精品解析：北京理工大学附属中学分校2025—2026学年下学期八年级数学学科期中练习

北京理工大学附属中学分校2025-2026学年下学期八年级数学学科期中练习 注意事项： 1．本试卷满分100分，时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐一判断选项即可，最简二次根式需满足：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数不含分母，且分母中不含根号． 【详解】解：A．，25是能开得尽方的完全平方数，∴A不是最简二次根式． B．的被开方数6不含能开得尽方的因数，也不含分母，满足两个条件，∴B是最简二次根式． C．的分母含根号，不符合要求，化简后为，∴C不是最简二次根式． D．的被开方数含分母，化简后为，∴D不是最简二次根式． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.无法化简为，A错误； B.和都是负数，二次根式，无意义，B错误； C.，C正确； D.与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 3. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理可判断A和B，利用勾股定理的逆定理可判断C和D． 【详解】解：A．∵， ∴ ∴是直角三角形，本选项不符合题意． B．∵， ∴，即 ∴是直角三角形，本选项不符合题意． C．设，，（） ∵，符合勾股定理的逆定理 ∴是直角三角形，本选项不符合题意． D．∵，， 计算得，， 验证得任意两边平方和都不等于第三边的平方，不满足勾股定理逆定理 ∴不是直角三角形，本选项符合题意 4. 如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由邻补角定义求出，然后利用平行四边形对角相等即可求解． 【详解】解：     四边形是平行四边形   5. 如图，菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵E、F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确； B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误； D、一组邻边相等的平行四边形不一定是菱形，原说法错误． 7. 如图，把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是（ ）． A. 128 B. 64 C. 40 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设，由折叠的性质可得，在 中利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的长，最后利用三角形面积公式求解即可 【详解】解：连接，设  四边形是矩形 ，， 由折叠的性质可得： 在中，由勾股定理得：即 解得 点在上，点在上， 的高等于的长，即为8 8. 有四座城市A，B，C，D，位于一个正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定设计公路网连接它们，但为了节省建设经费，要求公路网总长度设计得越短越好，以下哪种方案最好（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形边长为 ，分别计算四个选项中公路网的总长度，通过比较数值大小确定最短方案． 【详解】设正方形  的边长为 ． 对于方案 A：公路网为两条对角线  和 ．      总长度  ． 对于方案 B：公路网为  及中间一条连线（长度为 ）．   总长度  ． 对于方案 D：公路网为  及对角线 ．  总长度  ． ∴ 对于方案 C：如图， 在正方形  中，且， ∴ ∴ 即 故方案A最好． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 直接根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 即， 故答案为：． 10. 正五边形的外角和等于 _______◦． 【答案】360 【解析】 【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度 ∴正五边形的外角和也为360° 故答案为360 11. 比较大小：______5（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键．由，可得即可得到答案． 【详解】解：， ，即， 故答案为：． 12. 如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则，两点间的距离为____km． 【答案】 0.5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及直角三角形斜边上的中线的性质，先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算即可． 【详解】解： ， ， ∴为直角三角形， 在中，根据勾股定理，得  ， 是的中点 ， ． 13. 如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点E，F，连接，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，连接，先证明，再证明四边形是矩形即可求证． 【详解】连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 14. 《九章算术》中记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”译文：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？我们用线段和线段来表示芦苇，点和点表示芦苇与水面接触的位置，设水的深度为尺，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．若水深x尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理可得方程． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长为尺，由题意得： ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 【答案】20 【解析】 【分析】过点D作y轴的垂线，垂足为，证明，得到的长度，再运用勾股定理，得到正方形的边长，最后得出正方形的面积． 【详解】解：过点D作y轴的垂线，垂足为点E；从点D坐标，可知E点坐标，； 四边形是正方形， ， 与互余， ， 与互余， ， ， ，， ， ． 16. 如图，正六边形的边长为，是边上的一动点，过作交于，作交于，给出下列结论：①；②；③连接，并作它们及的中点，连接，则四边形是正方形；④在上作，则的最小值是．其中正确的有____． 【答案】①④ 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，先根据正六边形边长写出各顶点坐标，再设出边上动点的坐标，然后分别对四个结论逐一分析：结论①利用正六边形内角性质和平行线同位角相等，结合平角定义，算出，验证正确；结论②：如下图作辅助线，三角形为等边三角形，四边形为平行四边形，，求出的值；结论③：作辅助线，根据三角形中位线的性质判断四边形为平行四边形，但不能证明该四边形为正方形；结论④：建立坐标系，确定坐标，利用两点间距离公式求解． 【详解】解：结论①：正六边形每个内角为， 由，，得，， ∴，故①正确； 结论②，如图连接，交于点， 则均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是正六边形的一条长对角线，它与边的夹角， ∴在中，， ∴是等边三角形，， ∵，， ∴， ∵， ∴为平行四边形，， 同理：为平行四边形，， ∴， ∵， ∴，故②错误， 结论③：如图，连接， ∵分别为，的中点， ∴分别为的中位线， ∴且 ， 同理：且 ， 且 ， 且 ， ∴且，且，即四边形是平行四边形， 但不一定存在且，故四边形不一定是正方形，故③错误； 结论④，建立坐标系，如图，过点作轴于点，过点作轴，交过点且平行于轴的直线于点， 则，， 设， ∵， ∴，， ∴， 同理，得坐标为， ∴， 当时，最小为，故最小值为，④正确； 综上，正确结论为． 三、解答题（共52分．第17题8分，第18-21题每题4分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 已知，求代数式的值． 【答案】的值为． 【解析】 【分析】根据完全平方公式把因式分解，然后将代入求解即可． 【详解】解：， ∴原式 ， ∴的值为． 19. 如图，在四边形中，，点E，F分别在上，四边形是平行四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形可得，证明可得，从而可证，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立． 【详解】略 20. 下面是过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图过程： 已知：如图，直线及直线外一点 求作：直线，使． 作法：①连接，以为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ②分别以A，E为圆心，长为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线，直线即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． __________． ∴四边形为菱形． __________（__________）（填推理的依据） 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求； （2）；；菱形的对角线互相垂直 【解析】 【分析】（1）根据作图步骤画出图形，即可； （2）根据作法可得四边形为菱形，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知四边形，，，，，，求：四边形的面积． 【答案】四边形的面积为． 【解析】 【分析】先由题意得，则，然后通过勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后由即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴ ， ∴四边形的面积为． 22. 如图，在平行四边形中，M、N是上两点，，连接、、、，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上的两点M、N满足， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． （2）证明是等边三角形，得，过点作于点，求出、，再由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 出入相补原理是中国古代数学家刘徽提出的一个基本原理，指一个几何图形被分割成若干部分后其面积的总和保持不变，请利用出入相补原理完成下列问题 （1）如图1，已知边长为m的正方形与边长为的正方形剪拼后拼成大正方形，则图1中的阴影部分面积_____ （2）图2中有一个由8个边长为1的小正方形所组成的图形，请将该图形剪两刀后拼成一个大正方形，在图2中画出裁剪线和拼接后的大正方形． 【答案】（1） （2） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）设交于点M，交于点N，根据题意得：正方形的面积为，正方形的面积为，大正方形的面积为，，，，，从而得到阴影部分面积，证明，可得，，即可解答； （2）根据出入相补原理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，设交于点M，交于点N， 根据题意得：正方形的面积为，正方形的面积为，大正方形的面积为，，，，， ∴阴影部分面积， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分面积； 【小问2详解】 略 24. 阅读材料： 我们把不超过实数的最大整数称为实数的整数部分，记作；把称为实数的非负小数部分记作，即． 如：． 请你解决下列问题： （1）_____； （2）若，求的值； （3）实数a，b，k满足，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按新定义计算即可求解． （2）由算术平方根存在的条件是被开方数为非负数可求得n的值，进一步得到m的值，将m的值代入从而可得的值． （3）由算术平方根存在的条件是被开方数为非负数以及平方根的非负性可求得k的值，即可求的值． 【小问1详解】 解：由的定义得． 【小问2详解】 解：由算术平方根存在的条件是被开方数为非负数可得方程组，求得， ， 又，， ． 【小问3详解】 解：由算术平方根存在的条件是被开方数为非负数可得不等式组，则有， 则有， 又根据算术平方根的非负性，则有等式两边都为0， ， ， ， 则． 25. 如图，已知为正方形对角线，为线段上一点，连接，过点作，，连接， （1）求 （2）连接，已知为中点，请写出与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 解：， 证明：如图，延长到点，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ​∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由正方形边性质得，，，结合，，可证明，从而得出； （2）延长至使，结合为中点证明，可得，，进而得，结合得，即可得，利用证，可得，由，得，即可得出． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ​∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】第一问是共顶点双直角手拉手全等模型（，共顶点），这是正方形中最经典的全等构造，通过“同角的余角相等”快速得到夹角相等，结合边相等证全等；第二问是倍长中线法，这是处理“中点+线段倍数关系”问题的通用方法，通过延长中线一倍构造全等，将分散的线段集中到同一个三角形中，再结合第一问的角证第二次全等． 26. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于两个已知图形与，在上任取一点，在上任取一点，当线段的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形与的“遐距”；当线段的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形与的“迩距”．已知矩形，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）线段和的“遐距”是____，“迩距”是____； （2）若图形上任意一点到矩形的“迩距”不超过2，在图（1）中画出符合要求的图形，并直接写出图形的面积_____； （3）若矩形绕点旋转一周，在此过程中已知四边形与矩形的“遐距”的最大值为14，则四边形与矩形的“迩距”的最小值为______，最大值______． 【答案】（1）20，16 （2） （3）2，6 【解析】 【分析】（1）根据“遐距”和“迩距”的定义求解即可； （2）图形上任意一点到矩形的“迩距”不超过2，则原矩形向四周平移2个单位，外部的四个角为半径为2，圆心角为的扇形，据此画出图形E，并求出图形的面积即可； （3）根据四边形与矩形的“遐距”的最大值为14，求出四边形上的点到原点O的最大距离为4，结合矩形上的点到原点O的距离取值范围是，可求出四边形与矩形的“迩距”最小值和最大值． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴，， ∴线段和的“遐距”是，“迩距”是； 【小问2详解】 解：如图，阴影部分即为符合要求的图形， 【小问3详解】 解：矩形绕原点旋转时，顶点到原点O的最大距离为，矩形上到原点O的最小距离为点O到的距离6． ∵四边形与矩形的“遐距”的最大值为14， ∴， ∴四边形上的点到原点O的最大距离为4， ∵矩形上的点到原点O的距离取值范围是， ∴四边形与矩形的“迩距”最小值是，“迩距”最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京理工大学附属中学分校2025-2026学年下学期八年级数学学科期中练习 注意事项： 1．本试卷满分100分，时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形中，E，F分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 7. 如图，把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是（ ）． A. 128 B. 64 C. 40 D. 20 8. 有四座城市A，B，C，D，位于一个正方形的四个顶点，由于各城市之间的商业往来日益频繁，于是政府决定设计公路网连接它们，但为了节省建设经费，要求公路网总长度设计得越短越好，以下哪种方案最好（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10. 正五边形的外角和等于 _______◦． 11. 比较大小：______5（填“”“”或“”）． 12. 如图，某城市中有如图所示的公路，，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则，两点间的距离为____km． 13. 如图，点P是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点E，F，连接，，若，则______． 14. 《九章算术》中记载：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”译文：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？我们用线段和线段来表示芦苇，点和点表示芦苇与水面接触的位置，设水的深度为尺，则可列方程为______． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 16. 如图，正六边形的边长为，是边上的一动点，过作交于，作交于，给出下列结论：①；②；③连接，并作它们及的中点，连接，则四边形是正方形；④在上作，则的最小值是．其中正确的有____． 三、解答题（共52分．第17题8分，第18-21题每题4分，第22-23题每题5分，第24-26题每题6分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在四边形中，，点E，F分别在上，四边形是平行四边形．求证：四边形是平行四边形． 20. 下面是过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图过程： 已知：如图，直线及直线外一点 求作：直线，使． 作法：①连接，以为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ②分别以A，E为圆心，长为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线，直线即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． __________． ∴四边形为菱形． __________（__________）（填推理的依据） 21. 如图，已知四边形，，，，，，求：四边形的面积． 22. 如图，在平行四边形中，M、N是上两点，，连接、、、，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 23. 出入相补原理是中国古代数学家刘徽提出的一个基本原理，指一个几何图形被分割成若干部分后其面积的总和保持不变，请利用出入相补原理完成下列问题 （1）如图1，已知边长为m的正方形与边长为的正方形剪拼后拼成大正方形，则图1中的阴影部分面积_____ （2）图2中有一个由8个边长为1的小正方形所组成的图形，请将该图形剪两刀后拼成一个大正方形，在图2中画出裁剪线和拼接后的大正方形． 24. 阅读材料： 我们把不超过实数的最大整数称为实数的整数部分，记作；把称为实数的非负小数部分记作，即． 如：． 请你解决下列问题： （1）_____； （2）若，求的值； （3）实数a，b，k满足，求的值． 25. 如图，已知为正方形对角线，为线段上一点，连接，过点作，，连接， （1）求 （2）连接，已知为中点，请写出与的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于两个已知图形与，在上任取一点，在上任取一点，当线段的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形与的“遐距”；当线段的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形与的“迩距”．已知矩形，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （1）线段和的“遐距”是____，“迩距”是____； （2）若图形上任意一点到矩形的“迩距”不超过2，在图（1）中画出符合要求的图形，并直接写出图形的面积_____； （3）若矩形绕点旋转一周，在此过程中已知四边形与矩形的“遐距”的最大值为14，则四边形与矩形的“迩距”的最小值为______，最大值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $