甘肃庆阳市环县第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

环县一中2025~2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时问120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题速出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答聚标号涂黑：非达择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题 区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本寒命题范国：湘散版选择性必修第二册第一章、第二章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 的 合题目要求的、 1.空间直角坐标系中，已知A(一1,1,3)，则点A关于xO:平面的对称点的坐标为 A0,1,-3) B.(-1,-1,-3) C.(-1,1,-3) D.(-1,-1,3) 2.某物体沿直线运动，位移y(单位：m)与时间1（单位：s)的关系为y()=1一t十2，则该物体在 【=3s时的屏时速度是 A.5 m/s B.4 m/s C.3 m/s D.2 m/s 3.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与AB相等的是 AAC+CD B.AC+BC C.DC+CB-DA D.AC+BD-BC 4.已知向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),则向量b在向量a上的投影向量为 A(0,-1,-1) B.(-1,0.-1) c(o,) D.(合02) 5.如图是函数y=(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是 馨 A(x)在[-2，一1]上是增函数 B.当x=3时，(x)取得最小值 C.当x=一1时，(x)取得极大值 D.f(x)在[一1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数 【高二期中考试·数学卷第1页（共4页）】 6314B 6.已知函数(x)=x+2x2+2了（一1）·x十1，则(1)等于 A.7 B.6 C.4 D.3 7.在三枚锥A-BCD中，若AB⊥BD,CD⊥BD.BD=1,则AC,BD= A0.5 B.1 C.3 D.0 8已知实数a=之n2.6=}ln5c=。,则a,6c的大小关系正确的是 A.a<c<b B.c<a<6 C.a<<c D.b<a<c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列计算正确的是 A(2)y=1-2匹 B.(x'cos I)'=-2xsin I C.(3)'=3log3e D.(2)'=1 √/2匠 10.以下四个命题中错误的是 A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B.若(a,b,c)是空间向量的一个基底，则{a+b,b十c,c十a)是空间向量的另一个基底 C.对控间任意一点O和不共线的三点AB.C,若OP=2aA-2O范-O心，则PAB.C四点共面 D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 11.若曲线y=ax2(a≠0)与y=lnx十1存在公共切线，则实数a的可能取值是 A-1 B.e c D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知x,y∈R,a=(2,x,-4)与b=(6,18,y)共线，则x-y= 13.已知A(2,0,4),B(3,1,5),C(4,一1,4)，则以AB.AC为邻边的平行四边形的面积为 ++2026x+·且满足了nx)+/生-1D≤1，则实数x的值 14.已知函数(x)=e 为 【高二期中考试·数学卷第2页（共4页）】 6314B 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步累， 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(1一t,1一，)b=(2,l,). (1)若a⊥b,求1的值： (2)求1b一al的最小值. 16.(本小愿满分15分) 已知函数(x)=号丈+a+bx+1,其导函数为∫(x),不等式了(x)<0的解集为(2,4). (1)求a,b的值： (2)求函数在[0,3]上的最大值和最小值 17.(本小题满分15分) 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E,F,G,H分别是正四面体ABCD中 各棱的中点，设A店=a,AC=b,AD=c,试采用向量法解决下列问题： (1)求EF的模长： (2)求EF,G的夹角. 【高二期中考试·数学卷第3页（共4页）】 6314B 18.(本小题满分17分) 如图，在几何体ABCDEFG中，四边形ADGE是边长为2的正方形，CD⊥平面ADGE,四 边形ABCD与CFGD都是直角梯形，BC=FG=CD,P为EC的中点. (1)梭CF上是否存在点Q,使得PQ∥平面CDE,并证明： (2)若CD=2,求： (iD点D到平面BEF的距离； ()平面BEF与平面CDE夹角的余弦值. 19.(本小题满分17分) 已知函数(x)=xlnx一x (1)求∫(x)的单调区间： (2)若∫(x)≥x一c2对任意的x∈(0，+oo)恒成立，求实数m的取值范围： (3)若x。是函数h(x)=(x)十2的极值点，求证：∫(x)十3x>0 【高二期中考试·数学卷第4页（共4页）】 6314B环县一中2025~2026学年度第二学期期中考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C D A D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ABC ABD 1.C a-1=3 2.B由题可得 -合乡·解得公敌选B 3.C 由正弦定理得B厄，一1 4.D因为2e2-e=2(e-2e),所以2e一e1与e-2e1共线：因为6e:-3e=一3(e1-2e),所以e-2e 与6e:-3e,共线：因为-号e+34=子(-e+20:.所以-e十2e与-号e+号4共线只有e十e 与e一e2不共线，故选D. 反A向量a在向量6上的投影向量为合=×号=一音& 6.D因为2B=A十C,所以A+B+C=3B=元，所以B=,则6=a2+2-2 accosB,即ac=d+c2-ac,所以 (a一c)2=0,所以a=c,所以△ABC为等腰三角形，又B=苓，所以△ABC为等边三角形.故选D ,A利用a-生斗2，-空及和差化积公式可得sn。一s血g=2o生m“-一号 2 2 2 3 s cos a 2 十c0s-2 o“23=号，两式相除可得：2 2 3 23 日故选A 2 5 8.B如图设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知AB=18 正北 ×号=3，BC=VE,∠BAC=180-32-28=120.令AC=x.在△ABC中，由余弦定理得 (19)2=32+x2-2x·3c0s120°，即x2+3x-10=0,解得x=2或-5（舍），故AC=2(海里). 19 m用可-1 2 2 之在复平面内对应的点为（一1，一1），位于第三象限，A错误； 因为1=1十i,所以之一刘=(-1一i)一(1十iD=-2-2i,所以|x一1=2√2，B正确： 之的共轭复数为一1+i,C错误； 之=一1一i的虚部为一1，D正确.故选BD. 10.ABC 1山.ABD对于A因为A>B,可得a>b,由正弦定理A-品B可得nA>s血B.由函数y=osx在 (0,π)上单调递减，所以cosA<cosB,故A正确； 对于B,若b=2,A=30°，要使该三角形有两解，则bsin A<a<b,即1<a<2,故B正确； 【高一期中考试·数学卷参考答案第1页（共3页）】 6314A 对于C,由余弦定理a2=+2-2 bccos A,即4=9+c2-33c,即2-3√3c+5=0,又△=(-33)2-4× 5=7>0,解得c=35土互，所以c有两解，则三角形有两解，故C错误： 2 对于D,因为sinA:sinB:sinC=3:2:4,由正弦定理可得a:b:c=3:2:4,设a=3t(t>0),则b= 2=,由余弦定理得csC-+_r2=-子又C∈0，x),所以s血C=个厂osC 2ab 2×3tX2t =压，由正弦定理品A品BC2R,得R=2C一定 4 ，又S=2a6simC=3压2，所以 4 2S 2X3⑤ 4 /15 a+b+c -压，所以 6 /15 号放D正确放选AD. 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-1 13.60°：c=a+b,|a=1,|b|=2,设向量a与b的夹角为0，∴.|c=|a+b|= √a+tb+210=√4+4cos0T-√4+)2+1-c0s20. 又：当且仅当1=-时，c最小，即-子+09=0.∴c0s0=号∴0=60 2 14.[-1,8).AB=4,AD=2,AB·AD=4,.|AB1|AD1cosA =4, 即cosA=号，即A=子，以A为原点，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴.A(0,0),B(4,0), D(1,W5),C(5,W5), 设P(x,W5)(1<x<5),.PA=(-,-3),P市=(4-x,-3), .PA.PB=x(x-4)+3=x2-4x+3=(x-2)2-1, 设f(x)=(x一2)2-1，.f(x)在(1,2)上单调递减，在[2,5)上单调递增， ∴.f(x)m=f(2)=-1,f(x)<f(5)=8,则PA·PB的取值范围是[-1,8). 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.解：(1)当m6=0且m十3≠0，且㎡-2m-15≠0时，复数之为纯虚数，…3分 m+3 =0,得m=3或0m=-2, m+3 由m+3≠0，且m2-21-15≠0得m卡-3且m≠5，……8分 所以当m=3或m=一2，复数之为纯虚数.…9分 (2)当一2m一15≠0且m十3≠0时，复数之为虚数，…11分 解得1≠一3且m≠5，所以当m≠一3且m≠5时，复数之为虚数，…13分 16.解：(1)因为a=(-2,2),b=(2,1), 所以a+b=(-2,2)+1(2,1)=(-2+2t,2+t), 所以|a+b|=/-2+2t)2+(2+t)2=√5t-41+8=3.即5t2-41-1=0, 解得1=1或=一宁 …8分 (2)因为a-b=(-2,2)-t(2,1)=(-2-21,2-t), 又a-b与c垂直，c=(2,-1), 所以(-2-2t)X2+(2-t)X(-1)=0,解得1=一2.… 15分 17.解：(1)因为f八)=/Bsin2z+2cosx+2=/5sin2x+cos2z+3=2sin(2x+晋)+3， 由-乏+2kx≤2x+≤受+2kπ，k∈Z,解得-苓+kx≤≤否+，k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为 【高一期中考试·数学卷参考答案第2页（共3页）】 6314A [-十km,吾十kmb∈Z… …7分 (2)由(1)知f(x)=2sin2x+吾)+3，那么将f()图象上各点纵坐标保持不变， 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移否个单位，得到g(x)=2sinx十3. 当x[-吾，年1时mxe[-号，号1g[2,3+, 由方程g(x)=m有解，可得实数m的取值范围为[2,3十√2]. 15分 8解：(1)BC=Ad=(2,),易得B(0,2),…2s分 又因为E是CD的中点，所以E(号，子，… 4分 故=号，= 2 6分 B 则与BE同向的单位向量为 坐标为3，). 8分 BEl (2)因为D=2元，所以A=号A花+子Ad=号B+Bò)+}A市， 又因为d-号A市，所以A花=号A+号A市=号a+哥6.… …14分 又因为A花=X市，所以市-员A市+员A市，又因为点B,P,D共线， 员十员三1故入号号…17分 19.解：1)由题可得士ac=+二>=d2+c2一ac,…。 2分 ac sB生-名>B=子 4分 (2)D为线段BC上一点，且满足AD=BD,B=苓， ∴△ABD为等边三角形，.∠ADC- …5分 设CD=x,在△ADC中，AC=AD+CD-2AD·CDcos∠ADC, 即189=2+122-2x12×(-）， 7分 整理得：x2+12x-45=0,解得x=3或x=-15(舍)，即CD=3. …9分 (③在△ABC中，AB=12,由正弦定理品-得： BC=12sin A_ 2sn(9-c12(停sc+2sm ,…11分 sin C sin C sin C =1+ 于是得S%m=之·A··smB=36厅（侵+号·C》 …12分 因为△ABC是锐角三角形，则0<C<受，且0<号-C<受， 于是有音<C<登则amc号即0KC,合<号+号， 1 ‘ianc<2, …15分 从而得185<S△Bc<72,5, 所以△ABC面积的取值范围是(18√3,723). …17分 【高一期中考试·数学卷参考答案第3页（共3页）】 6314A