第11章一元一次不等式单元测试2025-2026学年苏科版数学七年级下册

第11章 一元一次不等式 单元测试 一、单选题 1．解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 2．年亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行场比赛，胜一场得分，平一场得分，负一场得分，其中一支队伍在前场比赛中，负场，积分超过了分，设该球队胜了场，则下列不等关系正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如果 ，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4．小明的幼儿园老师在六一儿童节前夕，预计订购6盒巧克力，每盒颗数都相同，分给班级小朋友，预定每个小朋友分10颗，会剩余40颗，后来因某原因少订了2盒，于是改为每人分8颗，但最后分到小明时巧克力不够分，小明拿不到8颗，但不少于4颗，该班小朋友最多有（    ） A．20人 B．21人 C．23人 D．24人 5．不等式组恒有解，下列满足条件的是（    ） A． B． C． D． 6．已知是非零实数，若对于任意的，都有，则下列不可能的是（    ） A． B． C． D． 7．瑶瑶去玩具店购买一款心爱的玩具，付款时收银员说：玩具成本是元，定价为元，今天是店庆，可以打折优惠，但利润率不能低于，则该玩具最多可以打（    ） A．折 B．折 C．折 D．折 8．某运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作，若输入x后，程序运行了两次后输出结果，则符合的整数x的个数为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．我们知道表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上数a，b对应的两个点之间的距离．比如表示数5与8对应点之间的距离为3．结合以上知识，以下说法正确的是（　　） ①当时，；②若，则或；③若，则；④若，则；⑤若关于x的不等式恒成立，则m的取值范围为． A． B． C． D． 10．当，，且满足时，恒成立．则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．关于x，y的方程组的解中，x与y的和不大于3，则k的取值范围是_________． 12．不等式组的解集是，则a的取值范围是________． 13．若关于x，y二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 _________． 14．将若干只鸡放入若干个笼内，若每个笼里放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放，另有1笼没有放满，那么最多有______只鸡． 15．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是______． 16．“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于．第一周结束后，三个图书角共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为；第二周结束后，三个图书角又共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为．若每个班的图书角的书籍总本数为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍_________本． 17．成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头．如果愚公是第1代，那么到第_______代，这座大山可以搬完． 18．若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 三、解答题 19．解下列不等式（组） (1) (2) 20．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答： (1)解不等式①，得______． (2)解不等式②，得______． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． (4)原不等式组的解集为______． 21．已知方程组中为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的范围中，当为何整数时，不等式的解集为． 22．已知实数a，b，c满足：．求证： (1)； (2) 23．在平面直角坐标系中，对于点，若满足（为自然数），我们称为的阶拟合点．特别地，若，我们称为的完美拟合点．请回答下列问题： (1)请判断点是否为点的5阶拟合点，并说明理由； (2)点为点的完美拟合点，请求出的值； (3)点为点的6阶拟合点，请求出的取值范围． 24．对于不等式：（且），当时；当时，．请根据以上信息，解答以下问题． (1)解关于x的不等式：； (2)已知关于x的不等式：，当且时，在上总存在x的值使得其成立，求k的取值范围． 25．一家文具店采购中性笔套装和笔记本套装，已知采购2套中性笔套装和3套笔记本套装的总进价为300元，且1套中性笔套装的进价比1套笔记本套装的进价多25元． (1)求一套中性笔套装和一套笔记本套装的进价分别为多少元？ (2)店家采购中性笔套装和笔记本套装共100套．已知每套中性笔套装的售价为90元，每套笔记本套装的利润率为，中性笔套装销售一半后，商家为了加快销售速度，对剩下的中性笔套装打九折销售，笔记本套装售价不变．两种套装全部售完后要求这批商品的总利润不低于930元，至少需要采购多少套中性笔套装？ 26．定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 27．定义：若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值；若的解集中点值是不等式（组）的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）包含不等式组的解集中点值． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，证明不等式组包含不等式组的解集中点值； (2)已知关于的不等式组以及不等式组，若不等式组包含不等式组的解集中点值，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组和不等式组若不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为9，求的取值范围． 《第11章一元一次不等式 单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C D D C B D B 5．D 【详解】 ， 由①得，， 由②得， ∵不等式组恒有解， ∴， ∴， ∴． 即的所有实数满足条件． ∵A，B，C选项中均有， ∴满足题意． 故选：D． 6．D 【详解】∵对于任意的，都有， ∴①当，，时， ∴，， ∵ ∴，， ∴，； ②当，，时， ∴，， ∵ ∴，， ∴，； ③当，，时， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴，； 综上所述，不可能的是． 7．C 【详解】解：设该玩具打折销售， 根据题意：， 解得： 该玩具最多可以打折， 故选：． 8．B 【详解】解：∵程序运行了两次后输出结果， ∴第一次运行结果，第二次运行结果， 即， 解，得， 解，得， ∴不等式组的解集为， 则符合条件的整数为、、、、，共个， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查绝对值性质及数轴上两点距离,正确理解绝对值的几何性质是解题的关键．①根据绝对值的性质，直接求解即可；②由题意可得方程或, 求解方程即可；③根据不等式的基本性质可得, 分两种情况讨论：当时，; 当时，，④分两种情况讨论：当时，, 则; 当时，,, 又由 ，可得， ⑤根据绝对值的意义可得, 再由恒成立，可得． 【详解】解：①当时，， ， 故①符合题意； ②， 或， 解得或， 故②符合题意； ③， ， 当时，， 当时，， 故③不符合题意； ④， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 故④符合题意； ⑤表示数轴上表示的点到表示1的点的距离、表示的点的距离、表示的点的距离和， ， 恒成立，即恒成立， ， 故⑤符合题意； 故选：. 10．B 【分析】本题主要考查了不等式．熟练掌握解不等式，是解题的关键． 由已知得，得，的最小值为4，，得 ，即得． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴的最小值为4， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 11． 【分析】先根据方程组求出的值，再根据x与y的和不大于3列出关于k的不等式求解． 【详解】解：， ，得， ∵x与y的和不大于3， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的特殊解法，一元一次不等式的解法，求出是解答本题的关键． 12．/ 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出a的取值范围即可． 【详解】解：由，得： ， ∵不等式组 的解集是， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集确定规则是关键． 13． 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组的基本方法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 首先解方程组，利用表示出x、y的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围． 【详解】解： ， 得：， 解得：， 得：， 解得：， ∵， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， 化系数为1得． ∴的取值范围是． 故答案为：． 14．41 【分析】设有x只鸡，y个鸡笼，根据每个笼里放4只，则有1只鸡无笼可放可得，根据每个笼里放5只，则有1笼无鸡可放，另有1笼没有放满可得，由此建立不等式组进行求解即可． 【详解】解：设有x只鸡，y个鸡笼， 由题意得， ∴， 解得， 又∵y为正整数， ∴y的最大值为10， 此时， 即最多有41只鸡． 故答案为：41． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出对应的不等式组是解题的关键． 15．③ 【分析】分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断． 【详解】解：解不等式组，得：， 方程①的解为；方程②的解为；方程③的解为， 不等式组的关联方程是③， 故答案为：③． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力． 16． 【分析】设第二周结束后丙班图书角拥有书籍本，第二周结束后甲班图书角拥有书籍本，第二周结束后乙班图书角拥有书籍本，则第二周结束后三个班的图书角的书籍总数为本，再根据建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于列出不等式组求出；再由第一周结束后，三个图书角的书本数量之比为，得到是26的倍数，进一步推出是13的倍数，由此求出x的值即可得到答案． 【详解】解：设第二周结束后丙班图书角拥有书籍本，第二周结束后甲班图书角拥有书籍本，第二周结束后乙班图书角拥有书籍本， ∴第二周结束后三个班的图书角的书籍总数为本， 由题意得，， 解得； ∵x为整数， ∴x的值可以为43，44，45，46，47，48； ∵第一周结束后，三个图书角的书本数量之比为， ∴第一周结束后三个班的图书角的书籍总数一定是的倍数， ∴是26的倍数， ∴是整数， ∴是整数，即是13的倍数， ∴满足题意的x的值只能是45， ∴， ∴第二周结束后丙班图书角拥有书籍本， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系求出是解题的关键． 17． 【分析】本题考查了不等式的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设到第n代时，总人数为等比数列前n项和，每人搬运吨，总搬运量需不小于万吨，即总人数不小于人，先求出，再求解． 【详解】解：设到第n代时，可搬完大山．从第1代到第n代，各代的人数依次为，，，…，，总人数为， 所以． 所以， 即， 总搬运量为吨， 需满足， 即， 所以． 已知，， 故，即到第13代时大山可以搬完． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可得出结论． （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）解： 去分母得． 去括号得， 移项得， 合并同类项， 系数化为1得． （2）解：， 由①得， 由②得， 故不等式组的解集为 20．(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． （1）根据一元一次不等式的解法解答①即可； （2）根据一元一次不等式的解法解答②即可； （3）分别解两个不等式得到，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集，利用数轴表示其解集． （4）根据（3）写出解集即可； 【详解】（1）解：解不等式①，得． （2）解：解不等式②，得． （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图： （4）解：结合（3）可得原不等式组的解集为． 21．(1) (2) 【分析】（1）首先解方程组，然后根据为非正数，为负数列不等式组求解； （2）根据不等式的性质得到，求出，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵方程组中为非正数，为负数 ∴ 解得：； （2）解：∵ ∴ ∵不等式的解集为 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴整数． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等式的性质可得，由可得，再代入解答即可； （2）由，，由不等式的性质可得，再根据可得，所以，再由，结合不等式的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ 即， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 23．(1)点不是点的5阶拟合点，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据新定义进行判断，即可求解． （2）根据新定义得出，根据非负数的性质列出方程组，进而求得的值； （3）根据新定义可得，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：点不是点的5阶拟合点，理由如下：    且 ， ∴点不是点的5阶拟合点． （2）解：∵点为的完美拟合点， ， 整理得   ， ， ， ∴得， ∴； （3）解：∵点是点的6阶拟合点， 即 ， 当时，，解得：； 当时，，无解； 当时，，解得：； 综上所述，或． 24．(1) (2)当时，；当时， 【分析】（1）根据题意可得，解不等式即可； （2）分当时，当时，两种情况求出对应的不等式解集，再根据在上总存在x的值使得其成立进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：当时， ∵， ∴， ∴， ∵在上总存在x的值使得成立， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵在上总存在x的值使得成立， ∴， ∴； 综上所述，当时，；当时，． 25．(1)一套中性笔套装的进价为75元，一套笔记本套装的进价为50元 (2)至少需要采购60套中性笔套装 【分析】（1）设一套中性笔套装为元，一套笔记本套装为元，根据“采购2套中性笔套装和3套笔记本套装的总进价为300元，且1套中性笔套装的进价比1套笔记本套装的进价多25元”列出二元一次方程组，即可解答； （2）设采购中性笔套装套，则采购笔记本套装套，然后表示出两种套装的利润，再根据总利润不低于930元，列出不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设一套中性笔套装的进价为元，一套笔记本套装的进价为元， ， 解得， 答：一套中性笔套装的进价为75元，一套笔记本套装的进价为50元． （2）解：设采购中性笔套装套，则采购笔记本套装套， ， 解得， 答：至少需要采购60套中性笔套装． 26．(1)①；②；③是 (2) (3) 【分析】（1）根据不等式组的解法及“绝对包含”的意义求解即可； （2）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围； （3）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和． 【详解】（1）解：①解不等式组， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， ∴这个不等式组的解集是； ②， 这个不等式组的绝对距离是； ③∵不等式组的解集为，且，即是不等式组的解， ∴不等式组是对绝对包含； （2）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∴的取值范围为； （3）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∵为整数， ∴整数的取值为，，，， ∴满足条件的所有整数的和为：． 27．(1)见解析 (2) (3)的取值范围为或 【分析】（1）先求解不等式组的解集，在求取中点值，即可确定不等式（组）包含不等式组的解集中点值． （2）先求解不等式组，由不等式组必须有解，可确定，确定不等式组的解集中点值，的解集中点值是不等式（组）的解，得到，解得，结合，即可确定的取值范围． （3）由不等式组的解集，确定不等式组的解集中点值，求解不等式组的解集，不等式组包含不等式组的解集中点值，得到，解得，此时存在两种情况，若取正整数值，仅可取，此时；可取负整数，则仅可取，此时． 【详解】（1）解：解不等式组得， 的解集中点值为． 不等式组包含不等式组的解集中点值． （2）解不等式组，得 显然不等式组必须有解， 故，即， 不等式组的解集中点值为． 由不等式组知， 即解得即． 又， （3）由不等式组，得，其解集中点值为 由不等式组，得． ， 即解得 存在两种情况 ①取正整数值，即仅可取， 则显然，此时； ②可取负整数，则仅可取， 此时， 此时． 综上所述，的取值范围为或． 不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为， 【点睛】本体考查新定义、求解不等式组解、求不等式组的参数、整数解等问题，理解不等式解集中点值、分情况讨论是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $