； 对于D，由，两边求导数可得，令，可得，解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数的导数，判断函数的单调区间和极值点，从而求出的最小值. 【详解】根据题意可得，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以是区间上的极小值点，也是最小值点， 则. 13. 某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 【答案】18 【解析】 【分析】结合排列组合知识，按照分类加法原理和分步乘法原理求解即可. 【详解】先将3名男生和2名女生按要求分成两组，有两类分组方法： 第一类：由1男1女组成一组，其余2男1女组成一组，有种分法； 第二类：由1男2女组成一组，其余2男组成一组，有种分法. 所以共有种分组方法. 再将分好的两组分配到甲、乙两地参加社会调研，有种分法， 根据乘法分步原理，不同的安排方案有种. 14. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为 请仔细观察杨辉三角，从杨辉三角蕴含的规律可知：____________(用数字作答) 【答案】19600 【解析】 【详解】由杨辉三角的性质，得， 所以 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知( 且 求： （1）n和； （2） （3） 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过使用二项式定理展开的通项就可以得到通项的表达式，再利用求解; （2）使用赋值法，令直接解； （3）使用两次赋值法，令，得到，令得，，两式联立即可求解. 【小问1详解】 由于，运用二项式定理展开可知， ，． 【小问2详解】 令得， 【小问3详解】 令得，， 令得，， . 16. 已知等比数列的前项和为，公比，且，. （1）求公比的值； （2）设 ，求证：是等比数列. 【答案】（1） （2） 由（1）可知， ， ，， 所以是等比数列. 【解析】 【分析】（1）根据条件计算出等比数列的公比； （2）运用等比数列的定义证明即可. 【小问1详解】 由题可知，将代入得， 解得或，又因为公比，所以； 【小问2详解】 略 17. 已知函数（，，e为自然对数的底数），若对于恒成立． （1）求实数a的值； （2）证明：存在唯一极大值点，且． 【答案】（1） （2） 由（1）可知：， 故，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，，， 因为，由零点存在定理及的单调性知， 方程在上有唯一根， 设为且，从而有两个零点和0， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 从而存在唯一的极大值点，得证． 由得：，， 所以， 取等不成立，所以得证． 又因为，在上单调递增， 所以， 从而成立，得证． 【解析】 【分析】（1）对于恒成立，化为：，令，利用导数研究其单调性，对分类讨论，求出其最小值，要求其大于等于0即可得出. （2）求导，令，利用导数研究其单调性，根据，由零点存在定理知，方程在上有唯一根，进而，根据基本不等式及的单调性可得，即可得证. 【小问1详解】 ，因为， 所以恒成立，令，则， ①时，，函数单调递减，， 不恒成立，不合题意； ②时，令得，令得， 令得，所以在单调递减，在上单调递增， 所以时，取得极小值即最小值，所以． 令，，则，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即，所以只有时，， 满足恒成立，故． 【小问2详解】 略 18. 已知数列满足，当时， （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求； （3）证明：，. 【答案】（1） （2） （3） ， 计算前四项和：， 所以当时不等式成立，下证当时成立， 当时，， . 【解析】 【分析】（1）对两边同时除以，再用累加法求和. （2）先算出，再用分组求和法求解 （3）保留和式的前4项，对后面的项放缩为等比数列求和 【小问1详解】 由题可知， 上式两边同时除以得， 由累加法得： ， 化简得：， 再化简得：， 即当时，，又因为，符合的通项公式， 所以. 【小问2详解】 ，， ，令， . 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）求在上的零点个数； （2）若，都有成立，求实数的值； （3）对于任意，当时，都存在，使得成立，其中，直接写出的值． 【答案】（1）在上恰有一个零点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，分与判断，从而得到在给定区间上单调递增，再结合端点函数值与零点存在定理确定零点个数． （2）构造，由且推出是的最小值点，再由先求出的必要值，最后验证时恒成立． （3）先求在上的值域为，再把题设转化为集合关于某个常数和的配对问题，由确定即可． 【小问1详解】 因为，所以． 当时，，，所以， 当时，，，所以． 因此在上单调递增．又，， 且在上连续，所以在上存在一个零点． 由于在上单调递增，所以该零点唯一． 故在上恰有一个零点． 【小问2详解】 令．由题意，，都有． 又，所以是的最小值点． 因为在上可导，所以． 由，得， 解得．下面验证时满足题意． 当时，，． 当时，，，所以，于是在上单调递减． 当时，需证明，即证明． 若，则，且 设 ，则 ， 所以是增函数，又，所以 ， 所以，故； 若，则， 设 ，则 ， 所以在时， 是增函数， 又 ，所以，故仍有． 所以当时，，于是在上单调递增． 综上，在上单调递减，在上单调递增，所以． 因此，都有，即符合题意， 综上，实数的值为． 【小问3详解】 先求在上的值域．因为，， 所以，故的值域包含于． 下面证明中的每一个数都可以作为的函数值． 设．若，由第（1）问可知，在上单调递增， 且，当充分大时，， 所以存在，使得． 若，则．取足够大的正整数，使得． 令，，则， 且，， 构造函数，由已知得，， 由零点定理得，存在，使得，即。 所以在上的值域为． 当时，有，于是． 反过来，对任意，都有， 由的值域可知，存在，使得． 因此记，则． 题设等价于对任意，都有． 当时，的取值范围为． 要使，不能出现内的数，所以必须有． 当时，的取值范围为． 要使，也不能出现内的数， 所以必须有，即，由且，得． 当时，若，则，属于； 若，则，也属于．所以满足题意． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年桐城市杨公中学期中考试 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准条形码上的以上信息. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答，字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 15 B. C. D. 7 3. 的展开式共（ ） A. 15项 B. 21项 C. 25项 D. 31项 4. 等比数列满足且，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6. 已知定义在上的连续函数为奇函数，的导函数为．若对任意，都有，且，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 徽风皖韵，山水入怀，江淮毓秀名人辈出，安徽山水人文皆是胜景．7个人到安徽省的7个不同地方旅游，一人只去一个地方，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，其余3人无限制，则不同的旅游方案共有（ ）种 A. B. C. D. 8. 如果存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 11. 已知定义域为的奇函数满足，不恒为零，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在上的最小值为______． 13. 某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 14. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了杨辉三角，书中是用汉字来表示的，如图1.研究发现，杨辉三角可以由组合数来表示，如图2.杨辉三角有很多有趣的性质，如杨辉三角的两个腰上的数字都是1，用组合数表示为 请仔细观察杨辉三角，从杨辉三角蕴含的规律可知：____________(用数字作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知( 且 求： （1）n和； （2） （3） 16. 已知等比数列的前项和为，公比，且，. （1）求公比的值； （2）设 ，求证：是等比数列. 17. 已知函数（，，e为自然对数的底数），若对于恒成立． （1）求实数a的值； （2）证明：存在唯一极大值点，且． 18. 已知数列满足，当时， （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求； （3）证明：，. 19. 已知函数． （1）求在上的零点个数； （2）若，都有成立，求实数的值； （3）对于任意，当时，都存在，使得成立，其中，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $