精品解析：湖南岳阳市临湘市2025-2026学年下学期期中练习题 九年级 数学

2026年上学期期中练习题九年级数学 一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 一家鞋店在某种运动鞋进货的过程中，商家关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】商家关注的是哪种尺码销量最多，利用众数定义即可判断． 【详解】解：商家关注的是卖出的这种运动鞋中哪种尺码销量最多， 因此关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的众数． 故选C． 【点睛】本题考查众数的应用，掌握众数的定义是解题的关键． 5. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据“两直线平行，同位角相等”进行求解即可． 【详解】解：因为，， 所以； 故选B． 6. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质． 证明，再结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键是掌握一次函数中、的符号对图象的影响：当时，直线从左到右呈下降趋势；当时，直线与轴的交点在轴正半轴． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴直线从左到右呈下降趋势，由此排除选项A、B； ∵， ∴直线与轴的交点在轴正半轴，由此排除选项C； 选项D中直线的特征完全符合的条件， 故选：D． 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8． ∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B． 考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形． 9. 如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，分别解直角三角形求出的长，再用进行求解即可． 【详解】解：由题意，在中，， 在中，， ∴； 故选D． 10. 已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，，即可判断①；图象与轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不等实数根，可判断②；由二次函数对称性得到与轴另一个交点的坐标，代入二次函数解析式可判断③；由直线推得其一定经过点，由图象可判断④． 【详解】解：依题得：图象开口向下，即， 当时，， 对称轴为直线，则， ， ，①正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，②错误； 二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线， 另一个交点坐标为， ， 即， ， ， 即，③正确； ， 直线经过点， 又直线经过点，如下图， 关于的不等式，即的解集是，④正确． 综上，正确结论的个数为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，二次函数与不等式，解题关键是运用数形结合思想解题． 二、填空题．（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 13. 若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可． 【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 14. 如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为______°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补，等腰三角形性质，外角和定理等．根据题意连接，利用圆内接四边形对角互补，得，继而得，再利用圆周角定理得，再利用外角和定理即可得到本题答案． 【详解】解 ： 连接， ， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 15. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 16. 如下图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．将点代入直线，求解即可确定该直线的解析式为，进而确定，作点关于轴的对称点，连接交轴与点，连接，由轴对称的性质可得，即有的周长，此时的周长取最小值，然后求解即可． 【详解】解：将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线的解析式为， 将点代入直线， 可得， ∴， ∴， 如下图，作点关于轴的对称点，连接交轴与点，连接， 则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， 此时的周长取最小值， ∵， ∴， ∴的周长取最小值为． 故答案为：． 三、解答题．（本大题共8个小题，共72分，第17－18题每题6分，第19－20题每题8分，第21－22题每题10分，第23－24题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算进行化简，再代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 19. 计算： （1）解方程：． （2）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】（1）； （2），9． 【解析】 【分析】（1）去分母解整式方程，求出解检验即可； （2）分别求出每个不等式的解集得到不等式组的解集，即可求出整数解 【小问1详解】 解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为． 【小问2详解】 解： 解不等式①，； 解不等式②， 此不等式组的解集为， 整数解为： 整数解的和：． 20. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校分别从九年级（1）班和（2）班中各随机抽取20名学生进行了知识竞赛．共20题，答对一题得5分，满分100分，成绩达到95分及以上为优秀（包括95分）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析． 九（1）班和九（2）班所抽取学生竞赛成绩统计表 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率 九（1）班 89.5 85 九（2）班 89.5 90 根据以上信息，回答下列问题． （1）请补全条形统计图； （2）填空：______，______； （3）结合以上数据，请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（至少写两条）． 【答案】（1） 补全条形图如下： （2）， （3） 解：从平均数来看，两个班的成绩一样； 从中位数来看， ，则九（1）班的成绩没有九（2）班的成绩好； 从众数来看， ，则九（1）班的成绩没有九（2）班的成绩好； 从优秀率来看， ，则九（2）班的成绩没有九（1）班的成绩好．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了统计的知识，熟练掌握中位数、众数、平均数的意义是解答本题的关键． （1）利用九（1）班的优秀率求出九（1）班成绩优秀的人数为人，进而可求出成绩为分的人数，再用总人数减去成绩为分，分，分，分的人数，即可得到成绩为分的人数，即可补全条形图； （2）利用中位数和总数的定义即可解答； （3）根据平均数，中位数，众数和优秀率即可解答． 【小问1详解】 解：九（1）班成绩优秀的人数为（人）， 则成绩为分的人数为（人）， ∴成绩为分的人数为（人） 【小问2详解】 解：九（1）班成绩从小到大排列，成绩为第名和第名的成绩分别为分，分， 则中位数， 九（2）班成绩中，分所占比例最高，即成绩为分的人数最多， 故众数， 故答案为：，； 【小问3详解】 略 21. 如图，内接于，，的切线与延长线交于点 D， 点E 是上一点，， 连接并延长交于点 F． （1）求证：是 的切线； （2）若， 求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据同弧的圆心角是圆周角2倍可知，根据切线的性质可知，进一步求得四边形为正方形，因此，即可得证； （2）由四边形为正方形可知，因此可得，，由题意，求得，由勾股定理得：，根据即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得： ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米． （1）填空：______； （2）点处到水平地面的距离为______米； （3）求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：） 【答案】（1） （2）13 （3）通讯塔的高度米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）根据在处测得塔顶的仰角为可得； （2）作，由题意得，据此即可求解； （3）作于点，作于点，设，则，，分别求出即可求解． 【小问1详解】 解：∵在处测得塔顶的仰角为， ∴； 【小问2详解】 解：作，如图所示： ∵ ∴ ∴ ∵米 ∴米； 【小问3详解】 解：作于点，作于点， ，即， 则米， 米， 设，则，， 由题意知， ， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ，米， 米， 米， 米， 答：通讯塔的高度米． 23. 如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． （1）直接写出的度数为_______ °； （2）连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； （3）在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 【答案】（1）45 （2）①是定值，；② （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）先证明，可得四点共圆，再由圆周角定理即可得结论； （2）①连接，先证明，再由相似三角形的性质可得结论；②过点E作，先证明点三点共线，可得，再由等腰三角形性质可得，再证是等腰直角三角形，设，则，可列出方程，再求解即可； （3）过点H作，延长交于点N，设，先证明，可得，即可求得，，由，可列出函数关系式 ，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 四边形是正方形， ， ，绕点B顺时针旋转交边于点F， ，， ， 四点共圆， ， 故答案为：45； 【小问2详解】 ①的比值是定值， 如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ②如图，过点E作， ， ， ， ， 由（1）得，且， 点三点共线， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 解得：， ； 【小问3详解】 如图，过点H作，延长交于点N， 设， 可得四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 当时，有最大值，为． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形结合问题、全等三角形的判定及性质，旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理，添加辅助线，用二次函数解决最值问题是解决问题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线AP与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，在新抛物线上存在一点T，使得．请直接写出新抛物线的函数表达式及点T的坐标． 【答案】（1） （2）， （3），或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线，经过点，，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）过点P作交直线于点Q．设点，则点．根据平行线证明，列出比例式解答即可． （3）设平移的距离为n个单位长度，得到，待定系数法求出函数解析式，证明，设点，分点在轴上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，经过点，， ∴， 解得 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作交直线于点Q． 设点，则点． ∵直线与轴交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ． ∵，且， ∴时，的值最大，最大值为． 把代入，得． ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：∵直线与轴交于点D，与轴交于点E， ∴， ∴， ∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度， 由， ∴设，把点代入得：， 解得（舍去）或， ∴， 令，， 解得或， 故点， ∵，， ∴， 设点， 当在轴上方时，过点T作于点G，则：， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 当在轴下方时，同理可得， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上，点T的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，抛物线的平移，熟练掌握待定系数法，相似的应用，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期中练习题九年级数学 一、选择题．（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一家鞋店在某种运动鞋进货的过程中，商家关注的是卖出的这种运动鞋尺码组成的一组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解___________ 12. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 13. 若向如图的正方形游戏板投掷一次飞镖，掷向每一点的机会都均等，飞镖落在阴影部分的概率是______． 14. 如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为______°． 15. 如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 16. 如下图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是______． 三、解答题．（本大题共8个小题，共72分，第17－18题每题6分，第19－20题每题8分，第21－22题每题10分，第23－24题每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 计算： （1）解方程：． （2）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 20. 2025年9月3日，中国举行了举世瞩目的“九三大阅兵”活动．为掌握同学们对阅兵活动相关知识的了解情况，某校分别从九年级（1）班和（2）班中各随机抽取20名学生进行了知识竞赛．共20题，答对一题得5分，满分100分，成绩达到95分及以上为优秀（包括95分）．该校数学兴趣小组对调查结果进行了整理、描述和分析． 九（1）班和九（2）班所抽取学生竞赛成绩统计表 班级 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 优秀率 九（1）班 89.5 85 九（2）班 89.5 90 根据以上信息，回答下列问题． （1）请补全条形统计图； （2）填空：______，______； （3）结合以上数据，请你从不同角度对这次竞赛成绩的结果进行分析（至少写两条）． 21. 如图，内接于，，的切线与延长线交于点 D， 点E 是上一点，， 连接并延长交于点 F． （1）求证：是 的切线； （2）若， 求的长． 22. 如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米． （1）填空：______； （2）点处到水平地面的距离为______米； （3）求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：） 23. 如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． （1）直接写出的度数为_______ °； （2）连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； （3）在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设射线AP与直线交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，在新抛物线上存在一点T，使得．请直接写出新抛物线的函数表达式及点T的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $