精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年高三第一学期期中 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，即可求解. 【详解】由，得到， 所以的虚部为， 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合含义，结合解方程组，即可求得两集合的交集. 【详解】由题意集合表示点集， 解方程组，得或， 故， 故选：D 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，圆锥的表面积为，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助圆锥表面积公式计算即可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则，解得，所以圆锥的高. 故选：B. 4. 设定义域为R，对任意的都有，且当时，，则有（    ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，可得关于对称，所以，根据时的解析式，可得其单调性，根据对称性，可得时的单调性，根据自变量的大小关系，可得函数值的大小关系，即可得答案. 【详解】因为，所以关于对称， 因为当时，，单调递增， 所以当时，单调递减， 因为， 所以. 故选：B 5. 已知函数，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 当时，因为，均在上单调递增， 所以在上单调递增，又为连续函数， 所以在上单调递增， 不等式，即，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 6. 设函数.若对任意的实数都成立，且，在单调，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 对任意的实数都成立，可得 时函数取得最大值，则函数满足，，且在单调，再利用排除法可得答案. 【详解】因为对任意的实数都成立，则时函数取得最大值， 所以函数满足，，且在单调， 对于A，若，，可得，，，，则在单调递增，故A符合题意； 对于B，若，，可得，，故B不符合题意； 对于C，若，，可得，，故C不符合题意； 对于D，若，，可得，，故D不符合题意； 故选：A. 【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等. 7. 已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数在上单调递减，结合分段函数的单调性的概念，得到不等式组，即可求解． 【详解】由题意，函数且在上单调递减， 则满足，解得，即实数的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记分段函数的单调性的概念，结合二次函数的性质和对数的运算，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分. 9. 若，则下列不等式正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先由条件确定，再根据不等式的性质，结合选项，即可判断. 详解】由可知，，所以，即，故A错误； ，故B正确； ，所以，故C错误； ，由以上可知，，，所以，即，故D正确. 故选：BD 10. 关于函数，有下述四个结论正确的有（ ） A. f(x)的一个周期为； B. f(x)在上单调递增； C. .的值域与f(x)相同 D. f(x)的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】 A. 可验证是否等于可判断；B. 求出f(x)的单调递增区间可判断； C. 根据图象左右平移的特征可得答案； D.根据周期计算出g(x)的值域可得答案. 【详解】A. ，错误； B.当时，，所以， 单调递增区间为， 得，当时，，正确； C. 把函数的图象向右移动单位得到 ， 又它们的定义域都为，所以它们的值域相同，正确； D．由C知函数与的值域相同， ， 所以时，， 所以正确. 故选：BCD. 【点睛】有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题. 11. 在正方体中，，分别为的中点，点为线段上的动点（包括端点），则下列命题正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 的最小值为 D. 过三点作该正方体的截面，则截面图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由可判断A；设点到平面的距离为，利用等体积法可求得判断B；将绕转到与在同一平面内，利用余弦定理可求最小值判断C；求得截面面积判断D. 【详解】对于A，因为，又平面， 所以不平行于平面，故A错误； 对于B，设点到平面的距离为， 在正方体中，可得， 由，得， 所以，解得， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，，所以是等边三角形， 将绕转到与在同一平面如图所示，的最小值即为， 由，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 所以，故的最小值为，故C正确； 对于D，因为分别为的中点，所以过三点作该正方体的截面为， 又对角线互相垂直，且， 所以四边形的面积为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，令，求出，从而，所以. 【详解】，令得， 解得，故，所以. 故答案为： 13. 已知指数函数，且 与对数函数，且 互为反函数，它们的定义域和值域正好互换. 若方程 与 的解分别为、，则 ____________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可得，直线与两函数和交点的横坐标分别为，，结合图象即可得. 【详解】由方程和可化为和， 即直线与两函数和交点的横坐标分别为，， 由于和互为反函数，则它们的图象关于直线对称， 如图所示，点、关于点对称，， 由，解得，即， 所以. 故答案为：. 14. 在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，取的外心，过点作平面，过点作平面交于点，进而确定球心的位置及二面角的平面角为并确定范围，利用几何关系求球体半径，即可得球体表面积的范围. 【详解】由题意知，和是等边三角形， 取中点，连接，取的外心，则是的外心， 过点作平面，则三棱锥的外接球球心在上 过点作平面交于点，则点即为三棱锥的外接球球心， 由，知，为二面角的平面角，则， 设，则， 又，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据球心的性质确定位置，并求出二面角的平面角的范围为关键. 四、解答题：本题共77分. 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出的值，进而得出角； （2）根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后求出三角形的周长. 【小问1详解】 已知，根据余弦定理，将代入可得： 因为是三角形内角，即，且，所以. 【小问2详解】 已知，，且的面积为. 根据三角形面积公式，可得： 即，即. 再根据余弦定理，可得： 即，即， 对进行变形可得，将，代入可得： 因为、为边长，所以，则. 所以的周长为. 16. 已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足． （1）证明：数列成等差数列． （2）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）或． 【解析】 【分析】（1）易知，．再由，利用等差数列的定义证明； （2）由（1）得，，先利用作差法证明其单调性，得到其最大值，再利用恒成立求解. 【小问1详解】 证明：由题意知，． ∵， ∴， ∴， ∴数列是首项，公差的等差数列． 【小问2详解】 由（1）得， ∵，． ∴当时，．当时，， 即． ∴当或2时，取最大值． 又对一切正整数恒成立， ∴， 即．解得或． 17. 已知函数，对，有. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，，求； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【答案】（1），单调递增区间（） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据得到方程，求出，得到函数解析式，整体法得到函数单调性； （2）根据得到，凑角法，结合正弦和角公式得到答案； （3）根据伸缩和平移变换得到，令，故，令，从而得到，因为，所以当时，，所以，解出答案. 【小问1详解】 ， 因为对，有，可得当时，取得最值， 所以，， 可得，，又， 所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. 【小问2详解】 由，，， 可得，， 所以， 所以. 【小问3详解】 将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到 函数的图象，进而可得， 令， 只需， 令， 因为，所以， 所以， 因为，可得， 所以， 因为，所以当时，， 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得；②按奇偶求出的最小值即可. 【小问1详解】 在数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，即， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，， 经检验当也符合. 【小问2详解】 ①由（1）知，，， 所以 . ②由①知，，， ， 由数列单调递增，得，因此， 由对，，得， 所以的取值范围是． 19. 已知函数（其中，是自然对数的底数，）． （1）当时，求函数的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：对任意正整数，都有． 【答案】（1）的极小值为，无极大值； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，讨论导数的符号，得到函数的单调性，可求出函数极值； （2）分类讨论，当时，讨论函数单调性可知不符合题意；当时恒成立；当时，由解之得，即可得结果； （3） 由（2）知，当时恒成立，即亦即，令（）得，求和放缩得，即可证结论． 【小问1详解】 当时，，则， 当时，；当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，函数无极大值． 【小问2详解】 由，则， 若，则，函数单调递增， 当趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，故函数存唯一零点， 当时；当时，故不满足条件； 若，恒成立，满足条件； 若，由，得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 由得，解得． 综上，满足恒成立时实数a的取值范围是． 【小问3详解】 由（2）知，当时，恒成立，所以恒成立， 即，所以， 令（），得， 则， 所以，则， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问，根据第二问结论得到，进而得到为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年高三第一学期期中 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，圆锥的表面积为，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 4. 设定义域为R，对任意都有，且当时，，则有（    ） A. B. C. D. 5. 已知函数，满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数.若对任意的实数都成立，且，在单调，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数且在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分. 9. 若，则下列不等式正确是（ ）． A. B. C. D. 10. 关于函数，有下述四个结论正确的有（ ） A. f(x)的一个周期为； B. f(x)在上单调递增； C. .的值域与f(x)相同 D. f(x)的值域为 11. 在正方体中，，分别为的中点，点为线段上的动点（包括端点），则下列命题正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 的最小值为 D. 过三点作该正方体的截面，则截面图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________． 13. 已知指数函数，且 与对数函数，且 互为反函数，它们的定义域和值域正好互换. 若方程 与 的解分别为、，则 ____________. 14. 在平面凸四边形中，，，且，，将四边形沿对角线折起，使点A到达点的位置.若二面角的大小范围是，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是______. 四、解答题：本题共77分. 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，且面积为，求的周长. 16. 已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足． （1）证明：数列成等差数列． （2）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数，对，有. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，，求； （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求通项公式； （2）记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求取值范围． 19. 已知函数（其中，是自然对数的底数，）． （1）当时，求函数的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：对任意正整数，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $