海南琼海市嘉积中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答策写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.设全集U=R,集合A=|x|x<2},B={x|-2<x<4,则BU(CuA)= A.（-2,4) B.(-2,+o) C.[2,4) D.[2,+o) 2.若复数z满足z(3+4i)=7+i,则1z= A.1 B.2 C.2 D.5 3.已知平面向量a=(1,1),b=（-3,m),且a⊥b,则3a+4b= A.（-3,3) B.(-3,15) C.(-9,3) D.(-9,15) 4在到2- 的展开式中，第7项的二项式系数是 A.-28 B.-8 C.8 D.28 5.记Sn为等差数列{a.}的前n项和，当n<21时，Sn=S1-,则下列各项中一定等于0的是 A.a10 B.a11 C.a1o+au D.au -a1o 6.已知双曲线号 -存=1(a>0,6>0)的焦距为2c(c>0),直线ly=c与双曲线交于M,N两 x2 点，与双曲线的渐近线交于P,Q两点若1MN1=1PQ1,则双曲线的离心率为 A.2 B.2 C.3 D.5 e2-e,x≥0， 7.已知函数(x)={11 若f(2m-1)+f(m)>0,则实数m的取值范围是 e2,x<0, A.(1,+∞) B.(-o,-1） 数学5第1页 8.已知常数pe0,引，若aeR,3xea-号，a+引，使得1sinx≥cosp成立，则p的最 小值为 A. c平 D号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知正项等比数列1a,的前n项和为S,若a,+4+4,=21,。+。+=6,则下列说法 正确的是 A.a1=3 B.a3=4 C.若{an|是递增数列，则S=7 D.若{an|是递减数列，则an+S。=32 10.在某电商平台上，用户获取商品信息的途径有两种，一种是系统推荐，一种是用户自主搜 素根据大数据，用户在该平台获取的商品信息中有号来自系统推荐若商品由系统推荐， 则用户购买的概率为好，若商品由用户自主搜索，则用户购买的概率为)从该平台随机 抽取一件商品，设事件A为“该商品被用户购买”，事件B为“该商品由系统推荐”，则 AP(B)=号 B.P(A）=24 C.P(BIA) D.PA+B)=名 11.已知正四面体A-BCD的棱长为2，则下列说法正确的是 A.正四面体A-BCD内任意一点到四个面的距离之和为定值 B.正四面体A-BCD的外接球的表面积为8π C.设I为正四面体A-BCD的中心，若球I的球面与正四面体A-BCD的棱有公共点，则 球/的半径的取值范围是， 22 D,若E是AB的中点，动点F在△ACD内（包括边界），则EF+BF的最小值是 数学5第2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.已知点2，②)在椭圆C+1(a>6>0)上，C的焦距为4，则C的离心率为 13.函数fx)=cos3一的最小正周期为 sin a+cos x 14.设函数f(x)=(e-a)[ln(x+1)-b],若f(x)≥0恒成立，则a-b的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(a+2c)cosB+bcos A=0. (1)求B; (2)若b=7,c=3,求AC边上的中线BD的长 16.(15分) 体育课上，老师组织同学们进行投篮闯关游戏，每个同学至多投三个球，只要投进两个即 为闯关成功并停止投篮.已知甲每个球投进的概率为p(0<p<1),且每次投篮相互独立， (1)当p=子时，求甲最终闯关成功的概率 (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：只投两个球闯关成功，得10 分，投三个球闯关成功，得6分，闯关失败，得2分；方案二：闯关成功，得7分，闯关失 败，得3分.请讨论选择哪种方案，能使甲获得积分的数学期望更大。 数学5第3页 17.(15分) 如图，几何体ABC-A,B,C,是一个正三棱柱（以ABC为底面）被平面A,BC,所截得到的. 已知AB=2,AA1=4,BB1=2,CC1=3. (1)设D,是AB,的中点，证明：C,D1⊥平面ABB,A1: (2)求几何体ABC-A,B,C,的体积； (3)求平面ABC与平面A,B,C,所成角的余弦值. 18.（17分) 已知函数f(x)=ax2+lnx+1. (1)若曲线y=f(x)在点(1，J(1))处的切线经过点(0，-1)，求实数a的值； (2)若f(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围； (3)证明：当a=1时，f(x)≤xe+x2-x. 19.(17分) 已知抛物线W:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与W交于M,N两点(M在x轴上方)，以 MF为直径作圆C(圆心为点C). (1)证明：圆C与y轴相切. (2)若MN⊥x轴，过点A(2,1)作直线lLx轴，过点M作MQ1⊥l,垂足为Q1,线段CQ,交 劣弧AM于点P,按照如下方式依次构造点Qn和Pn(n=2,3,…):过Pn-1作Pn-1Qn⊥l,垂足 为Qn,线段CQn交劣弧AM于点Pn (i)设4=0正明数别a为等差数列： (i)设劣弧APn的长为b,数列{bn|的前n项和为S。,证明：87<S2o25<89. 数学5第4页 高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查集合的运算 解析因为U=R,A={xlx<2},所以gA=[2,+∞)，又B={xl-2<x<4},所以BU(CgA)=(-2,+∞). 2.答案C 命题透析本题考查复数的四则运算以及复数的模 解析方法一：因为z(3+41)=7+i,所以2=7+i=7+)34=1-i,因此1z1=1-il=2. 3+4i(3+4i)(3-4i) 方法二：z1= 7+i17+l 3+4i 13+4i2. 3.答案D 命题透析本题考查平面向量的坐标运算， 解析因为a=(1,1),b=(-3,m),且a⊥b,所以m=3,b=(-3,3),所以3a+4b=(-9,15). 4.答案D 命题透析本题考查二项式定理的应用， 解析第7项的项式系数为=G-=28 5.答案B 命题透析本题考查等差数列的性质. 解析令n=10,则So=S1,所以a1=0. 6.答案A 命题透析本题考查双曲线的简单几何性质 解折令)=则后-言-1，解得=±片所以M1 a ,又因为双曲线的渐近线方程为y=±6x,所以 1P01-2c,所以2.25心，即c=26,所以心=6-68=，所以双线的离心率e=台=万. a 7.答案C 命题透析本题考查函数的奇偶性与单调性 解析由已知得f(0)=0,当x<0时，-x>0,所以f(-x)=e2“-e=-f(x),当x>0时，同理可知f(x)是奇 一1 函数.又当x≥0时，'(x)=2e24-e*=e*(2e-1)>0,所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，从而f(x)在R上单调 递增不等式f2m-1)+m)>0即2m-1)>-fm)=-m),所以2m-1>-m→m>子 8.答案B 命题透析本题考查三角函数的性质. 解析因为sinx=cos(受-x=cos(x-）,所以(sin≥cos9可化为os(x-受)≥cosg.由三角函数的 定义解得k如-9≤x-7≤km+p,ke乙，即km+7-≤x≤km+牙+p,keZ该解集在数轴上表示如下： 2-0 -号+0号-0号+03-3+9 若VaeR,3xe[a-号，a+],使得1in≥asp成立，则只需[。-号，a+罗]的长度大于等于相邻解集 之间的长度，所以+）-(a-）≥(m+7-9)-[(-1)m+受+]，解得p≥石又4∈(0，），所 以φ的最小值为石 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案BCD 命题透析本题考查等比数列的性质. 解折设a的公比为g因为+-6所以+2-器因为a++a=21,所以店=16，因 为a是正项数列所以a=4,所以号+4+4=21，解得9=2或q=子 1 由上面的分析，可知A错误，B正确； 对于C,若{an}是递增数列，则q=2,a1=1,a2=2,a3=4,所以S3=a1+a2+a3=1+2+4=7,故C正确； 为于D者是莲玻数列照g子则-6以心16×台反6-位门一16 1-2 (分，所以6+S=32,放D正确， 10.答案AD 命题透析本题考查事件与概率，条件概率与全概率公式。 解析由已知得P(B)=子，P(AB)=,P(AB)= —2 对于A,因为P(B)=子所以P氏)=1-P(B)=1-子=号故A正确； 对于B,由全概率公式可得PA)=PA1B)P氏B)+P氏AB)PB)=×号+宁×宁-写放B错误： 1 对于C,=P4B)×P=子×号-石所以P风1-兴得-言-之放C结谈： 3 对于D,PA+8=PA)+P(®)-P代)=宁+号石-名放D正确 11.答案ACD 命题透析本题考查正四面体的结构特征 解析对于A,设正四面体A-BCD内任意一点到四个面的距离分别为d,d2,d,d4,正四面体A-BCD的高 为么，又5a=Sm=S心=Saa=分×2x2xs血60°=万，由等体积法可得9(4+4+4+d)-, 所以d1+d2+d3+d4=h为定值，故A正确. 对于B,棱长为2的正四面体A-BCD的外接球与棱长为√2的正方体的外接球半径相同，设外接球的半径为 R外，则2R外=√(2)2+(2)2+(2)2=6，所以外接球的表面积S=4mR外=6m,故B错误 对于C,如图，I为正四面体A-BCD的中心，若球I的球面与正四面体A-BCD的棱有公共点，则球I的半径R满 足Rg≤R≤R,由B可知，风，一9.正因面体A-BCD的枝切球即为正方体的内切球，所以R=号所以 球I的半径R的取值范围是2,6] 故C正确。 2’2 B 对于D,如图，正四面体A-BCD的棱长均为2，则△4CD的高CG=2×5=万，设0为底面ACD的中心，则 00=子cc-2,0G=cG-9.0B=V-0C-2-(P-25建立知图所示的空间直角坐标 系，则A(-号-1,000,2）(-名，-2}所以点B关于平面4CD的对称点为40,0，-2） 且K=E,所以EF+BF=P+HF≥H=√(-吾-0+(-号-0+（号+2=写，放D正确 B G 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案气 命题透析本题考查椭圆的几何性质， 解析设C的半焦距为c(c>0).由焦距为4，得2c=4,c=2,所以a2=b2+c2=b2+4,将(2，√2)代入椭圆方 程，得子4+层=1，解得=4，故。2=4+4=8，得0=2万，离心率e=日=- 2 a222 13.答案T 命题透析本题考查三角函数的周期. 解析f代x)的定义域为{xx≠km-平k∈Z}当x=受+m(keZ)时x)=0,此时(x)每相邻两个零点 间的距离为；当x子受+km(keZ)时八)=am中y=amx的最小正周期为m,此时代)以m为最小正 周期.综上可知，(x)的最小正周期为π. 14.答案1 命题透析本题考查函数与导数的综合应用， 解析易知函数y=e-a,y=ln(x+1)-b都是增函数，都至多有一个零点. f(x)=(e-a)[ln(x+1)-b]≥0恒成立，.函数y=e-a,y=n(x+1)-b有公共零点，记为x,其中 re0-a=0, ra=e*0, x0>-1,则 即 则a-b=e0-ln(x+1)(x>-1) ln(xo+1)-b=0,【b=ln(xo+1), 设函数g()=心-h(x+10(x>-1),则g)=心+1且g0)=0 “了=，y=+7在(-1，+)上均单调递增，g)在(-1，+)上单调道掉。 ∴.当x∈（-1,0)时，g(x)<0,当x∈(0，+∞)时，g(x)>0, ∴.g(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，∴g(x)mm=g(0)=1. 4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查正弦定理和余弦定理的应用. 解析(1)在△ABC中，由(a+2c)cosB+bcos A=0及正弦定理，得(sinA+2sinC)cosB+sin Bcos A=0,即 sin Acos B+2 sin Ccos B+sin Bcos A=0,…(2分) 所以2 sin Ccos B+sin(A+B)=0. 1 因为A+B+C=π，所以sinC=si血(A+B)0,所以cosB=-7…(4分) 因为B∈(0，T),所以B=2 3 …(5分)》 (2)因为b=7,c=3,LABC-,所以由余弦定理得=d+-2 acAC, 得72=a2+32-2×3×acos (7分) 解得a=5(a=-8舍去).… …(8分)》 由向量的中线公式可得励=(+B心)，… (10分) 所以BD=励1=之(+B心-之√+配=之√+2威·庇+ 2.…(12分) 2V3+2×3x5×()+52= 2 (13分) 16.命题透析本题考查相互独立事件的概率，随机变量的数学期望. 解析(1)记“甲最终闯关成功”为事件A, 则()=子×子+G子×-)×子-影 …(4分) (2)若选用方案一，记甲最终获得的积分为X分，则X的所有可能取值为10,6,2. P(X=10)=p2,P(X=6)=Cp(1-p)p=2p2(1-p),P(x=2)=1-p2-C2P(1-p)p=1-3p2+2p3, …（7分） 则E(X)=10p2+6×2p2(1-p）+2(1-3p2+2p3)=-8p3+16p2+2.…(8分) 若选用方案二，记甲最终获得的积分为Y分，则Y的所有可能取值为7,3. P(Y=7)=3p2-2p3,P(Y=3)=1-3p2+2p3,… (10分) 则E(Y)=7(3p2-2p3)+3(1-3p2+2p3)=-8p3+12p2+3. (11分) 所以E(X)-E(Y)=(-8p3+16p2+2)-(-8p3+12p2+3)=4p2-1,…(12分)》 若2<p<1,有E(X)>B(,则选方案-，… (13分) 若p=7,有E()=B(门，则选方案-和方案二都行，…《（14分) 5 若0<p<号，有E(X)<E(Y,则选方案二。…(5分) 17.命题透析本题考查立体几何的综合问题 解析(1)方法一：如图，取AB的中点D,连接CD,DD 因为△ABC为正三角形，所以CD LAB.…(1分) 在梯形ABB,4中，DD,为中位线，所以DD,/M,且DD,=子(AM+B,)=(4+2)=3. 所以DD∥CC1且DD1=CC,所以四边形CCDD为平行四边形，所以C,D1∥CD.…(2分) 因为DD∥CC1,所以DD1⊥平面ABC,所以DD1⊥DC.…(3分) 又CD⊥AB,DD1∩AB=D,ABC平面ABB1A1,DD1C平面ABB1A1,所以CD⊥平面ABB1A1··(4分) 因为C1D1∥CD,所以C1D1⊥平面ABB1A1· …(5分） D B 方法二：取AB的中点D,连接CD,DD1.在梯形ABB1A1中，DD1为中位线，所以DD1∥AA1,DD1⊥平面ABC 如图，以D成，D心，DD的方向分别为x,y,2轴正方向建立空间直角坐标系Dxy,…(1分) 则D(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C1(0,√3,3)，D1(0,0,3), 所以A=(2,0,0),DD=(0,0,3),CD=(0,-5,0),…(2分) 所以Cd.A店=0+0+0=0，所以CD11AB.…(3分) 同理可证：C,D1上DD1,… …(4分） 又DD1∩AB=D,ABC平面ABB,A1,DD1C平面ABB,A1,所以C,D1⊥平面ABB1A1.·(5分) D B (2)方法一：如图，分别延长A41,BB1,CC1至A2,B2,C2,使A1A2=2,B1B2=4,C1C2=3, 一6 A B C B 则c4a6=2ca=号×（分x2x2x2)x6=35. …(9分) 方法二：如图，分别在棱AA1,CC1上取点E,F,使得AE=CF=2,则几何体ABC-EB,F是一个底面边长为2，高 为2的正三棱柱，所以Vcr=(分×2×2×号×2=23. 而四校锥B,-ACFE的体积为46层=了×2(2+1)x×2×5=5. 所以Vc-4BG1=VABc-Bp+V1-1GE=25+5=35.…(9分) E A (3)方法一：建系同(1)中方法二，如图，可得A1（-1,0,4),B(1,0,2), 则AB=(2,0,-2),AC=(1,N3,-1).…(10分) 设n=(x,y,z)是平面AB1C1的法向量， A1B·n=2x-2z=0, 则{ 不妨设x=1,则n=（1,0,1),… (12分) AC·n=x+5y-z=0, 显然m=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.…(13分) 设平面ABC与平面A1B1C1所成的角为0， cos 0=Icos(m,n)1 =0+0+1 s② 1×√2+02+1p2, 7 即平面ABC与平面A,B,C,所成角的余弦值为 …(15分) D B B x2x2x5 2 2 方法二：设平面ABC与平面A,B,C1所成的角为0，则cos0= S△ABC= 2 SAABICI 2×22x5 1 2 所以平面ABC与平面A,B,C,所成角的余弦值为 2 (15分) 18.命题透析本题考查利用导数工具研究函数性质。 解析(1)函数f)=a2+hx+1的定义域为(0，+o)(x)=2a+=(2ar2+1).…(1分) 因为f1)=a+1f'(1)=2a+1, 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-(a+1)=(2a+1)(x-1),…(3分) 把(0，-1)代入，得a=1.… …(4分)》 (2)令fx)=0,得a=-nx+1 x2 令y=则/2 x3 当0<<后时，<0，所以y=h在0，启)上单调递减， 当>时>0，所以y:也中在（合+小上单调递增， e 所以当x=广时，y=-号 (7分) 当x>0且趋近于0时，=凸趋近于+0： 当x趋近于+∞时，y=-血+<0且趋近于0， x2 所以要使函数x)有两个零点，只需-氵<a<0,即实数a的取值范围为(-号，0 .…(9分) (3)当a=1时，要证f(x）≤xe+x2-x成立，即证lnx+1≤xe-x成立.…(10分) —8 方法一：记g()=n+1-e+,则g(x)=-(x+1)e+1=(x+1)(生-e）,>0..（1分) 记A()=士-6，>0 因为y=上和y=-e在(0，+0)上均单调递减，所以h(x)=-e在(0，+)上单调递减， 又（分）=2-后>0，(1）=1-e<0,所以存在∈（分小使得(）=0，即a(6)=名-e=0,所以 %oe*0 =1,%=-In xo. 当0<x<xo时，h(x)>0,即g'(x)>0,所以g(x)在(0，x)上单调递增，当x>x时，h(x)<0,即g'(x)<0,所 以g(x)在(xo,+∞)上单调递减 所以g(x)mx=g(x)=lnx0-xoe0+xo+1=-1+1=0,得g(x)≤g(x)mx=0. 所以nx+1-xe+x≤0成立，原命题得证.…(17分) 方法二：设m(x)=e*-x-1,则m'(x)=e-1. 令m'(x)>0,解得x>0;令m'(x)<0,解得x<0. 所以m(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. 所以m(x)≥m(0)=0,即e*≥x+1.… (13分) 因为xe=ee=ehx+≥lnx+x+1,所以-xe*≤-(lnx+x+1), 所以lnx+1-xe+x≤lnx+x+1-(lnx+x+1)=0,即证.… (17分) 方法三：由题意得lnx+1-xe+x=lnx+x-xe+1=ln(xe*)-xe+1.…(12分) 令t=xe,x>0,则t=(x+1)e在x>0时恒大于0，所以t=xe在(0，+o)上单调递增，所以x>0时，t>0. i记p(0）=h6-4+1,>0,则'(d)=-1=(1-0.…(14分) 所以当0<t<1时，p'(t)>0,p(t)单调递增；当t>1时，p'(t)<0,p(t)单调递减. 所以p(t)x=p(1)=-1+1=0. 所以p(t)≤0， 即lnx+l-xe+x≤0成立，原命题得证. (17分) 19.命题透析本题考查抛物线的性质，直线与圆的位置关系， 解析（1)设M(xM,yM),由y2=4x,知F(1,0), 则圆心为MF的中点C(u+1,兰） 2,2 由抛物线的定义可知IMF1=xM+1=2r, 又点C到y轴的距离d=,_M=, 2=1 2 9 所以圆C与y轴相切.…(4分) (2)(i)由题可知M(1,2),C(1,1),圆C:(x-1)2+（y-1)2=1,直线1：x=2,直线1与圆C相切于点A. 过M(1,2)作MQ1⊥l,垂足为Q1(2,2), 设Q.(2,y.),n=1,2,3,…,则P(xa+1yn+1). ay-1-含-x-10-1= yn-1 代人图C的方程，得（号+(g-1)=1, 由题意，点卫.(1水)满足该方程，所以(+(1-1)=17分) 整理可得，1 1 (1-1)2(.-10=1. 11 1 根据题设，a.40.P-,所以a-a.=1,又a,10,下1， 所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列。… (10分) 、(i)由(1)可知a,=n,可得Q.=, (11分) 因为S04>Sac4,所以宁4C6,>之ACA0l,即6.>1A0.l, 所以6.>1 2 ==2(√n+2-√n+1), √n+1n+2+n+1 Sn>2(√n+2-√n+I+√n+I-√n+…+4-3+3-√2)=2(n+2-2), 当n=2025时，S225>2(√2027-2)>2(45-1.42)=87.16>87.…(14分) 由S0A<Sac4,得子AC16,<AC1A0.1,即6.<A0.1, 所烈=号<1，当2时宏石后2(-a可 Sn<1+2(√元-√n-1+√n-1-√n-2+…+√2-1)=2V元-1， 当n=2025时，S2ms<2√2025-1=89. 综上，87<S2s<89。…（17分) 10