第9章复数单元测试 （拨尖卷）-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第9章复数单元测试（拔尖卷） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. （24-25上师大附中高一下期末）若复数满足，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，结合复数运算可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 2. （24-25控江中学高一下期末）若复数（i为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】本题可先对复数进行化简，再根据共轭复数的定义求出. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 3．是虚数单位，若，则　　． 【分析】根据复数的模即可求出． 【解答】解：， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的模的运算，属于基础题． 4. （24-25浦东新区高一下期末检测）在复数范围内分解因式______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 5. （24-25浦东新区高一下期末检测）设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 6. （24-25金山中学高一下期末）若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法和模的公式即可求解. 【详解】由，得，故. 故答案为： 7. （24-25静安区高一下期末）若z是虚数，且，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】先设出复数，再利用复数的有关计算得出结果. 【详解】设且不等于零， 则， 故或（舍），所以，解得，故或， 故答案为：或 8. （24-25金山中学高一下期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知复数是关于的方程（）的一个根，若，则，则 . 【答案】1 【分析】根据已知条件，设出，结合复数模公式，求出，再结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解. 【详解】因为，可设，， 因为，所以，解得，所以， 又因为是关于的方程（）的一个根， 可知另一个根为， 则，解得，，所以. 故答案为：1. 10. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）如果复数满足，那么的最大值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心，以为半径的圆上，结合图形与圆的性质即可求解. 【详解】根据复数的几何意义可知， 满足的复数在复平面内对应的点在以为圆心， 以为半径的圆上， 的几何意义为圆上的动点 到的距离，如图： 当 三点共线时，且在圆心的两侧时，距离最大， 最大距离为， 故答案为： 11. 关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】解出方程，可得其对应的点，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】因为的解为 ， 设所对应的两点分别为， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为,,， 当，即时，因为关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当，即或时， 此时,,，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：, 故答案为：. 12．（2023春•虹口区校级期末）设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 　　． 【分析】根据题意可得，集合在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分． 【解答】解：设． 由，，可知，即，即． 因为，，，所以， 则可化为，解得． 即集合在复平面内表示的图形为圆及其内部， 集合在复平面内表示的图形为直线的左侧， 集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线， 如图所示： 所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分， 弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径， 则扇形的面积，， 所以弓形的面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数几何意义，属于难题． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. （24-25静安区高一下期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（  ） A. 2，0，2； B. 2，0，2； C. 1+，0，1+； D. 2，2，0，2，2. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的乘方的周期性，分类讨论求解即可. 【详解】由的乘方的周期性， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，（为虚数单位）的所有可能值为， 故选：A 14. （24-25华师大二附中高一下期中）下列说法错误的是（ ） A. 已知复数，若，则 B. 已知复数，若，则 C. 若，则与共线 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据复数相等，得到两个复数实部与虚部的关系，即可判断A，设，计算出，即可判断B；设的夹角为，根据向量数量积的计算公式，由，推出或，即可判断C；根据即可判断D. 【详解】对于A，设，，,则，. 若，即，则有，所以，故A正确； 对于B，设，则， 但是， ，故B错误； 对于C，设的夹角为，因为，若， 则，即或，所以与共线，故C正确； 对于D，因为，若，则，故D正确. 故选：B 15. （24-25上师大附中高一下期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（ ） A B. C. D. 无法判定 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 16. （24-25上海交大附属中学高一下期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （24-25华师大二附中高一下期中）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法化简，再由复数的类型求解即可； （2）根据复数的除法化简，再由复数对应点所在象限列出不等式组求解. 【小问1详解】 为纯虚数，，解得， 故，则． 【小问2详解】 ， ， 复数对应的点在第二象限， ，解得， 故实数a的取值范围为． 18. 已知关于的实系数一元二次方程. （1）若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； （2）若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用方程根的定义列式，再利用复数为0求得答案. （2）求出方程的两个虚根，再利用复数模的意义求解. 【小问1详解】 由是的一个根，得， 整理得，而，则， 所以. 【小问2详解】 依题意，设， 由，得，即， 又，所以，则， 代入，得， 根据韦达定理，， 当时，；当时，，都满足， 所以. 19. 已知是虚数单位，设，． （1）已知，且，求的值； （2）求证：． 【答案】（1）或 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，再分及代入计算即可得解； （2）设，再分及验证是否恒成立即可得. 【小问1详解】 设， 若，则， 故， 即，，即； 若，则， 故， 即，，即； 综上所述，或； 【小问2详解】 设， 若，则，， 则， ，故； 若，则，， ， ，故； 故恒成立，即得证. 20.（24-25高一下·上海·期中）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【答案】(1)， (2) (3)，此时 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数综合 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）设，即可得到，从而确定集合在复平面上对应的区域，即可求出相应的面积； （3）设，即可得到，确定在复平面的轨迹，即可求出的最大值以及此时的. 【详解】（1）因为，， 所以，； （2）设，则， 所以，， 由且，即，即， 所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分）， 所以集合在复平面上对应的区域的面积. （3）设，则， 又，即， 所以当时，当时，当时， 当时， 所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示： 其中，，，， 所以当时取得最大值，且，此时 21．（2022春•闵行区校级期末）对于任意的复数，定义运算． （1）集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据所给的复数的条件，写出复数的实部和虚部满足的条件，根据要求是整数，列举出所有的情况，得到要求的集合，用列举法表示出集合． （2）表示出，根据它是一个纯虚数，得到实部和虚部与0的关系，得到关于三角函数的关系式，得到，之间的关系，表示出复数的模长，根据二次函数求出最值． （3）写出对应点坐标为，，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数． 【解答】解：（1） 由于，，得 ，，， ，． （2）若，则 若为纯虚数，则，， ， 当或时，． （3）对应点坐标为， 由题意，得 ，， ①当，时，得不成立； ②当，时，得，成立， 此时或， 故满足条件的整点为和． 【点评】本题考查复数的概念和模长的运算，本题解题的关键是根据所给的条件，表示出复数的意义，本题与其他的知识点结合，是一个综合题目． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第9章复数单元测试（拔尖卷） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. （24-25上师大附中高一下期末）若复数满足，则_____ 2. （24-25控江中学高一下期末）若复数（i为虚数单位），则______. 3．是虚数单位，若，则　　． 4. （24-25浦东新区高一下期末检测）在复数范围内分解因式______． 5. （24-25浦东新区高一下期末检测）设，则______． 6. （24-25金山中学高一下期末）若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 7. （24-25静安区高一下期末）若z是虚数，且，则___________. 8. （24-25金山中学高一下期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 9．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知复数是关于的方程（）的一个根，若，则，则 . 10. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）如果复数满足，那么的最大值是______. 11. 关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______. 12．（2023春•虹口区校级期末）设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 　　． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. （24-25静安区高一下期末）当n取正整数时，计算（为虚数单位）的所有可能值，下列选项结果正确的是（  ） A. 2，0，2； B. 2，0，2； C. 1+，0，1+； D. 2，2，0，2，2. 14. （24-25华师大二附中高一下期中）下列说法错误的是（ ） A. 已知复数，若，则 B. 已知复数，若，则 C. 若，则与共线 D. 若，则 15. （24-25上师大附中高一下期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（ ） A B. C. D. 无法判定 16. （24-25上海交大附属中学高一下期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个锐角为的直角三角形 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （24-25华师大二附中高一下期中）已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 18. 已知关于的实系数一元二次方程. （1）若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； （2）若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 19. 已知是虚数单位，设，． （1）已知，且，求的值； （2）求证：． 20.（24-25高一下·上海·期中）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 21．（2022春•闵行区校级期末）对于任意的复数，定义运算． （1）集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $