河北唐县第一中学2026届高三下学期学情自测三数学试题

**基本信息** 高三数学三模试卷共19题150分，以集合、函数、几何等知识为载体，通过解三角形、数列概率、导数零点等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高考冲刺阶段综合训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、向量、统计、椭圆|基础题（如集合运算）与创新题（如比较大小）结合，梯度分明| |填空题|3/15|等比数列、函数交点、概率期望|融入数学建模（如摸球停止问题），考查数据处理能力| |解答题|5/77|解三角形、数列、立体几何、双曲线、导数|综合性强，如导数题含恒成立、存在性及零点证明，体现逻辑推理与创新意识|

高三数学试题 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x≤2},则 A.( - ∞,-1) B.(-∞,-1] C.(-∞,-1)∪{2} D.(-∞,-1]∪{2} 2.复数z=i(1-2i)的实部与虚部的和为 A.2+i B. - 2+i C. - 1 D.3 3.已知向量a在b上的投影向量的坐标为(-2,1), b=(1,), 则a·b= A. B. D. C. 4.若函数 的图象关于直线x=a(a>0)对称，则a的最小值为 A. B. C. D.π 5.某校高三某班共50人参加某次数学测试，该班学生成绩(单位：分)的方差为30，男生成绩的平均数为86，方差为16，女生成绩的平均数为81，方差为36，则该班的女生人数是 A.20 B.25 C.30 D.35 6.已知函数 则 A.0 B.1 C.2 026 D.2 027 7.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F₁，F₂，P为C 上的点且不与 C 的左、右顶点重合， 且PQ平分∠F₁PF₂,则|PQ|= A. B.2 C. D. 8.若实数x,y,z满足 则x，y，z的大小关系不可能是 A. x>y>z B. x=y=z C. y>x>z D. z>y>x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，在棱长均为2 的正三棱柱. 中,D 为AB 的中点,则 A. C₁D⊥AB B.异面直线 AC₁ 与 BC所成角的余弦值为 C.若M,N分别为AA₁,B₁C上的点,则MN的最小值为1 D.若点P 在底面A₁B₁C₁上,且AP∥平面B₁CD,则点P的轨迹长度为 10.已知O 为坐标原点，抛物线 的焦点为F，其准线l与x轴交于点Q(-1，0)，过点F的直线交 C于A，B 两点，过点 F且垂直于AB的直线交l于点 E，则 A. p=2 B.|OA|+|OB|>4 C. D.|AEl·|BE|≥8 11. 在△ABC中,若 则 A.△ABC为锐角三角形 D.若△ABC的面积为1,则AC+BC=3 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12.已知等比数列{an}的前n项积为 Tn,若( 则 13.已知函数. 点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).为直线y=k(x-1)与f(x)图象的两个不同交点，且. ，O为坐标原点，则△AOB 面积的最大值为 . 14.已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到 2个红球，则停止摸球.记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)= . 四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在 中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=2C. (1)若b=2c,求A; (2)若 为锐角三角形，且a=1,求 周长的取值范围. 16.(15分) 已知数列 的前n项和为 且 为等差数列. (1)求数列 的通项公式； (2)若从数列 的前 项中任取两项，记这两项中至少有一项能被3整除的概率为,证明: 17.(15分) 如图,四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,PB⊥AD. (1)证明:PA⊥平面ABCD; (2)若PA=AD=4,AB=2,BC= 四棱锥P-ABCD外接球的球心为O，求直线AO 与平面 PCD所成角的正弦值. 18.(17分) 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为A，B，且点.到C的渐近线的距离为 (1)求C的方程. (2)已知动点 P,Q满足 且 (i)若点 P，Q均不在坐标轴上，从下面①②中任选一个作为已知条件，证明另一个成立. (O为坐标原点)；②点 P在圆 上. (ii)若点 P在圆 上，求|BQ|的最大值. 19.(17分) 已知函数 (1)当x≥0时f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围； (2)若对于任意的 存在 使得f'(m)+f'(n)+1=0成立，求实数a的值； (3)若f(x)有三个不同的零点证明： 学科网（北京）股份有限公司 $