宁夏石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高三年级期中考试数学试题

**基本信息** 高三期中数学试卷聚焦核心模块，通过分层设计考查函数、几何、概率等知识，解答题融合选择性问题与现实情境，渗透推理能力与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数奇偶性、二项式定理、立体几何命题|基础概念辨析，如第2题结合函数性质考查抽象能力| |多选题|3/18|三角函数性质、概率统计概念|第10题辨析二项分布与正态分布，强化批判性思维| |填空题|3/15|导数切线、数列公共项、直线与圆|第13题综合数列求和，考查知识迁移能力| |解答题|5/77|解三角形（选择性）、函数导数、立体几何（体积比/夹角）、概率统计（生育政策）|19题结合生育政策分析期望方差，体现数据意识；15题设选择性问题，适配不同能力需求|

石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高三年级期中考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 2．若函数、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且满足（为自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，的系数为（    ） A．4 B．－4 C．－60 D．60 4．已知命题是真命题，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．在中，点D在边AB上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 6．设、、为不同的直线，、为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是 ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若且，则 A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是奇函数，且在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数为偶函数 B． C．若，则的最小值为 D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 10．下列命题，错误的是（    ） A．若随机变量X服从正态分布，且，则 B．100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数X服从二项分布 C．将随机变量进行平移或伸缩后，其均值与方差都不会变化 D．在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果．若越小，则模型的拟合效果越好 11．已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面为等腰三角形，为棱上靠近的三等分点，点在棱上运动，则（    ） A．平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C． D．点到平面的距离为 三、填空题：本题共15分。 12．函数在点处的切线方程是__________. 13．已知数列，的前n项和分别为，，且，，若两个数列的公共项按原顺序构成数列，则__________. 14．已知直线，若直线l与直线平行，则实数________；圆被直线截得的最短弦长为________. 四、解答题：本题共77分。 15．已知的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知，. (1)求； (2)若角 的平分线交 于点， 在下列两个问题中选择一个作答: ①若， 求的周长； ②若的面积为面积的两倍， 求的长. 16．已知函数． (1)若曲线在处的切线方程为，求实数a的值； (2)当时，求在上的最大值； (3)若对任意的，恒有，求实数a的取值范围． 17．在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，在三棱锥中，为正三角形，，，，分别为棱，上的动点，且平面．    (1)证明：平面平面； (2)若截面将三棱锥截成上下两部分的体积之比为，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)若球是三棱锥的外接球，若平面截球所得的截面的面积为，求． 19．人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩人，在Ⅱ时期生孩人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．服从0-1分布且．分布列如下图： 0 1 2 现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个男孩，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为（针对普遍家庭）． (1)求的期望与方差； (2)由数据组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为，分别为与，，总体样本点与两个分层样本点均值分别为，，，方差分别为，，，证明：，并利用该公式估算题设样本总体的方差． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第8页，共9页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高三年级期中考试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A C D B D AC BCD 题号 11 答案 BC 12． 【分析】借助导数几何意义计算即可得. 【详解】，，又， 故函数在点处的切线方程是， 整理得. 13．819 【分析】由题中可得，再验证后可得；然后由可得，从而可得，可求得，从而可求得，即可求解. 【详解】由题， . 当时， ，当时， . 当时也满足.故， 又由，当时， 当时， ， 故是以为首项，为公比的等比数列，故， 故数列为与的公共项， 又， 故，故. 故答案为：819. 14． 【分析】答题空1：直接利用直线平行的充要条件的应用求出即可. 答题空2：利用直线与圆的位置关系及点到直线距离、垂径定理求出结果. 【详解】当l平行于直线时，则，即； 又直线恒点，圆的半径，过圆心作直线的垂线，则由垂径定理，知弦长，即弦长的最小值为. 故答案为：   【点睛】本题考查直线与直线、直线与圆的位置关系.，求圆的弦长的最小值也可以直接通过代数运算解决，但要注意合理运用平面几何知识. 15．(1) (2)①18；② 【分析】（1）应用正弦定理结合辅助角公式及特殊角计算求解； （2）①应用角平分线结合面积公式计算得出，再应用余弦定理计算求解；②结合面积公式及角平分线计算得出，，再根据余弦定理计算求解. 【详解】（1）因为， 且， 所以， 由正弦定理得 因为， 所以， 即. 因为 ，所以，， 所以. （2）若选择问题①若， 求的周长， 因为角A 的平分线交 于点D， 所以， 由 得 因为， 所以， 即. 由（1） 可知， 结合余弦定理可得， 即， 所以， 即 ， 又因为， 所以， 所以， 所以 的周长为18 . 若选择问题 ②若 的面积为 面积的两倍， 求的长 因为角A 的平分线交 于点D，所以， 所以，， 由 （1）可知， ， 结合余弦定理可得 ， 从而 ， 又， 即， 结合 可得 ，， 设， 由， 所以， 即得 ， ，所以， 解得. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）直接求导得出，解a的值即可； （2）利用导函数判断在上的单调性即可得出最大值； （3）利用导函数结合区间端点，分类讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）由，所以， 又曲线在处的切线方程为，即， 所以； （2）当时，， 由在上分别单调递增、单调递减可得： 在上单调递增，而， 即，使得，故在上单调递减，上单调递增， 且，即在上的最大值为； （3）∵，，令， ①当时，，易知在上恒成立，当时取得等号，符合题意； ②当时，易知，则在上恒成立，即在时单调递增， 又，故在上单调递增， ∵，∴恒有，符合题意； ③当时，由②知在时单调递增， 而， 即，使得，故在上单调递减，上单调递增， 又，则，不满足题意； 综上当，能满足任意的，恒有. 17．(1)动点的轨迹为双曲线． (2)存在点满足题意. 【分析】（1）根据题意，结合距离公式，化简计算，即可得答案. （2）由题意，根据面积公式，分析可得，即，设出直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据直线方程，代入，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由已知得：，所以， 化简可得：，即动点的轨迹为双曲线. （2）因为， 所以，即， 所以． 显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为， ，，， 联立，可得， 首先有，且， 由韦达定理得，， 因为，所以， 即，整理得， 所以，化简得， 当时，方程恒成立， 当时，解得， 故在轴上存在点，使得． 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再应用勾股定理证明； （2）先根据得出，再建系得出平面和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设，求出平面的法向量，再应用点到平面距离公式计算得出. 【详解】（1）取线段的中点为，连接，因为，所以； 又因为为正三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角 又因为，所以，所以， 即为直角三角形，且，所以； 又因为为正三角形，且，所以， 又因为，所以，即， 所以，所以平面平面； （2）由（1）知，两两垂直，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则. 因为平面，因为平面，平面平面，所以， 则． 因为截面将三棱锥截成上下两部分的体积之比为，所以， 又因为，，即， 因为三棱锥与三棱锥的高相等，所以，即， 所以分别为棱的中点，即，，，， 设平面的法向量为，由，得， 取，则，，所以； 平面的法向量为； 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； （3）三棱锥的外接球的球心即为正三角形的中心，即，外接球的半径， 因为平面截球所得的截面面积为，所以截面圆的半径为，所以球心到平面的距离为． 设，，则， 设，则， 同理，所以，， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则，，则， 又因为，则， 即，解得，所以． 19．(1)期望为，方差为； (2)证明见解析，总体方差约为. 【详解】（1）由分布列知：，即， 事件分别表示Ⅰ时期没生孩子、生了1个女孩、生了1个男孩， 事件表示Ⅱ时期生2个孩子，则， 又， 所以， 即，则， 综上，分布列如下： 0 1 2 . . （2）由题意，，则，， 而， 上式 ， 又，且， 上式. 综上，得证. 由题设知：，，，， 则总体均值， 综上，题设样本总体的方差 . 【点睛】关键点点睛：第一问，注意分布列概率和为1，且应用全概率公式求Ⅱ时期生2个孩子的概率为关键；第二问，应用方差公式，结合题设参数关系化简证明结论. 答案第4页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $