4.6两条平行线间的距离（教学设计） 2025—2026学年七年级数学下册（湘教版 ）

湘教版（2024）七年级数学下册 《4.6两条平行线间的距离》教学设计 祁阳市浯溪第二中学 黎广坪 课程基本信息 学科 数学 年级 七年级 学期 春季 课题 4.6两条平行线间的距离 教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级下册 出版社：湖南教育出版社 出版日期：2024 年 07 月 教材分析 1.地位作用：本节课是在学习了平行线、垂线、点到直线的距离之后，对平行线相关知识的进一步完善.既是对前面知识的综合运用，也为后续学习平行四边形、梯形的高与面积计算奠定基础，在几何知识体系中起到承上启下的作用. 2.内容逻辑：教材从回顾点到直线的距离入手，引出两条平行线间的公垂线段，给出平行线间距离的定义，再通过观察与推理得出“平行线间的距离处处相等”这一性质，最后进行简单应用，内容由浅入深、逻辑清晰. 3.编写意图：遵循七年级学生认知特点，由旧知引出新知，注重直观感知与简单推理相结合，帮助学生理解距离概念的本质，渗透转化思想，培养几何直观与初步推理能力. 学情分析 1.知识基础：学生已经学习了平行线、垂线、点到直线的距离等内容，具备了本节课所需的基本概念基础，能够识别平行与垂直，会画简单的垂线，为学习平行线间的距离做好了知识铺垫. 2.认知特点：七年级学生正处于从直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，喜欢观察、动手操作，对图形性质有一定探究欲望，但抽象概括能力和严谨的几何说理能力还不够成熟，需要借助具体图形来理解概念. 3.可能困难：容易把“平行线间的线段”和“平行线间的距离”混淆，不理解距离专指垂直线段的长度；对“处处相等”的本质理解不深，在简单说理和应用性质解决问题时，思路不够清晰、表达不够规范. 教学目标 1.理解平行线间距离的概念，掌握“平行线间的距离相等”的性质，会度量平行线间的距离. 2.经历观察、对比、归纳的过程，发展几何直观与简单推理能力. 3.感受几何知识的严谨性，提高学习几何的兴趣. 教学重难点 教学重点：理解两条平行线间的距离的概念并掌握两条平行线间的距离处处相等的性质.. 教学难点：区分平行线间的垂直线段与任意线段，理解距离的本质含义并对性质进行简单的几何推理与应用． 教学过程 一、导入新课 1.回顾与思考 ① 连结两点的线段的长度叫两点间的距离. ②从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. ③你能把现实生活中的活动用数学知识来解答吗？ 测量跳远的成绩、测量掷铅球的成绩、测量直跑道间的成绩 2.情境引入 同学们，如果要在操场上画两条平行的跑道，如何确保它们的间距处处相等？如果两条铁轨是平行的，工程师如何测量它们的距离？ 二、探究新知 两条平行线间的距离 1.动手操作活动1：请各位同学用直尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？ 你的直尺与课本的两边成什么角度？量在课本的哪个位置？大家量得的结果是一样的吗？可以把直尺放在课本上任何一个位置，但必须保持直尺与课本的两边互相垂直，量得的结果是一样的． 2.概念学习 与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连结两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段． 3.基础概念辨析（练一练） ①如图⑴，已知 m∥n，下列哪条为公垂线_____； ②如图⑵，已知 m∥n，下列哪条为公垂线段_____. 4.合作探究规律（活动2） 请任意画两条互相平行的直线a、b，在直线a上，任意取两点A、B.然后量出点A、B到直线b的距离，并加以比较，你能得到什么结果？ 5.工具操作验证（活动3）把一把三角尺的一条直角边沿着直线b移动，请观察三角尺的另一条直角边与直线a交点处的刻度，问：刻度有改变吗？ 通过上述实验，你发现了什么？ 6.归纳性质定理 ①两条平行线的所有公垂线段都相等 ②几何语言： ∵a∥b，AC⊥b，BD⊥b ∴AC=BD 7.平行线间距离定义 ①两条平行线的公垂线段的长度叫做两条平行线间的距离. ②由上述结论可一步猜测：平行线l1与l2之间的距离等于l1上任一点到直线l2的距离. ③思考：你可以说明这个猜想是正确的吗？ 证明：如图，线段AB是两条平行线l1与l2的公垂线段，从而线段AB的长度是直线l1与l2之间的距离. 又线段AB的长度是点A到直线l2的距离，因此，平行线l1与l2之间的距离等于直线l1上的点A到直线l2的距离. 8.深度思考拓展：你可以证明这个猜想是否正确吗？ 如图，设ɩ1//ɩ2，A，B分别为ɩ1，ɩ2上的任意点，连结线段AB，再过A作AC⊥ɩ2，垂足为C，则AC是ɩ1，ɩ2之间的公垂线段，AB是ɩ1 、ɩ2之间的斜线段．因为AC，AB又分别是A点到ɩ2的垂线段和斜线段，所两平行线上各取一点连经而成的所有线段中，公垂线段最短．以AC<AB（垂线段最短）. 两平行线上各取一点连经而成的所有线段中，公垂线段最短． 三、例题讲解 1. 例1(平行线间公垂线段性质基础应用） 如图，AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，那么线段AE 与CF 相等吗? 2. 例2(性质在三角形面积中的应用） 如图，已知AD//BC，判断S△DBC 与 S△ABC 是否相等，并说明理由. 3. 例2配套练一练 如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB和三角形QAB的面积有什么关系？为什么？ 4. 例3(三条平行线间的距离计算） 如图，设a,b,c是三条互相平行的直线．已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离． 5. 例3变式（分类讨论思想应用） 设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为5cm,b与c的距离为2cm,求a与c的距离. 四、当堂练习 1.两条平行线的公垂线段有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2.如图，直线AB ∥ CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（ ） A.变大 B.变小 C.不变 D.变大变小要看点向左还是向右移动 3.两条平行线间的距离是指它们的(　　) A．公垂线 B．公垂线段 C．公垂线段的长度 D．以上都不对 4.已知直线m∥n，如图，下列哪条线段的长可以表示直线m与n之间的距离（ ） A.只有AB B.只有AE C.AB和CD均可 D.AE和GF均可 5.如图，a⊥c，b⊥c，c交a，b于A、B两点，d交AB于C、D两点，且d与c不平行，则AB______ CD（填“＞”、“=”、“＜”） 6. 如图，长方形ABCD的宽AD的长度是2cm,点P到AB的距离是1.6cm,那么点P到CD的距离是______. 7.如图，已知直线MN∥PQ，BC=4cm，若三角形ABC的面积为6cm²,则平行线MN，PQ的距离是______. 　　　 8.已知a∥b∥c,a与b之间的距离为3cm,b与c之间的距离为4cm,则a与c之间的距离为　　　______cm . 五、课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 六、布置作业 1.必修作业：数学书123页1.2题，124页3.4题 2.选修作业：学法78页C组第10题. 板书设计 两条平行线的距离 一、概念：公垂线，公垂线段，平行线间的距离 二、性质：两条平行线的公垂线段都相等 教学反思 本节课从生活实例入手，帮助学生直观理解公垂线、公垂线段、平行线间的距离等概念，学生对两条平行线间的距离掌握较好。 教学中发现，学生在无图形的三条平行线求距离问题上，分类讨论意识薄弱，易因位置关系考虑不全导致漏解；部分学生对“距离是公垂线段的长度”这一本质理解不够清晰。 今后教学将强化概念本质辨析，加强无图题型训练，重点培养学生分类讨论、严谨思考的数学思维，提升解题规范性与全面性。 学科网（北京）股份有限公司 $