精品解析：甘肃省庆阳市环县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

环县一中2024~2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册数列，排列组合二项式定理，选择性必修第二册导数，空间向量与立体几何． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于坐标平面对称的点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点的对称特征判定即可. 【详解】关于坐标平面对称的点，横坐标变换为其相反数，纵坐标、竖坐标不变. 即点关于坐标平面对称的点B的坐标为. 故选：B 2. 已知的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：A 3. 在等比数列中，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项的性质即可求出的值. 【详解】在等比数列中，有，解得. 故选：A 4. 在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量加减法运算法则，逐项分析判断即可. 【详解】在空间四边形中， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 5. 若，则函数的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得，令，得到关于的方程，解方程求得即可. 【详解】由，得，即，解得， 则，所以函数的函数关系式为：； 故选：B. 6. 如图是函数的图象，那么导函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象确定极值点个数，进而得到导函数的零点个数. 【详解】根据的图像，共有7个极值点，可得有7个零点． 故选：B． 7. “赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ） A. 26种 B. 31种 C. 36种 D. 37种 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出既会划左桨又会划右桨、只会划左桨与只会划右桨的人数，再分三种情况讨论，最后根据分类加法计数原理计算可得. 【详解】依题意名队员中有人会划左桨，人会划右桨， 则既会划左桨又会划右桨的有人，记这两人分别为、， 所以只会划左桨有人，只会划右桨有人， 据此分种情况讨论： ①从只会划左桨的人中选人划左桨，从剩下的人中选人划右桨，则有种选法； ②从只会划左桨的人中选人划左桨，从、中选人划左桨， 再从剩下的会划右桨的个人中选人划右桨，则有种选法； ③从只会划左桨的人中选人划左桨，、这人划左桨， 另外会划右桨的人划右桨，则有种选法， 综上可得一共有种不同的选法. 故选：D． 8. 如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点B到平面的距离． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，判断出四个选项. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B. 若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D. 若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间基底向量的概念与性质即可判断A，B；根据空间四点共面的充要条件及其推论即可判断C，D. 【详解】对于A，若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基，故A正确； 对于B，与不共线，且不能用和表示，即，，不共面，故B正确； 对于C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若， 因为，可得P，A，B，C四点共面，故C错误； 对于D，若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线）， 当时，即，可得，即， 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即是A，B，C三点共线的充要条件，故D正确． 故选：ABD． 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性即可求解. 详解】，则， 因为， 所以，则在上单调递减， 所以，，故A正确B错误； 又，所以，即， 故，故C正确； 由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 13. 若，则值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接令即可求解. 【详解】令，可得. 故答案为：. 14. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图像上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接建立与的关系，求出和，即可求解； （2）由（1）可得，再利用错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题知，， 所以由，解得， 所以． 【小问2详解】 因为，∴， ∴，① ∴，② 得， ∴． 16. （1）一名同学有5本不同的数学书，3本不同的物理书，2本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的架子上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法? （2）一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法? 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）采用“元素相邻捆绑法”进行排列. （2）利用分布乘法计数原理求解. 【详解】（1）结合“元素相邻捆绑法”，满足条件的排列方法有： . （2）原有的6个路灯相对顺序不变，出现7个空，所以多安装的第一个路灯有7种安法；安好第7盏路灯后，出现8个空，所以多安装的第二个路灯有8种安法；安装好8个路灯后，出现9个空，所以多安装的第3个路灯有9种安法. 根据“分步乘法计数原理”可得，不同的安装方法有种. 17. 对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． （1）已知，求函数的“拐点”的坐标； （2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称； （3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）． 【答案】（1） （2）关于“拐点”对称 （3）三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心 【解析】 【分析】（1）依题意求得，则，再当时，求得的值，进而即可得到函数的“拐点”的坐标； （2）由（1）知“拐点”坐标是，再代入得到，符合定义②，进而即可得到结论； （3）将（2）的结论进行推理，即可得到三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心，再根据定义②进行证明即可． 【小问1详解】 由，则，则， 当时，解得， 又，所以的“拐点”的坐标是． 【小问2详解】 由（1）知“拐点”坐标是， 又， 由定义②知的图象关于“拐点”对称． 【小问3详解】 一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心． （或者：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以奇函数．） 证明：即对任意的恒成立． 由 ， 又，所以． 故结论得证． 18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中点． （1）求平面与平面ABC夹角的余弦值； （2）在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，求出面ABC、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角的余弦值； （2）设，得，结合面法向量，及线面角正弦值，应用空间向量夹角坐标表示列方程求参数，即可判断存性并求长度. 【小问1详解】 因为平面ABC，平面ABC，则，， 以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以平面ABC的一个法向量为， 设平面的法向量为，而， 所以，即，令，则，故， 所以，又平面与平面ABC夹角为锐角， 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为； 【小问2详解】 假设存在点P， 设，， 设BP与平面所成的角为，由（1）知，平面的法向量为， 则， 所以，解得或， 在线段CD上存在一点P，使BP与面所成角的正弦值为，此时或． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）两种情况讨论的符号，可得在其定义域内的单调性； （2） 函数在处取得极值，求出，不等式恒成立问题通过分离参数法化为求函数的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，在上恒成立，在上单调递增； 当时，解得，解得，此时在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 若函数在处取得极值，∴，解得， ∴，经检验满足题意. 对，恒成立，等价于 上恒成立， 设 ，解得，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减. ，∴， 实数b的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 环县一中2024~2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册数列，排列组合二项式定理，选择性必修第二册导数，空间向量与立体几何． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点关于坐标平面对称的点B的坐标为（ ） A. B. C D. 2. 已知的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 在等比数列中，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 4. 在空间四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则函数的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是函数的图象，那么导函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. “赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ） A 26种 B. 31种 C. 36种 D. 37种 8. 如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B. 若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C. A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D. 若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 11. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________． 13. 若，则的值为__________． 14. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列前项和满足，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. （1）一名同学有5本不同数学书，3本不同的物理书，2本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的架子上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法? （2）一条街道上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法? 17. 对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． （1）已知，求函数的“拐点”的坐标； （2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称； （3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）． 18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中点． （1）求平面与平面ABC夹角的余弦值； （2）在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$