第9章 复数（单元自测·提升卷）数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第9章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．对于复数（是虚数单位），则 . 2．i为虚数单位，（），则 . 3．若复数满足：，则 . 4．已知复数满足，则= ． 5．若关于的方程的一个根为，则实数的值为 . 6．已知为虚数单位，则 ． 7．如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是 ． 8．使不等式（为虚数单位）成立的实数 . 9.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数的共轭复数是 . 10．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ； 11．已知i为虚数单位，若，则的取值范围为 . 12．已知复数，集合所构成区域的面积是 . 二、填空题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 14．复数z满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 15．设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（    ）． A．若，则 B． C．若，则 D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 18．（本小题满分14分）已知，复数（其中i为虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围； (2)设，若复数是实系数一元二次方程的根，求的值． 19．（本小题满分14分）设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 20．（本小题满分18分）已知复数，（，为虚数单位）. (1)若，且，求与的值； (2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 21．（本小题满分18分）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第9章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．对于复数（是虚数单位），则 . 2．i为虚数单位，（），则 . 3．若复数满足：，则 . 4．已知复数满足，则= ． 5．若关于的方程的一个根为，则实数的值为 . 6．已知为虚数单位，则 ． 7．如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是 ． 8．使不等式（为虚数单位）成立的实数 . 9.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数的共轭复数是 . 10．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ； 11．已知i为虚数单位，若，则的取值范围为 . 12．已知复数，集合所构成区域的面积是 . 二、填空题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 14．复数z满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 15．设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（    ）． A．若，则 B． C．若，则 D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 18．（本小题满分14分）已知，复数（其中i为虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围； (2)设，若复数是实系数一元二次方程的根，求的值． 19．（本小题满分14分）设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 20．（本小题满分18分）已知复数，（，为虚数单位）. (1)若，且，求与的值； (2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 21．（本小题满分18分）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第9章 复数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．对于复数（是虚数单位），则 . 【答案】1 【解析】因为复数，所以， 2．i为虚数单位，（），则 . 【答案】 【解析】由，所以，所以，即， 3．若复数满足：，则 . 【答案】 【解析】由得，，则. 4．已知复数满足，则= ． 【答案】 【解析】由，得， 即：.所以 5．若关于的方程的一个根为，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为是关于的方程的一个根，所以另一个根为， 故. 6．已知为虚数单位，则 ． 【答案】 【解析】由虚数的性质，可得，可得. 7．如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是 ． 【答案】/ 【解析】复平面上的向量所对应的复数是， 那么向量，所以向量所对应的复数是. 8．使不等式（为虚数单位）成立的实数 . 【答案】1 【解析】由，易知，解得或， 又时，成立；时，，与矛盾； 9.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数的共轭复数是 . 【答案】 【解析】由在复平面内，复数对应的向量分别是， 得，，∴复数的共轭复数是. 10．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集合为 ； 【答案】. 【解析】因为复数在复平面内的对应点在第三象限， 则，所以，则x的取值集合为； 11．已知i为虚数单位，若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得复数z在复平面内对应点Z的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 是点Z到定点的距离， 而，所以圆C外， ，所以的取值范围为， 12．已知复数，集合所构成区域的面积是 . 【答案】 【解析】设，已知可得， 即点在以原点为圆心，为半径的圆上，如图圆2. 设，，， 表示点两点之间的距离为2. 则集合所表示的图形是以点为圆心，6为半径的圆的大圆3和以点为圆心，2为半径的小圆1之间的圆环部分. 其面积为： 集合所构成区域的面积是.    二、填空题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13．如果两个复数的实部互为相反数，虚部相等，那么这两个复数互为“共胚复数”.已知与互为“共胚复数”.其中为虚数单位，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．3 【答案】B 【解析】，依题意，，解得， 所以.故选：B 14．复数z满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】D 【解析】由得. 所以 ，所以A选项错误. ，所以B选项错误. 对应点为，在第三象限，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：D 15．设复数（其中，为虚数单位），则“”是“z为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因，则， 而“为实数”即，故“”是“z为实数”的充要条件. 故选：C. 16．已知复数，以下关于复数运算性质的表述，正确的是（    ）． A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】B 【解析】对于AD，若， 此时，则，，故AD错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为得， 题目未限定，使用无法推出，故C错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 【解】（1）复数为实数，则， 所以或. （2）复数为纯虚数，则， 所以. （3）复数对应点在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围是. 18．（本小题满分14分）已知，复数（其中i为虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围； (2)设，若复数是实系数一元二次方程的根，求的值． 【解】（1）． ∵在复平面内对应的点落在第二象限， ∴，解得：． ∴实数的取值范围是； （2）∵虚数是实系数一元二次方程的根，． ∴也是实系数一元二次方程的根， ∴，可得. ∴的值为45. 19．（本小题满分14分）设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 【解】（1）因为复数、、、、， 则， 在复平面上分别作出这些复数所对应的点，如图所示： （2）因为复数、、、、， 则复数、、、、， 这些复数所对应的点分别为， 这些复数的共轭复数所对应的向量分别为， 在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量，如图所示： 20．（本小题满分18分）已知复数，（，为虚数单位）. (1)若，且，求与的值； (2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间. 【解】（1）若，且， 则， ，解得或. （2）由题得， 若，且，则， 即， 所以函数的最小正周期为； 令， 所以函数的严格减区间为. 21．（本小题满分18分）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【解】（1）因为，， 所以，； （2）设，则， 所以，， 由且，即，即， 所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分）， 所以集合在复平面上对应的区域的面积. （3）设，则， 又，即， 所以当时，当时，当时， 当时， 所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示： 其中，，，， 所以当时取得最大值，且，此时 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第9章 复数·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共12小题，第1~~6题，每题4分，第7~~12题，每题5分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．1 2．0 3． 4． 5．9 6． 7． 8．1 9． 10． 11． 12． 二、选择题（本大题共4小题，第13~~14题，每题4分，第15~~16题，每题5分，共18分.把答案填在题中横线上） 13 14 15 16 B D C B 三、解答题（本大题共5小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分14分） 【解】（1）复数为实数，则， 所以或. （2）复数为纯虚数，则， 所以. （3）复数对应点在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围是. 18．（本小题满分14分） 【解】（1）． ∵在复平面内对应的点落在第二象限， ∴，解得：． ∴实数的取值范围是； （2）∵虚数是实系数一元二次方程的根，． ∴也是实系数一元二次方程的根， ∴，可得. ∴的值为45. 19．（本小题满分14分） 【解】（1）因为复数、、、、， 则， 在复平面上分别作出这些复数所对应的点，如图所示： （2）因为复数、、、、， 则复数、、、、， 这些复数所对应的点分别为， 这些复数的共轭复数所对应的向量分别为， 在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量，如图所示： 20．（本小题满分18分） 【解】（1）若，且， 则， ，解得或. （2）由题得， 若，且，则， 即， 所以函数的最小正周期为； 令， 所以函数的严格减区间为. 21．（本小题满分18分） 【解】（1）因为，， 所以，； （2）设，则， 所以，， 由且，即，即， 所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分）， 所以集合在复平面上对应的区域的面积. （3）设，则， 又，即， 所以当时，当时，当时， 当时， 所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示： 其中，，，， 所以当时取得最大值，且，此时 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $