天津市南开区2025-2026学年第二学期高三年级质量监测（二）数学试卷

2025-2026学年度第二学期高三年级质量监测（二)参考答案 数学学科 一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分） 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 答案 B D A D B C A 二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分） (11)15: (12)7: (13) (14)6, [后引： (15)(-o,-1)U(-1,0). 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （16)解：(1)由余弦定理得2c.62+c2-a2 =2b-a, 2bc …1分 整理可得a2+2-c2=ab,所以cosC=Q+B2-c2=1 2ab 2 …3分 又C∈(0，)，所以C= …4分 3 (n)由正弦定理b。=c一得bsinC=-csinB=5, sin B sinC …5分 所以b=3 =2. …6分 元 sin 3 由(I)知c2=a+b2-ab=7,所以c=万. …7分 ()由（Ⅱ）及csin=5得in8=万， …8分 由(I)知b<c,所以B为锐角，所以c0sB=2 7 …9分 所以sin2B=2 sinco=42，co82B=2cosB-1e}, …11分 7 所以cos4-B)=cos(2-2B)=cos2年cos2B+sin2Lsin2B 3 3 3 数学试卷参考答案第1页（共7页） 11,54511 一X一+ …14分 272714 (17)解：（I)连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接PO, 以OA,OB,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，可得 则A(3,0,0),B(0,3,0),C(-3,0,0),D(0,-3,0),P(0,0,6), M20,3,w-0.3,E0,2,2》· …2分 ◆2 G M DA E 0 A B 2 所以威=(-2，，=(-2，DP=0,3,0 因为DP,EM=0,DF.E=0, 所以PD⊥平面EMGN. …5分 (Ⅱ)由(I)知DP=(0,3,6)为平面WE的一个法向量.…6分 因为AP=(-3,0,6),AB=(-3,3,0), 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z）, 数学试卷参考答案第2页（共7页） 则m~=0,即 -3x+62=0令2=1，得m=2,210. …8分 ·AB=0,-3x+3y=0, 设平面PAB与平面MNE的夹角为p, 则cos0=m~D=12-4W5 ……10分 1nDp133515· (Π)PM=(,0,-3》,设PG=PD=0,-3,-6, 所以G=Pm-PG=(,361-3》. 2 因为PD⊥GM,所以DF.GM=451-18=0,解得= 从而G=0,号号》. …13分 24 所以点G到平面PAB的距离d=PGn_ -8 35 …15分 Va2-b2 215 (18)解：（I)依题意，有 a 5’解得a=V5,b=1, …4分 a2+b2=6, 所以C的方程为兰 +y2=1. …5分 (Ⅱ)设直线：x=my+t,Px1,y),x,y2), 联立方程 x=my+t, 1x2+5y2-5=0, 得(m2+5)y2+2my+t2-5=0, 则y+⅓=-2t, 2-5 m2+5’hy= …7分 m2+5 因为A,P,O,2四点共圆，所以∠PO2=∠PAQ=90°， 数学试卷参考答案第3页（共7页） 则有0p00=AP·A观=0， …8分 即，+yy=0, x-V5)(:-V5+y2=0, 所以5+名=5，即my+⅓+21=5， …10分 x+2=0, (my+)(my2+0+yy2=0, 所以-2m产+21=10=5，即m+5=25, …11分 m2+5 m2+5 m2+2+m+2)+r=m+D-到+mt 2mt） m2+5 m2+5+2 =-5m2+6-5-0,即5m2+5=6t2, …12分 m2+5 联立了m2+5=25,解得5=22,6=√5（此时直线1过点A,舍去)， 5m2+5=6t2, 将：=25代入m+5=2,解得m=± …14分 3 所以直线1的方程为3x+√15y-2√5=0或3x-15y-25=0.…15分 (19)解：（I)由数列{a,{bn}满足a1=1,b1=2,b2=5,1=点+ 1 当n=1时，可得=+，即三=2+，解得2=2： a2412 4212 …1分 因为{an}是等差数列，所以an=n. …2分 从面篇会+分 所会身修)作》+会 …4分 数学试卷参考答案第4页（共7页） 可得中)】 …5分 (Ⅱ)b,=3n 2· R=3+6++3n=3m2+3n …6分 2 ++号+++，@ n =2、n+2 224 1-2 2n 所以Mn=4-n+2」 2n-· …9分 所以，=B-M,=3m2+3-4++2 2 2n-1 …10分 1 2m-, n=3m-2, (Ⅲ)因为cn= 2m-1 2m+10-2m’n=3m-1, …11分 2m+1 2m-02’ n=3m, 2n-1 2n+1 所8a2+9+9=22+:2*2 六+空z*女+on 1 2 克+(o品zz小 21 …12分 2 2 -to小 …15分 数学试卷参考答案第5页（共7页） (20)解：(I)=(sinx+xcos)+l, …1分 可得r}又)辛 所以陆线y因在点x=处的切线方程为y一要-引x-引， 3 即y=立. …3分 ()由g≥x得g+2≥x,@ a ex 当a<0时，时，号+2，@试不戒立，所以a>0.4分 令1=c,由@得2-ar+2z≥0，即t-lhnt+2a≥0对任意>0恒成立， h()=t-alnt+2a:h'(=1a2=aza=+a)(t-2a) 当t∈(0,2a)时，h'()<0,te(2a,+o)时，h'()>0, 所以h()在(0,2a)上单调递减，在(2a,+o)单调递增， 故h≥h2a)=3a-ah2a≥0，解得0<a≤ 2 所以a的最大值为 2 ……9分 ()当a=1时，由g≥f+忌得。产≥ xsin+x. 易证e≥x,所以e2≥xe. 要证e2≥xinx+x,只需证明xe】xsinx+x. 2 …10分 ①x≥0时，由e产方in+x得c在方inx+1, 2 因为ex+1≥2x+1之2inx+1, 所以x≥0时，g2)≥f)+ e2x …12分 数学试卷参考答案第6页（共7页） inx+l ②x<0时，由xe>xinx+x得e≤】sinx+1,即2 er ≥1. inx+1 sinx-1 -cosx+ -1 令x)=2 —，p(x)= cosx-1 2 4 Q+ <0 ex e+ 所以px)在(-o,0)递减， 因此p)>(0)=1,即g2)≥f+3 因此，当a=1时，g2)≥f)+二成立. …16分 数学试卷参考答案第7页（共7页)2025-2026学年度第二学期高三年级质量监测 (二) 数学学科试卷 本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120 分钟。第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页。 ® 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 如 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 郎 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号； 不 3.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： 蝶 ,球的体积公式V号R,其中R表示球的半径。 ·如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ·如果事件A,B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B). 韶 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)设集合A={-1,0,1},B={x+ylx∈A,yEA},则CB(AnB)=() 杯 A){-2,-1,0,1,2} (B){-2,2} (c){1,0,1} (D){-2,0,2} 舸 (2)设x,y∈R,则“x+y3>0”是“x+y>0”的（) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 数学试卷 第1页（共9页) (3)函数f)=-3江在[-5,51的图象大致为(). (B) 、 (C) (D)》 (4)己知mn≠1，logmx=3,lognx=4,则logmnx=(). (A)12 (B)7 (D) 12 (5)下列说法中，正确的是（). (A)将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大 (B)在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.99的模型拟合的效果更好 (C)残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 (D)根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到2=4.712，根据小概率值a=0.05 的2独立性检验(x0,05=3.841),可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05 1 4 (6)已知x≠kπ时， 的最小值为(). sin2x 2+cos2x (A) 9-2 (B)3 (D) 9-4 数学试卷 第2页（共9页） (7)若把函数x)=sin2x+acos2x的图象向左平移工个单位后得到的是一个偶函数，则∫x) 在区 [ π.5π1 上的最小值为（). (A)-2 (B)-25 (c)-1 (D)0 (8)已知正方体ABCD-A1B1CD1的顶点都在体积为4√3π的球O的球面上，M,N,P 分别为棱A1B1,B1C1,BB1的中点，则平面MNP截球O所得的截面面积为（). (A)5元 (B) (C) 35 (D)25 3π 9》已知双曲线C:等卡=1(a>0,60)的左、右焦点分别为R,A,P,Q丙从 y 曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的左顶点，若四边形PFQF为矩形，且∠PA0=2, 3 则双曲线C的离心率为（). (A) √21 (B)5 (C)万 (D)3 3 数学试卷 第3页（共9页） 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2.本卷共11小题，共105分。 得分 评卷人 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。试题中 嘭 包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。 (10)已知复数z=1-2i,则1的共轭复数为 2 些 11) 的展开式中，常数项为 席 (12)己知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-6x-2y+1=0的对称轴过点 P(-4,a)作圆C的一条切线，切点为A,则|PA= 糕 (13)将颜色分别红、黄、蓝的三个小球放入甲、乙、丙三个盒子中，每个小球放入各个 O 盒子的概率均为}，且互不影响，则三个小球分别放入不同盒子的概率为， 在 至少有两个小球放入甲盒的前提下，红球放入甲盒的概率为 槲 席 (14)在平行四边形ABCD中，AC=2,E和F分别是CD和BC的中点，则 哦 (A正+AF)·AC= ；若P,2是BD的三等分点，点M在线段PQ上， AM=xAB+yAD,则y的取值范围是 蘭 (15)已知函数fx)=x+a+ax-a有两个零点，则实数a的取值范围是 数学试卷 第4页（共9页） 三、解答题：本大题共5题，共5分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 得分 评卷人 (16)(本小题满分14分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2 ccosA:=2b-a,csinB=√5， 圜 a=3. 110/110 (I)求角C的大小： 如 (Ⅱ)求c的值； (Ⅲ)求cos(A-B)的值. 的 长 ☒ 郑 杯 韵 数学试卷第5页（共9页) 得分 评卷人 (17)(本小题满分15分) 如图所示，正四棱锥P-ABCD中，AB=3√2，PA=3√5，M,N分别为PA,PC的中 点，PE=2BE,平面EMN与PD交于G. (I)求证：PD⊥平面EMGW; (Ⅱ)求平面PAB与平面MNE夹角的余弦值； (Ⅲ)求点G到平面PAB的距离. N M D∠ B 数学试卷 第6页（共9页） 得分 评卷人 (18)(本小题满分15分) 己知椭圆C: x2 京=1(a>b>0)的离心率为25 短轴的一个顶点到长轴的一 个顶点的距离为√6. 1)求C的方程： (I)A为C的右顶点，直线1交C于P,Q两点，O为坐标原点.若∠PA2=90°， 是否存在直线1，使得A,P,O,Q四点共圆？若存在，求出直线1的方程，若不存在， 请说明理由. 数学试卷 第7页（共9页） 得分 评卷人 (19)（本小题满分15分) 已知数列{a,b.},其中{a}为等差数列，且满足a1=1,b1=2,b=5,l=乌+ antl an 2” neN". 斑 (I)求数列{an},{bn}的通项公式； 1110/110/110/110/110/110 (IⅡ)求{bn}的前n项和为Sn: 性 1-02m -22, n=3m-2, 席 (Ⅲ)记cn= 2am-1 0m4120’ n=3m-1,证明 Ck<3 k=l 2am+1 02m-12m’ n=3m, ☑ 烯 0 烟 哦 o///0 腐 //101110 数学试卷 第8页（共9页） /110/110 1110/11 得分 评卷人 (20)(本小题满分16分) 已知函数四方inx+,g6国-号+2 a (I)求曲线y=w在x=处的切线方程： ® (IⅡ)若对于任意的x∈R,g(x)≥x恒成立，求实数a的最大值； 110//10 如 (Ⅲ)当a=1时，证明g2x≥+ e 郑 啟 长 郑 杯 韵 数学试卷 第9页（共9页）