吉林省榆树市教育联盟2026年中考第一次模拟考试数学试题

**基本信息** 榆树市2026中考一模数学卷以科技前沿（AI、配送机器人）、文化传承（割圆术）为情境，通过函数、几何综合题考查抽象能力、模型意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数与数轴、正方体展开|基础概念辨析，几何直观初步| |填空题|6/18|割圆术（正六边形）、二次函数|文化素材融入，空间观念考查| |解答题|8/78|机器人配送（方程与函数）、正方形折叠（几何综合）|实际问题建模，创新应用能力提升|

榆树市教育联盟2026年中考第一次模拟考试数学试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．（3分）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＜﹣2 B．b＜2 C．a＜b D．﹣a＞b 2．（3分）在图中增加1个大小相同的正方形，使所得的新图形经过折叠能够围成一个正方体，那么有（　　）种不同的添加方法． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（3分）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为64，小正方形的面积为9，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A．x2+2xy+y2＝64 B．x2﹣2xy+y2＝9 C．x2+y2＝36 D．x2﹣y2＝24 4．（3分）方程|2﹣x|＝1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝3和x＝1 5．（3分）如图，已知a∥b，点A，B，C分别在直线a，b上，CA⊥CB，若∠1＝β，则∠2＝（　　） A．180°﹣β B．β C． D．90°﹣β 6．（3分）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部A处的仰角为α1，看底部B处的俯角为β1；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部A处的仰角为α2，看底部B处的俯角为β2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．α1＞α2且β1＞β2 B．α1＞α2且β1＜β2 C．α1＜α2且β1＞β2 D．α1＜α2且β1＜β2 7．（3分）用三角板画点A到BC所在直线的垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）点A（0，2）向右平移3个单位长度后，恰好在反比例函数的图象上，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．（3分）计算： 　 　 ． 10．（3分）请写出一个大于且小于的整数为 　 　 ． 11．（3分）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形ABCDEF，连接AC，若该正六边形的半径为2，则AC的长为　 　 ． 12．（3分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，顶点为C，对称轴与x轴交于点D，则CD的长为 　 　 ． 13．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，以点B为圆心、BE长为半径画圆弧交边CD于点F．若∠ABC＝120°，BE＝2，则劣弧EF的长为　 　 ． 14．（3分）如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD＝CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠ABC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．下列说法：①△ABD≌△CAE；②∠BGE＝30°；③∠ABG＝∠BGF；④AB＝AH+FG；⑤S△AGE：S△BGC＝DG：GC，其中正确的说法是　 　 ． 三、解答题（共78分） 15．（5分）计算：． 16．（5分）将一枚质地均匀硬币掷三次，用画树状图的方法，求落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率． 17．（6分）A，B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接测量A，B间的距离，小明利用学过的知识，设计了如下两种测量方法，如图①②所示（图中a，b，c表示长度）． （1）请你写出小明设计的两种测量方法中AB的长度：图①中AB＝　 　 ，图②中AB＝　 　 ． （2）请你再设计一种不同于以上两种的测量方法，画出示意图（不要求写画法），用字母标注需测量的边或角，并写出AB的长度． 18．（5分）列方程或方程组解应用题． 如图1，正方形ABCD是一块边长为30cm的灰色地砖，在A，B，C，D四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖和一块黑色正方形地砖拼成如图2所示的图案，该图案的面积为3000cm2（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑色正方形地砖的面积． 19．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE垂直于AB边的延长线于点E，CF垂直于AD边的延长线于点F，且CE＝CF，求证：四边形ABCD是菱形． 20．（6分）2025年1月20日，我国某公司，发布并开源了DeepSeek﹣R1模型，推动AI技术普及和应用，某校为了激发学生对人工智能的兴趣，增强文化自信．随机组织了男生队和女生队各200人，参加“AI就在我身边”的主题知识竞赛，赛后调查小组对竞赛成绩进行了抽样分析，请将下面过程补充完整． （1）收集数据 调查小组在男女生竞赛成绩中各随机抽取了20名同学的成绩，其中抽取男生队的成绩如下： 66、88、84、79、92、83、95、89、100、91、91、97、74、77、99、98、89、94、100、100． （2）整理、描述数据 按如下分数段整理、描述样本数据，其中男生队的成绩统计如下： 成绩x 65≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 男生 　 　 2 3 　 　 7 （3）分析数据 男女生队样本数据的平均数、中位数、方差如表所示： 平均数 中位数 方差 女生队 89.3 88.5 42.6 男生队 89.3 87.2 （4）得出结论 a．分析抽取的学生竞赛成绩，成绩中高于本队平均分的人数更多的是　 　 生队，成绩更稳定的是　 　 生队（填“男”或“女”）； b．经过对抽查的40人竞赛成绩分析，发现有30%的学生竞赛成绩不低于95分，请估计被调查的400人中，女生成绩不低于95分的有　 　 人． 21．（10分）倡导无人送餐，共享智能生活．自动送外卖机器人，搭配智能货柜，实现货柜物品无人配送，提高效率，节省人力．某机器人公司研发出M型和N型两款外卖配送机器人，已知2台M型机器人和5台N型机器人同时工作2h共配送外卖3.6万元，3台M型机器人和2台N型机器人同时工作5h，共配送外卖8万元． （1）1台M型机器人和1台N型机器人每小时各配送外卖多少万元？ （2）某外卖企业计划向机器人公司购进一批M型和N型外卖配送机器人，这批机器人每小时一共能配送外卖20万元．设购买M型机器人n台（10≤n≤45），N型机器人b台，请用含n的代数式表示b； （3）机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买量少于30台 购买量不少于30台 M型 20万元/台 原价购买 打九折 N型 12万元/台 原价购买 打八折 在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由． 22．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣10，0），以OA为半径在x轴的上方作半圆O，交x轴正半轴于点B，点C是该半圆周上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC． （1）连接OD，直接写出OD的最大值为 　 　 ； （2）如图2，过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足． ①若点C的横坐标为8，求线段EF的长； ②当点C在运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（12分）综合与实践 【模型探索】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，若AF⊥BE，则AF与BE的数量关系为 　 　 ； 【模型应用】如图2，将边长为2的正方形ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，点A落在点F处，折痕交AD于点M，交BC于点N，求折痕MN的长度； 【迁移应用】如图3，正方形ABCD的边长为12，点F是BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在点B'处，连接BB'；并延长交CD于点E．若CE＝5，求EB′的长度． 24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为点B（2，2），点C为OB的中点．点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接BD，BF，直接写出BD+BF的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C D D B A C 9． ． 10． 2． 11．． 12． 4． 13． ． 14．①②③④⑤． 15． 解： ＝11+4 ＝4． 16． 解：树状图如下： 由上可得，一共有8种等可能性，其中落地后出现两个正面和一个反面朝上的可能性有3种， ∴落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率是， 即落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率是． 17． 解：（1）①∵，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△DEC， ∴， ∴AB＝2c； ②∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝b； 故答案为：2c，b； （2）如图：∵AO＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD＝c． 18． 解：设一块黑色正方形地砖的面积为y cm2， 一块八边形地砖的面积为xcm2， 得' 解得， 答：一块黑色正方形地砖的面积为200 cm2，一块八边形地砖的面积为700 cm2． 19． 证明：∵CE⊥AE，CF⊥AF，CE＝CF， ∴AC是∠DAB的平分线， ∴∠FAC＝∠EAC， 在平行四边形ABCD中，CD∥AB， ∴∠DCA＝∠EAC， ∴∠DCA＝∠FAC， ∴AD＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 20． 解：（2）男生队成绩在65≤x＜80的人数有4人，成绩在90≤x＜95的人数有4人． 故答案为：4；4； （3）男生队的成绩按从不到大的顺序排列，排在中间的两位数是91和91， ∴中位数为：． 故答案为：91； （4）a、由题意可得： ∴成绩不低于95分的人数有：40×30%＝12（人）， 抽查的男生成绩不低于95分的人数有7人， ∴抽查的女生成绩不低于95分的人数有：12﹣7＝5（人）， ∴女生成绩不低于95分的有：（人）， 故答案为：男；50． 21． 解：（1）设1台M型机器人和1台N型机器人每小时各配送外卖x万元和y万元， 由题意可知：， 解得：， 所以1台M型机器人和1台N型机器人每小时各配送外卖0.4万元和0.2万元； （2）由题意可知：0.4n+0.2b＝20， ∴b＝100﹣2n（10≤n≤45）； （3）当10≤n＜30时，40＜b≤80， ∴w最小＝20n+0.8×12（100﹣2n）＝0.8n+960， 当n＝10时，w最小值为968， 当30≤n≤35时，30≤b≤40， ∴w最小＝0.9×20n+0.8×12（100﹣2n）＝﹣1.2n+960， 当n＝35时，w最小＝918， 当35＜n≤45时，10≤b＜30， ∴w最小＝﹣6n+1200， 当n＝45时，w最小＝930， ∵918＜930＜968， 所以选购M型机器人35台，N型机器人30台时，总费用w最少，此时需要918万元． 22． 解：（1）如图1，连接AD， ∵点A（﹣10，0）， ∴OA＝10， ∵以OA为半径在x轴的上方作半圆O，交x轴正半轴于点B， ∴OB＝OA＝10， ∴AB＝2OA＝20， ∵OD≤OA+AD，点C是该半圆周上一动点， ∴当点C与点A重合时，DC＝AD＝BC＝BA＝20，如图1﹣1， 此时OD取得最大值＝OA+AD＝10+20＝30， 故答案为：30； （2）如图2，连接AD，过点C作CG⊥x轴于点G， ∵DE⊥x轴， ∴CG∥DE， ∵DC＝BC， ∴EG＝BG， ∵点C的横坐标为8， ∴OG＝8， ∵OB＝10， ∴EG＝BG＝OB﹣OG＝10﹣8＝2， ∴BE＝2BG＝4， ∴OE＝OB﹣BE＝10﹣4＝6， ∴AE＝OA+OE＝10+6＝16， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BD， ∵DC＝BC， ∴AD＝AB＝20， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE12， ∵∠DFC+∠D＝∠DBE+∠D＝90°， ∴∠DFC＝∠DBE， ∵∠DFC＝∠AFE， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵∠AEF＝∠DEB＝90°， ∴△AEF∽△DEB， ∴， 即， 解得：EF， 即线段EF的长为； （3）存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下： 当的度数为60°时，点E恰好与原点O重合，不符合题意； 分两种情况： ①如图3，连接EC，0°的度数＜60°时，点E在O、B之间， 设E（x，0）， ∵∠EOF＞∠BAC＝∠D， ∴当∠EOF＝∠EBD时，△EOF∽△CBA， ∵∠FEO＝∠DEB＝90°， ∴△EOF∽△EBD， ∴， ∵EC是Rt△BDE斜边的中线， ∴CE＝CBBD， ∴∠CEB＝∠EBD， ∴∠EOF＝∠CEB， ∴OF∥CE， ∴△AOF∽△AEC， ∴， ∴， 即， 解得：x， 经检验，x是原方程的解， ∵x＞0， ∴x， ∴点E的坐标为（，0）； ②60°的度数≤90°时，点E在O点的左侧， 如图4，若∠EOF＝∠CAB， 则△EOF∽△CAB， ∴， ∵∠AEF＝∠ACB＝90°，∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴， ∴， ∴OE＝AE， ∴OEOA＝5， ∴点E的坐标为（﹣5，0）； 如图5，若∠EOF＝∠ABC， 则△FEO∽△ACB， ∵∠EOF＝∠ABC， ∴OF∥BC， ∴△AOF∽△ABC， ∴， ∵BD＝2BC， ∴， ∵OF∥BC， ∴△EOF∽△EBD， ∴， ∴， 解得：OE， ∴点E的坐标为（，0）； ③90°时，点E在点A的左侧，如图6， 设AE＝x， ∵∠BAC＝∠EAF＞∠EOF， ∴只能△EOF∽△CBA， ∴∠EOF＝∠CBA， 连接CE， 则CEBD＝BC， ∴∠CEB＝∠CBE， ∴∠CEB＝∠EOF， ∴CE∥OF， ∴△EAC∽△OAF， ∴， ∵∠ECF＝∠DBE，∠FEO＝∠DEB＝90°， ∴△OEF∽△BED， ∴， ∵BD＝2CE， ∴， 即， 解得：x1，x2（不合题意，舍去）， ∴OE＝OA+AE＝10， ∴E（，0）； 则CE综上所述，存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，点E的坐标为（，0）或（﹣5，0）或（，0）或（，0）． 23． 解：【模型探索】AF＝BE；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵AF⊥BE， ∴∠BAF+∠ABE＝∠CBE+∠ABE＝90°， ∴∠BAF＝∠CBE， ∴△ABF≌△BCE（AAS）， ∴AF＝BE， 故答案为：AF＝BE； 【模型应用】如图2，过C作CP∥MN交AD于P， ∵将边长为2的正方形ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处， ∴点B与点E关于MN对称， ∴BE⊥MN， ∴CP⊥BE， ∵点E是CD边的中点， ∴CECD＝1， ∴BE， 由【模型探索】知CP＝BE， ∵AD∥BC，CP∥MN， ∴四边形CPMN是平行四边形， ∴MN＝CP； 【迁移应用】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°， ∵BC＝12，CE＝5， ∴BE13， ∵将△ABF沿AF折叠，使点B落在点B'处， ∴点B与点B′关于AF对称， ∴BE⊥AF于H，BB′＝2BH， 由【模型探索】知，AF＝BE＝13，BF＝CE＝5， ∵S△ABF， ∴BH， ∴BB′， ∴EB′＝13． 24． 解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为点B（2，2）， 设抛物线的解析式为，将点A的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即； ∵四边形OCFD是平行四边形， ∴CF∥OD， ∵点， 当时，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点； （2）BD+BF最小值为．理由如下： 设点D（m，0），则点， 如图3，过点B作直线l⊥y轴， 作点F关于直线l的对称点，连接BF， 则BD+BF＝BD+BF≥DF′， 当D，B，F′三点共线时，BD+BF＝DF′为最小， 由定点F′，D的坐标得，直线DF′的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得， 则点，点， 则BD+BF最小值为：． 即BD+BF最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $