精品解析：江苏苏州市吴中区2025-2026学年第二学期八年级数学阶段练习试卷

初二数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图案中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的定义及识别，“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心”，掌握中心对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称，不符合题意； B、是中心对称，符合题意； C、不是中心对称，不符合题意； D、不是中心对称，不符合题意． 故选：B ． 2. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据“分式的值为0的条件为分式的分子等于0，分母不等于0”，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴． 故选：B 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式． 4. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为， 第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故选：D． 5. 下列条件中，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质与矩形的判定定理是解决问题的关键．根据矩形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：A、平行四边形中，，可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，不能使平行四边形成为矩形，故本选项不符合题意； B、平行四边形中，，由对角线相等的平行四边形是矩形，可证明平行四边形是矩形，故本选项符合题意； C、平行四边形中，，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定平行四边形是菱形，不能使平行四边形成为矩形，故本选项不符合题意； D、平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定平行四边形是矩形，故本选项不符合题意． 故选：B． 6. 在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个相等的实数根且两根同号 C. 有两个不相等的实数根且两根异号 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，通过根的判别式判断根的个数，再根据两根之积判断两根符号，即可得出结论． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为， 因此方程的两根异号 因此方程有两个不相等的实数根且两根异号． 8. 如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接，则，由平行四边形的性质得，因为，所以，则，求得，则，所以，由，得，因为H是的中点，E为边的中点，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点A关于直线的对称点L，连接交于点P，连接， 由对称性质得垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H是的中点，E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 【点睛】此题重点考查轴对称最短线路问题、平行四边形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形中位线定理、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡相应位置上．） 9. 如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黑色区域四个，白色区域四个，落在黑色或白色区域等可能，对计算求解即可． 【详解】解：∵黑色区域共四个，白色区域共四个， ∴小球落在黑色石子区域内的概率是：． 故选A． 【点睛】本题考查了几何概率．解题的关键在于正确的计算． 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再通过对完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实数根， ∴，， ∴． 12. 已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形时，其周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到△，根据根与系数的关系得到，然后解方程得到的值，从而得到菱形的周长． 本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，的长是关于的方程的两个实数根， ，， 解得， ， 即菱形的周长为． 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是__________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法．常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②∵，， ∴无法得出四边形是平行四边形，故②不正确； ③∵，， 不能得出四边形是平行四边形，故③不正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． 14. 如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义得到，易证得，进而得到，，根据是的中位线，进行解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， , ， 在和中， , ， ，， , 为的中点，， 是的中位线， ． 15. 如图，在中，，，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，则，，先由勾股定理求出，根据正方形性质得，，，证明，进而依据“”判定，则，进而依据“”判定，则，，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点P，设交于点Q，如图所示： ∴， ∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 16. 无论a取何实数，动点恒在直线上，是直线上的点，则的值等于____________． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，令，则；再令，则．再利用待定系数法求直线的解析式，再根据直线上点的坐标与函数解析式的关系得到，再求代数式的值． 【详解】∵由于a不论为何值此点均在直线l上， ∴令，则；再令，则． 设直线l的解析式为， ∴ ，解得 ． ∴直线l的解析式为：． ∵是直线l上的点，∴，即． ∴． 故答案为：9 三、解答题（本大题共11题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 18. 先化简：，再从－2、0、1中选一个合适的值代入求值． 【答案】；当时，值为 【解析】 【分析】先根据分式的四则混合运算法则化简，然后将能使分式有意义的a的值代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴、， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，选出合适的a的值是解答本题的关键． 19. 解分式方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】按照解分式方程的步骤解分式方程即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以， 得， 化简得， 解得：， 经检验是增根， ∴原分式方程无解． 20. 如图，在平行四边形中，，平分交与点E． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，关键是由平行四边形的性质推出，得到，由等角对等边推出． （1）由平行四边形的性质推出，得到，求出，由角平分线定义即可求出的度数； （2）由平行四边形的性质推出，，由平行线的性质、角平分线定义推出，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平分， ； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ． 21. 在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求作图： （1）在图中找一个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形； （2）在图中作中平行于BC边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质作图即可； （2）利用矩形的性质确定中点E、F，然后连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求； 【小问2详解】 如图所示：线段即为所求； 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及矩形的性质，理解特殊四边形的性质是解题关键． 22. 关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于−3，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式，求出大于等于0恒成立，就可以证明； （2）利用公式法得到该方程的两个根，一个是2，一个是，根据方程有一根小于−3，求出k的取值范围． 【详解】解：（1）∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）根据求根公式得该方程的解是，即，， ∵方程有一根小于−3， ∴，解得． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和利用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用这些知识点进行求解． 23. 坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． （1）据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 【答案】（1）月平均增长率为； （2）售价应降低4元． 【解析】 【分析】（1）设出未知数，利用“初始销量×(1+月平均增长率)²=最终销量”列一元二次方程，舍去不符合题意的负根，即可得到结果． （2）设出降价金额，分别表示出每件商品的利润和降价后的销量，利用“总利润=每件利润×销量”列一元二次方程，结合“尽量减少库存”的要求，选择符合题意的解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得：，（舍去） 答：月均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低x元，则每件盈利为元，即元，销量为：件， 由题意得，， 解得，， 尽量减少库存， ，即售价应降低4元． 答：若使每天销售后获利240元，售价应降低4元． 24. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用矩形性质和线段垂直平分线的性质，证明四边形是平行四边形，再结合邻边相等的条件，证明其为菱形． （2）设菱形边长为，在中利用勾股定理求出边长，再用底×高计算菱形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ∴（）， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：设菱形的边长为，则， ∵， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 在中，由勾股定理得： ，即， 解得． ∴， ∴菱形的面积：． 25. 探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当________时，有最小值是________； （2）多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； （3）已知，求的最小值； 【答案】（1）， （2）大， （3）的最小值是． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ∵， ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 26. 探究下列问题： 【问题提出】 （1）如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． （2）求证：四边形是平行四边形； （3）若，求四边形的周长． 【问题解决】 （4）如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质求解，证明四边形是平行四边形即可得到答案． （2）证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形； （3）由（2）得：，，四边形是平行四边形，得，再由勾股定理求出，即可求解． （4）如图，取的中点，的中点为F，证明在与的距离为的线段上运动，当时最小，此时四边形为矩形，四边形是矩形，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：①∵菱形的边长为10，对角线的长为16，记对角线的交点为， ∴，，，，， ∴，， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：由（2）得：，，四边形是平行四边形， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长． 【小问4详解】 解：∵矩形，， ∴，，， 如图，取的中点，的中点为F，取的中点，的中点，连接， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴在与的距离为的线段上运动， ∴当时最小，此时， 此时四边形为矩形，四边形是矩形， ∴，共线，， ∴，， ∴． 27. 【方法回顾】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形，直线l经过点A，于点E，于点F，若点A的坐标为，，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为菱形，直线于点A交于点P，交l于点E，点F在上，且，若，，求点E，F的坐标； 【思维拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，直线l分为两部分，于点E，于点F，若点F的坐标为，直接写出点E的坐标． 【答案】（1）；（2）点E，F的坐标分别是，；（3）点E的坐标是或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，利用勾股定理求出，证明，得到，即可求解； （2）由菱形的性质得到，证明，得到，设，则，，利用勾股定理求出，即可求出，根据，求出，再利用勾股定理即可求出，进而求出，即可得出结果； （3）连接，过点作轴，垂足为H，过点E作，垂足分别为点G，点P，根据题意，分为和，两种情况，结合（1）（2）方法求解即可． 【详解】解：（1）四边形为正方形，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：四边形为菱形，， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ，即， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：四边形为矩形， ， 直线l分为两部分， ， ①如图，连接，过点作轴，垂足为H，过点E作，垂足分别为点G，点P，当时， 则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，连接，过点作轴，垂足为H，过点E作，垂足分别为点G，点P，当时， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； 综上，点E的坐标是或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，正方形，菱形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理等，正确作出辅助线，证明三角形全等，运用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图案中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为(　　) A. B. C. D. 5. 下列条件中，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个相等的实数根且两根同号 C. 有两个不相等的实数根且两根异号 D. 没有实数根 8. 如图，在平行四边形中，，，，点F在边上运动，连接，若H是的中点，E为边的中点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡相应位置上．） 9. 如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是_____． 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 11. 若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 12. 已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形时，其周长为_________． 13. 如图，在四边形中，，对角线、相交于点．下列条件：①，②，③，④．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是__________． 14. 如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 15. 如图，在中，，，，分别以为边向外作正方形，正方形，连接，则______． 16. 无论a取何实数，动点恒在直线上，是直线上的点，则的值等于____________． 三、解答题（本大题共11题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1） （2）． 18. 先化简：，再从－2、0、1中选一个合适的值代入求值． 19. 解分式方程：． 20. 如图，在平行四边形中，，平分交与点E． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 21. 在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求作图： （1）在图中找一个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形； （2）在图中作中平行于BC边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法） 22. 关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根小于−3，求k的取值范围． 23. 坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． （1）据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 24. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 25. 探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当________时，有最小值是________； （2）多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； （3）已知，求的最小值； 26. 探究下列问题： 【问题提出】 （1）如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． （2）求证：四边形是平行四边形； （3）若，求四边形的周长． 【问题解决】 （4）如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 27. 【方法回顾】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形，直线l经过点A，于点E，于点F，若点A的坐标为，，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为菱形，直线于点A交于点P，交l于点E，点F在上，且，若，，求点E，F的坐标； 【思维拓展】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，直线l分为两部分，于点E，于点F，若点F的坐标为，直接写出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $