精品解析：河北省邢台市五县一中2025届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（二模）

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 使不等式成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义判断结论. 【详解】解不等式，可得， 所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集， 所以可以排除选项A，B，C， 因为由可推得，由不能推得， 所以使不等式成立的一个充分不必要条件为． 故选：D． 2. 已知集合，（其中为虚数单位，为复数集），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别化简集合与集合，再求出，最后求出. 【详解】，，． 故选：C． 3. 已知椭圆E：与矩形的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件即可得到，再由椭圆离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，不妨设， 则，且， 即，则. 故选：A 4. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式和诱导公式可得，结合角的范围，可得，可求解. 【详解】因为， ，， 所以，，所以，则． 故选：D． 5. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图： 在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合奇函数的性质可得在上的解析式，再作出的图象，数形结合计算即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数且， 所以当时，，则； 当时，，则， 所以； 函数的图象可由函数的图象向左严移1个单位长度得到， 作出函数在上的图象，如图所示， 由图可知不等式在上的解集为． 故选：A． 7. 已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线方程变形求出直线所过的定点，再结合点与圆的位置关系，分析点到直线距离的最值情况，进而确定距离的取值范围. 【详解】直线：，可化为， 由，解得，，所以过定点， 又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径， 所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为， 此时，所以直线的斜率为1，即，无解， 故直线不存在，所以； 当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0， 故点到直线的距离的取值范围为． 故选：B． 8. 若函数存在零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据进行同构处理，令，由函数单调，所以，即即，求导分析值域即可. 【详解】由题意得，令，则， 令， 因为函数，均在上单调递增，所以在上单调递增， 所以由，得，即， 令，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当时，， 所以，解得，即的取值范围为, 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量（单位：千辆）与月份代码的数据如表所示： 月份 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量/千辆 21 52 109 若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ） A. B. 样本相关系数在内 C. 相对于点的残差为 D. 2025年2月份的销量一定为13.42万辆 【答案】AB 【解析】 【分析】先根据样本中心点的计算方法求出和，再利用样本中心点在经验回归直线上求出的值；然后根据经验回归方程的性质判断样本相关系数的范围；接着根据残差的定义计算相对于点的残差；最后根据经验回归方程的预测性质判断2025年2月份的销量情况. 【详解】根据题意得，， 又必过样本中心点，所以，解得，故A正确； 因为，具有较强的线性相关关系，且经验回归方程为， 所以，具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故B正确； 当时，，故残差为，故C错误； 当时，， 故2025年2月份的销量约为13.42万辆，故D错误． 故选：AB． 10. 余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，它们之间的关系为．已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 图象的对称中心为 C. 的单调递减区间为 D. 与的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，即可利用正切函数的性质，结合选项逐一求解. 【详解】由于， 故定义域满足,故，解得，故A错误， 对于B，，令,所以，故对称中心为，B正确， 对于C, ,令,解得，故C正确， 对于D, ,则，所以与的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 若，且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由抛物线的定义，可得，得；对B，证明，可得，得解；对C，在中，可证结合抛物线定义得，得解；对D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，由抛物线定义结合相似三角形可得，进而求出得范围，得解. 【详解】如图，作于点于点． 对于A，由抛物线的定义得，，所以， 所以是以为斜边的直角三角形，即，故A正确； 对于B，由，，得，所以， 因为，所以，又， 所以，所以，所以，故B正确； 对于C，在中，由，可知，所以， 所以，所以，故C错误； 对于D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，， 则，则，由，可得， 所以，因为是关于的减函数， 又，所以，所以， 又．所以的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式可得，计算模长可得结果. 【详解】由题意得，在上的投影向量为， ∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 已知数列的前n项和为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】因式分解后可得，则可得数列为等差数列，再利用等差数列的性质计算即可得解. 【详解】因为， 化简可得， 则，即， 所以数列为等差数列，所以， 所以，所以． 故答案为：. 14. 用1，2，3，4四个数字组成一个六位数，要求3，4不排在偶数位置（最高位为第一位），每个数字至少用一次，则不同的六位数共有_____个．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先分析每个数字出现的次数，再给有限制条件的3和4安排位置即可求解. 【详解】根据题意分成三种情况： 第一种情况：1和2其中一个数字用一次，另一个数字用三次，3和4分别用一次， 先排3和4的位置，从三个奇数位置选择两个，共种方法， 再选择1和2中用一次的数字，并从剩下的四个位置中选择一个位置安排，共种方法，余下的位置是用三次的数字， 所以共种方法； 第二种情况：1和2分别用两次，3和4分别用一次， 先排3和4的位置，从三个奇数位置选择两个，共种方法， 再选择两个位置安排数字1，剩下的两个位置安排数字2，共有种方法， 所以共有种方法； 第三种情况，1和2其中一个数字用一次，另一个数字用两次，3和4其中一个数字用一次，另一个数字用两次， 先从3和4中选择一个用一次的数字并安排一个奇数位置，共种方法， 剩下一个用两次的数字安排在剩余的奇数位置， 再从1和2中选择一个用一次的数字并安排一个偶数位置，共种方法， 剩下一个用两次的数字安排在剩余的偶数位置， 共有种方法， 所以不同的六位数共有个. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】(1)利用将已知中的切化弦，再利用正弦定理将边化角，即可得证； (2)利用(1)中的结论可求出，再利用正弦定理将化成角，即可求出范围. 【小问1详解】 ，， 两边同时乘以得，， 由正弦定理得，； 在中，，， ，， 又，，， 或， 若，且，则，，不合题意，舍去. . 【小问2详解】 由(1)可知，又，， ，， 又由已知可得，，， ， ， ，， ，， 的取值范围是. 16. 已知数列满足，记． （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，证明：． 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义证明，再分奇数偶数求出通项公式即可； （2）应用错位相减法计算再结合单调性证明不等式即可. 【小问1详解】 因为 ， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 所以当为偶数时，； 当为奇数且时， ． 也符合上式． 综上所述， 【小问2详解】 由（1）得，则， 可得， 两式相碱，可得 ． 则． 因为， 所以为递增数列， 则， 所以． 17. 如图，△PAC为圆锥PO的轴截面，B 为底面圆周上一点，，，点D在线段BC上，且 ． （1）证明：AD⊥PB ； （2）若二面角A−PB−O的余弦值为，求圆锥PO 的侧面积． 【答案】（1）详见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）设，由证明； （2）求得平面APB的一个法向量为，易知是平面PBO的一个法向量，由，求得t，即圆锥的高，从而得到圆锥的母线，由圆锥的侧面积为求解. 【小问1详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 设，则， 所以， 所以，则； 【小问2详解】 设平面APB的一个法向量为， 则，即， 令，得，所以， 易知是平面PBO的一个法向量， 所以， 解得，即圆锥的高为， 则圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 18. 已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． （1）求的方程； （2）是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； （3）与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 设， 可得，且， 解得，且， 又由，，① 假设存在，使得两点关于直线对称，则与直线垂直，所以， 所以，且，则， 因此线段的中点坐标为， 又因为，即点不在直线上， 所以不存在，使得两点关于直线对称． （3）为定值0 【解析】 【分析】（1）由双曲线的离心率为2，得到，再由直线的方程为，代入双曲线的方程，求得，结合，进而得到竖曲线的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，由，且，求得的范围，以及和，假设存在，使得两点关于直线对称，得到，进而得到线段的中点坐标为，结合中点不在直线上，得出结论； （3）解：设，求得和，根据题意，求得和，化简得到，即可得到答案. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为， 因为的离心率为2，所以，即，所以， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，代入，得， 所以，解得，所以的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 由在直线上，可得，即；② 又由在直线上，可得，③ 因为，可得， 即，解得， 同理：由，可得， 结合①②③，得 ， 所以为定值0． 19. 在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和（）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设发送信号0和1是等可能的． （1）若，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为，求的数学期望和方差； （2）随机变量的分布列为，记事件（）发生后给我们的信息量为，则称（）为的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵的最大值； （3）若，发送信号次，设为出现0的总次数，为第次出现1的次数（0或1次），记表示发送信号次，0恰好出现次且第次出现1的次数为的概率，如时，．对于随机变量，记其合并熵为，且．证明：当时，． 【答案】（1）， （2） （3）证明：当时，第次出现0，前次中有次出现0， 所以， 所以 ． 当时，第次出现1，前次中有次出现0， 所以， 所以， 所以 ． 因为， 所以 所以． 【解析】 【分析】（1）发送信号为事件（），接收为正确信号为事件，运用全概率公式计算，然后根据二项分布期望，方差公式计算即可； （2）先求出发送信号1次，接收为正确信号的次数的分布列，再得到，令，记，，借助导数得到单调性，进而得到最值即可； （3）先求出和，再得到，结合对数性质和组合性质计算证明即可. 【小问1详解】 当发送信号1次时，记发送信号为事件（），接收为正确信号为事件， 则，，，， 所以． 因为，所以． 由题意知， 所以． 【小问2详解】 发送信号1次，接收为正确信号的次数的分布列为 0 1 所以， 令，记，， 所以， 由，解得， 所以当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又，所以此时取得最大值， 且最大值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 使不等式成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，（其中为虚数单位，为复数集），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆E：与矩形的四条边都相切，若该矩形关于坐标轴对称，且，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数存在零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量（单位：千辆）与月份代码的数据如表所示： 月份 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量/千辆 21 52 109 若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ） A. B. 样本相关系数在内 C. 相对于点的残差为 D. 2025年2月份的销量一定为13.42万辆 10. 余切函数是三角函数的一种，表示为，余切函数与正切函数关系密切，它们之间的关系为．已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 图象的对称中心为 C. 的单调递减区间为 D. 与的图象关于直线对称 11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（ ） A. B. C. D. 若，且，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则______． 13. 已知数列的前n项和为，且，，则______． 14. 用1，2，3，4四个数字组成一个六位数，要求3，4不排在偶数位置（最高位为第一位），每个数字至少用一次，则不同的六位数共有_____个．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 16. 已知数列满足，记． （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，证明：． 17. 如图，△PAC为圆锥PO的轴截面，B 为底面圆周上一点，，，点D在线段BC上，且 ． （1）证明：AD⊥PB ； （2）若二面角A−PB−O的余弦值为，求圆锥PO 的侧面积． 18. 已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． （1）求的方程； （2）是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； （3）与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 19. 在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为和（）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设发送信号0和1是等可能的． （1）若，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为，求的数学期望和方差； （2）随机变量的分布列为，记事件（）发生后给我们的信息量为，则称（）为的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为，求的信息熵的最大值； （3）若，发送信号次，设为出现0的总次数，为第次出现1的次数（0或1次），记表示发送信号次，0恰好出现次且第次出现1的次数为的概率，如时，．对于随机变量，记其合并熵为，且．证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $