2026届陕西省高考数学模拟试题

大荔县2026年高考模拟试题命制比赛作品 2026届陕西省高考模拟数学试题 参 考 答 案 一、选择题 1. C 解析 由z(1+i)=2-3i得z=,则z在复平面内所对应的点为(-,-),位于第三象限.故选C. 2. D 解析 因为集合A={(x,y)|x∈N*,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=9},所以集合A∩B中元素为(4,5),(3,6),(2,7),(1,8),共4个.所以它的子集有24=16个.故选D. 3. A 解析 函数y=f(x)=的定义域为{x|x≠0},且f(-x)==-=-f(x),函数f(x)为奇函数,C,D错误;又当x<0时,f(x)=0,B错误.故选A. 4. D 解析 由(a+b)⊥(a-2b),得(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=0, 则2|b|2-|b||b|cos<a,b>-2|b|2=0,故cos<a,b>=0.由于<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=故选D. 5. A 解析 函数f(x)=sin(4x+)的最小正周期为T=,将函数f(x)的图象向右平移个最小正周期,可得到函数y=sin[4(x-)+]=sin(4x-)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,故g(x)=sin(4x-)=sin(2x-).故选A. 6. B 解析 (2x-)6的展开式中第5项为(2x)2(-)4=60x-2,所以所求的系数为60.故选B. 7. C 解析 由题意知,S9是数列{Sn}中的最小值,所以a9≤0,且a10≥0,所以由“∀n∈N*,Sn≥S9”可以推出“a9≤0”,充分性成立;反之,若a9≤0,a10的符号无法确定,所以无法确定S9就是{Sn}中的最小值,所以必要性不成立.故“∀n∈N*,Sn≥S9”是“a9≤0”的充分不必要条件.故选C. 8. B 解析 易知椭圆C:=1中,a=4,c=2,得F(-2,0),F'(2,0).又圆A:x2-2x+y2=0的圆心为A(1,0),半径r=1,易知椭圆右焦点F'在圆A上,如图.椭圆上一点P到圆A上任意一点Q的最小距离为|PQ|=|PA|-r=|PA|-1, 因此可将|PQ|+|PF|的最小值转化为求|PA|+|PF|-1的最小值. 由椭圆定义可得|PA|+|PF|-1=|PA|+2a-|PF'|-1=|PA|-|PF'|+7≥-|AF'|+7=6, 此时点P在(-4,0)处,即|PQ|+|PF|的最小值为6.故选B. 二、选择题 9. B C 解析 对于A,易知a·b=3-2=1≠0,所以a,b不垂直,故A错误;对于B,a+b=(3,-1)+(1,2)=(4,1),可得|a+b|=,故B正确;对于C,由c=(t,1)且a∥c可得3×1+t=0,解得t=-3,故C正确;对于D,设a与b的夹角为θ,所以cos θ=,故D错误.故选B C. 10. A B D 解析 对于A,游戏纵队变为环形首尾相接,相当于固定一人,剩下6人全排列,共有=720种排法,故A正确;对于B,男女相间时,可先排3名女生,再将4名男生插入到女生排好形成的4个空中(含两端),共有=144种排法,故B正确;对于C,7名同学排成一纵队共有=5 040种排法,男生排在一起、女生也排在一起的排法有=288种,故男生排在一起、女生也排在一起的概率为,故C错误;对于D,男生甲排在正中间,即男生甲先排在中间,其余6人全排列,排法有=720种,故男生甲排在正中间的概率为,故D正确.故选A B D. 11. A C D 解析 由题可知EF=SA=10 cm,所以AC=10 cm,所以OA=5 cm,所以SO==5 cm,因此该几何体的高为10 cm,所以A正确;几何体的表面积为102+40×5+4102=100+200+100(cm2),所以B错误; 该几何体的体积为102×5102×5(cm3),所以C正确; 观察图形知,小蚂蚁从点E爬行到点S的最短路径为沿表面越过棱AB或AD,由对称性,不妨取长方形EFBA及△SAB,将它们置于同一平面内,连接SE,如图,取EF中点H,连接SH,则SH=5+5,而EH=5,所以最短路程为SE=(cm),所以D正确.故选ACD. 3、 填空题 12. 2 解析 根据渐近线的倾斜角为, 可得=tan, 所以=2. 13. [,+∞) 解析 当x≤2时,函数f(x)单调递增,所以f(x)=x3≤2.要使函数f(x)的值域为R,则当x>2时,loga2≤2,解得a,所以实数a的取值范围是[,+∞). 14. 4 解析 csc 10°-sec 10° ==-=-==4. 四、解答题 15.. 解 (1)因为Sn=n2+2n, 所以当n=1时,a1=S1=3. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.………………………………………… 3分 当n=1时,上式也成立.所以an=2n+1.…………………………………………………………6分 (2)由(1得,=22n+1+),………………………………………………………9分 所以Tn=23+(1-)+25+)+…+22n+1+), =(23+25+…+22n+1)+(1-+…+), =(1+), =4n+1-……………………………………………………………13分 16. 解 (1)因为A,B,C三层题量之比为7∶3∶2,所以在B层选题的概率为,不在B层选题的概率为1-,设至少2人的选题来自B层的概率为P,从B层选题数量为X1,由题意得X1~B(4,),而二项分布概率公式为P(X1=k)=)k()n-k,则至少2人的选题来自B层的概率为P(X1=2)+P(X1=3)+P(X1=4), 故P=)2()2+)3()+)4=………………………………6分 (2)因为A,B,C三层题量之比为7∶3∶2,所以在A层最多抽到7道,且X可取0,1,2,3,则P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, 其分布列为 X 0 1 2 3 P ……………………………………………………………………………………………12分 所以E(X)=0+1+2+3……………………………………………15分 17. 解 (1)由题得2c=2,即c=, 又离心率为, 解得a=2,b==1, 故椭圆的方程为+y2=1.………………………………………………………………6分 (2)设直线的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立得(1+4k2)x2+16kx+12=0, 由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0, 得k2>, 则x1+x2=-,x1x2=………………………………………………………………9分 因为点O在以线段AB为直径的圆外,所以∠AOB为锐角. 因为A,B,O不共线, 所以cos∠AOB>0, 故>0,即x1x2+y1y2>0. 因为y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4, 所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+4=>0,解得k2<4, 因为k2>,得<|k|<2, 解得-2<k<-<k<2, 故实数k的取值范围为(-2,-)∪(,2).……………………………………………15分 18. 解 (1)证明 如图,连接BD,PE, 由PD⊥平面ABCD,AD,CD⊂平面ABCD, 得PD⊥AD,PD⊥CD, ∴∠ADC是二面角A-PD-C的平面角,即∠ADC=120°. ∵四边形ABCD为菱形,∴∠DAB=60°,AB∥CD,故△ABD为等边三角形, ∵E为AB的中点,∴AB⊥DE,故DE⊥CD. ∵DE⊥CD,PD⊥CD,DE∩PD=D,DE,PD⊂平面PDE,∴CD⊥平面PDE, ∵EF⊂平面PDE,∴EF⊥CD.……………………………………………………………6分 (2) 解 (ⅰ)由CD⊥平面PDE,DE⊂平面PDE,得DE⊥CD. 以D为原点,DE,DC,DP所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, ∵△ADB为正三角形,且AD=2,∴DE=3. 设PD=2a(a>0),则F(0,0,a),E(3,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2a),B(3,,0),A(3,-,0), =(-3,0,a),=(-3,2,0). 由题意得,平面FCD的一个法向量为n1=(1,0,0). 设平面EFC的法向量为n2=(x,y,z),则 取x=2a,可得n2=(2a,a,6). ∴|cos<n1,n2>|=,解得a=2, =(3,,-4),=(-3,,0), ∴|cos<>|=, 即PB和AD所成角的余弦值为……………………………………………………12分 (ⅱ)设直线AC与平面EFC所成的角为θ. 由(ⅰ)知,平面EFC的一个法向量为n2=(4,2,6),=(-3,3,0), ∴sin θ=|cos<,n2>|=, 即直线AC与平面EFC所成角的正弦值为…………………………………………17分 19. (1) 解 因为f(x)=, 所以f'(x)=,所以f'(2)=, 故曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率为.…………………………………………4分 (2)证明 当x>0时,欲证f(x)>1, 即证ln(x+1)>, 令g(x)=ln(x+1)-(x>0), 则g'(x)=>0, 所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增, 则g(x)>g(0)=0,即ln(x+1)>, 所以当x>0时,f(x)>1.…………………………………………………………………10分 (3)证明 设an=ln(n!)- (n+)ln n+n,n∈N*, 则an+1-an=ln [(n+1)!]- (n+)ln(n+1)+n+1-ln(n!)+ (n+)ln n-n=ln-(n+)ln(n+1)+ (n+)ln n+1=ln(n+1) (1-n-)+ (n+)ln n+1=1-(n+)ln(n+1)+ (n+)ln n=1-(n+)ln(1+). 由(2)知f()= (n+)ln(+1)>1, 所以an+1-an<0, 故数列{an}为递减数列,故n∈N*时,an≤a1=1.…………………………………………13分 由(2)知当x>0时,ln(x+1)>, 即(x+2)ln(x+1)>2x, 则当x>1时,(x+1)ln x>2(x-1), 所以当x∈(0,1)时,(+1)ln>2(-1), 整理得(x+1)ln x<2(x-1). 令h(x)=(x2+x)ln x-(x2+x)-(x-1)2+(0<x<1),则h'(x)=(x+1)ln x-2(x-1)<0, 所以函数h(x)在(0,1)内单调递减,则h(x)>h(1)=0, 整理得ln x>,x∈(0,1), 令x=,可得ln >-, 所以an+1-an=1-(n+)ln (1+) =1+(n+)ln>1-=-=->-·(), 累加可得an-a1>-), 即an>, 所以ln(n!)- (n+)ln n+n>得证. 综上所述,有<ln(n!)- (n+)ln n+n≤1.………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 大荔县2026年高考模拟试题命制比赛作品 2026届陕西省高考模拟数学试题 命题人：王军锋 单位：同州中学 命考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.) 1.已知复数z满足z(1+i)=2-3i,则在复平面内所对应的点位于(　　). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设集合A={(x,y)|x∈N*,y,N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=9},则集合A∩B的子集的个数为(　　). A.4 B.8 C.15 D.16 3.函数y=的图象大致为(　　). A. B. C. D. 4.已知非零向量a,b,若|a|=|b|,且(a+b)⊥(a-2b),则a与b的夹角为(　　). A. B. C. D. 5.先将函数f(x)=sin(4x+)的图象向右平移个最小正周期,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)=(　　). A.sin(2x-) B.sin(8x-) C.sin(2x+) D.sin(8x+) 6.(2x-)6的展开式中第5项的系数为(　　). A.54 B.60 C.72 D.84 7.已知{an}是公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,则“∀n∈N*,Sn≥S9”是“a9≤0”的(　　). A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知椭圆C:=1和圆A:x2-2x+y2=0,P,Q分别为椭圆C和圆A上的动点,若F为椭圆C的左焦点,则|PQ|+|PF|的最小值为(　　). A.5 B.6 C.8 D.9 二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.) 9.已知向量a=(3,-1),b=(1,2),则下列说法正确的有(　　). A.a⊥b B.|a+b|= C.已知c=(t,1),若a∥c,则t=-3 D.a与b夹角的余弦值为 10.现有3名女生、4名男生共7名同学排成一纵队做游戏,下列说法正确的有(　　). A.若游戏纵队变为环形首尾相接,不同的排法有720种 B.男女相间的不同排法有144种 C.男生排在一起、女生也排在一起的概率为 D.男生甲排在正中间的概率为 11.如图,该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体,若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10 cm,则下列选项中正确的是(　　). A.该几何体的高为10 cm B.该几何体的表面积为(100+200)cm2 C.该几何体的体积为 cm3 D.一只小蚂蚁从该几何体表面由点E爬行到点S,所经过的最短路程为 cm 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共计15分.) 12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线与x轴的夹角为,则该双曲线的离心率为　　　　.  13.已知a>1,函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　. 14.1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割,在某直角三角形中,一个锐角的斜边与其邻边的比,叫做该锐角的正割,用sec(角)表示;锐角的斜边与其对边的比,叫做该锐角的余割,用csc(角)表示,则csc 10°-sec 10°=　　　　. 四、解答题(本大题共5小题,共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和Tn. 16.(15分)某区为推进教育数字化转型,通过聚合区域学校的教育资源,依托AI技术搭建了区域智慧题库系统,形成了“A通识过关—B综合拓展—C创新提升”三层动态原库,且A,B,C三层题量之比为7∶3∶2,设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛,若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答,求这4人中至少有2人的选题来自B层的概率; (2)现采用分层随机抽样的方法,使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷,若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编,记该老师选到A层题的题数为X,求X的分布列与数学期望E(X). 17.(15分)已知椭圆=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)设过点M(0,2)且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A,B,点O在以线段AB为直径的圆外(O为原点),求k的取值范围. 18.(17分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,二面角A-PD-C的大小为120°,E,F分别为AB,PD的中点. (1)求证:EF⊥CD. (2)已知AD=2,二面角E-FC-D的大小为60°. (ⅰ)求PB和AD所成角的余弦值; (ⅱ)求直线AC与平面EFC所成角的正弦值. 19.(17分)已知函数f(x)=()ln(x+1). (1)求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率; (2)当x>0时,证明:f(x)>1; (3)证明:<ln(n!)-(n+)ln n+n≤1. 学科网（北京）股份有限公司 $