河北邢台市南宫中学等校2026届高三二模数学试题

**基本信息** 高三数学二模卷以核心素养为导向，通过商场促销抽奖（解答17）、椭圆定点问题（解答19）等创新情境，融合复数、统计、导数等知识，梯度设计合理，适配高考二模备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、集合、统计、立体几何等|第3题统计图表分析，考查数据意识| |填空题|3/15|向量、双曲线、函数零点|第14题函数零点与圆结合，体现几何直观| |解答题|5/77|解三角形、概率统计、导数、椭圆|17题促销抽奖情境，考查条件概率与期望；19题椭圆综合，考查逻辑推理与运算能力|

高三数学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知(z+2)i=z,则|z|= A. B.2 C. D.3 2.已知集合 则A∪B= A.{x|x<2} B.{x|x<3} C.{x|-1≤x<2} D. {x|-1<x<3} 2.已知集合A={x|x²-2x-3<0},B={x|x<2},则A∪B= A.乙车间产量的中位数为6月份的产量 B.甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C.甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D.甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 4.已知 的展开式中，所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为 A. B. C. D. 5.已知数列{an}的前n项和为 Sn,且 则 是“数列{an}为递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图，AB为圆柱OO₁的一条母线，BC 是下底面圆的直径，弦DE 与 BC 交于点 M.已知圆柱的高为1，侧面积为 若 且M恰为 DE 的中点，则直线AM 与平面ABE 所成角的正弦值为 A. B. C. D. 7.已知函数.f(x) =2aln|x|,g(x)=x²+a.若f(x)与g(x)的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为 A.(e,+∞) B.(2e,+∞) C. D. 8.已知P是抛物线T: 上一点，点M，N在y轴上，△PMN的内切圆的方程为 则△PMN面积的最小值为 A.42 B.56 C.72 D.88 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数 则下列结论正确的是 A. f(x)的图象关于点 对称 B. f(π-x)=f(x) C. f(x)在[0,π/6]上单调递增 D. 是偶函数 10.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f'(2)=3,函数f(3x+1)和f'(x+2)均为偶函数，则 A. f'(1)=0 B.f'(x+8)=f'(x) C.函数f(x)的图象关于点(3,0)对称 D. 11. 已知数列{an}满足 则下列说法正确的是 A.若t=2,则( B.{}可能为等比数列 C.若{}为等差数列,则t=3m(m∈N*) D.若t=8,{}的前n项和为 Sn,则 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(3,5),b=(x,4),若(a+b)⊥a,则x= . 13.已知O 为坐标原点，双曲线 的左焦点为F，离心率为 过F且斜率为k(k>0)的直线交C的左支于M,N两点,P 为线段MF的中点,PO⊥MN,则k= . 14.已知函数 的图象上存在点 P，Q，使得以线段PQ 为直径的圆经过坐标原点O，且圆心在y轴上，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13 分) 已知 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (1)判断 的形状并证明； (2)若 M 为边AB 上一点，且 求CM. 16. (15分) 如图，在四棱台 中， 四边形ABCD 为平行四边形，点E 在棱 BC 上，且 (1)证明:BE=EC; (2)若平面. 求二面角 的正弦值. 17.(15分) 某商场在春节期间举办促销活动，顾客每次消费超过1000元(含1000元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择其中一种). 方案1：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，有放回地取3次球，每次只能取1个，每取出1个红球，立减200元，若3次都取出红球，则除了立减的600 元外再减300元(即总共减900元). 方案2：从装有3个红球、2个黑球(除颜色外，其他完全相同)的盒子中，不放回地取3次球，每次只能取1个，若取出3个红球，则享受免单优惠；若取出2 个红球，则享受四五折优惠(即只需支付消费金额的45%)；其余情况不享受优惠. (1)已知某参与抽奖的顾客选择方案2，则在他第一次取出红球的条件下，求他能够享受优惠的概率； (2)若某顾客恰好消费了1000元，试从实付金额的期望值角度，分析他应该选择哪种抽奖方案. 学科网（北京）股份有限公司 18.(17分) 已知函数 (1)求f(x)的单调区间; (2)若函数 在[0，π]上单调递增，求实数a的取值范围； (3)证明: 19.(17分) 已知椭圆 的焦点分别为 过 的直线交C于A，B两点.当 轴时， 为等边三角形. (1)求C的方程. (2)设M为直线 ':x=3上的动点. (i)若 轴，证明：直线AM 过定点； (ii)若D为C的左顶点，E为 '上异于M的一点，且D，B，M三点共线， 证明:D,A,E三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $