第9章复数单元测试 （提高卷）-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第9章复数单元测试（提高卷） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. （24-25浦东新区高一下期末检测）设，则______． 2. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知为虚数单位，则________． 3. （24-25浦东新区高一下期末检测）计算______． 4. （24-25黄浦区高一下期末）若（为虚数单位），则______． 5. （24-25浦东新区高一下期末检测）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 6. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）若为纯虚数（为虚数单位），，则__________． 7. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 8. （24-25上海复旦附中高一下期末）已知是虚数单位，复数满足，则__________． 9. （24-25晋元高级中学高一下期末）若复数满足，则_____． 10.（24-25华师大二附中高一下期中） 已知方程的两个虚根为、，且，则实数_____． 11. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知复数满足，则的最小值为________． 12. （24-25上师大附中高一下期末）若复数满足，则的最小值是_____ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.（24-25复兴高级中学高一下期末） 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 已知，是复数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. （24-25金山中学高一下期末）设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 16. （24-25浦东新区高一下期末检测）设，则下面四个命题中，正确的是（ ） A. 一定是纯虚数 B. 若，则 C. D. 若，则是纯虚数． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （24-25浦东新区高一下期末检测）已知复数， （1）当是虚数时，求的值； （2）当对应的点在第四象限时，求的取值范围． 18. （24-25金山中学高一下期末）已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第一象限，求的取值范围． 19. （24-25黄浦区高一下期末）已知关于x的方程． （1）若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； （2）已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 20．（24-25高一下闵行期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 21．（24-25黄浦区高一下期末）O为坐标原点，，均大于0，复数，在复平面内对应的点分别为A，B，对应的向量分别为，，若把向量绕点O按逆时针方向旋转角（若，按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数就是积. (1)若对应复数，绕点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数； (2)若复数对应的点为C，是等边三角形； （ⅰ）求； （ⅱ）若的顶点均在正方形边上，点E，F，G的坐标依次为，，，求面积的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第9章复数单元测试（提高卷） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. （24-25浦东新区高一下期末检测）设，则______． 【答案】 【分析】根据复数的概念可直接求出. 【详解】，， 故答案为：. 2. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知为虚数单位，则________． 【答案】 【分析】根据虚数的性质，准确计算，即可求解. 【详解】由虚数的性质，可得， 可得. 故答案为： 3. （24-25浦东新区高一下期末检测）计算______． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算及乘法运算求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：. 4. （24-25黄浦区高一下期末）若（为虚数单位），则______． 【答案】## 【分析】根据复数的除法运算计算即可. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 5. （24-25浦东新区高一下期末检测）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 6. （24-25上师大附属虹口中学高一下期末）若为纯虚数（为虚数单位），，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题可知，复数的实部为0，虚部不为0，求出实数即可，然后再求复数的模． 【详解】解：若复数满足为虚数单位）为纯虚数，其中， 则，解得：则，得， 所以． 故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的模以及对纯虚数的定义的理解． 7. （24-25南洋模范中学高一下期末）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 8. （24-25上海复旦附中高一下期末）已知是虚数单位，复数满足，则__________． 【答案】. 【解析】 【详解】∵ ∴ ∴ 故答案为 9. （24-25晋元高级中学高一下期末）若复数满足，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】首先设复数，再代入复数模的运算公式，即可求解. 【详解】设，，则，， 即，则，得， 即，解得：或， 所以或. 故答案为：0或 10.（24-25华师大二附中高一下期中） 已知方程的两个虚根为、，且，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】由于方程为实系数方程，故，互为共轭复数，根据，可得，进而结合韦达定理，构造关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意，，互为共轭虚根， 则，， ， 由，得，， 因为时，，不合题意，所以． 故答案为：． 11. （24-25复兴高级中学高一下期末）已知复数满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，复数在以为圆心，半径的圆上，又由表示复数在复平面内对应的点到点的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由复数的几何意义得，满足的复数在以为圆心，半径的圆上， 又由表示复数在复平面内对应的点到点的距离， 如图所示，可得， 所以的最小值为. 故答案为：. 12. （24-25上师大附中高一下期末）若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【解析】 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.（24-25复兴高级中学高一下期末） 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数几何意义直接判断. 【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A 14. 已知，是复数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的性质及充分条件、必要条件求解即可． 【详解】当时，，此时， 当，若，则成立，同理也成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 15. （24-25金山中学高一下期末）设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设圆心为点，分析得出，再由平面向量的减法与数量积的运算性质得出，再利用与同向时可求得的最大值. 【详解】设圆心为点，则，，，则， . 当且仅当与方向相同时，等号成立，因此，的最大值为. 故选：C. 16. （24-25浦东新区高一下期末检测）设，则下面四个命题中，正确的是（ ） A. 一定是纯虚数 B. 若，则 C. D. 若，则是纯虚数． 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断. 【详解】对于选项A： 设，则， 所以， 当时，，所以不一定是纯虚数.所以A错误. 对于选项B： 设，为实数， 所以. 则，令， 则，符合题意，但是.所以B错误. 对于选项C ： 设，,则， 若，则，此时； 若，则，所以成立，所以C正确. 对于选项D： 设，,则， 若，则，所以. 则，当时为纯虚数，当时，为实数，所以D错误. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （24-25浦东新区高一下期末检测）已知复数， （1）当是虚数时，求的值； （2）当对应的点在第四象限时，求的取值范围． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数类型为虚数得到不等式，从而求解； （2）根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知：是虚数，则，解得：且， 所以实数的取值范围且 【小问2详解】 因为所对应的点在第四象限，则， 解得：或， 所以实数的取值范围是. 18. （24-25金山中学高一下期末）已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值； （2）根据条件得出该复数的实部和虚部都为正数，则可得出关于实数的不等式组，进而求解即可． 【小问1详解】 由复数纯虚数，得，解得. 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得， 即的取值范围为． 19. （24-25黄浦区高一下期末）已知关于x的方程． （1）若（为虚数单位）是该方程的一个根，求b与c的值； （2）已知是该方程的两个复数根，且，若，求b的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解； （2）讨论两根是实数、虚数两种情况，当两根为虚数时，设，则，再根据韦达定理结合复数的模的计算公式求解即可. 【小问1详解】 因为是方程的一个根， 所以也是方程的一个根， 则，解得； 【小问2详解】 当都是实数时，则， 故， 又因为， 所以，解得或， 经检验，当时，不符题意，所以； 当都是虚数时，设，则， 则， 所以，所以， 又，则，解得， 经检验，不符合题意，所以. 综上所述，或. 20．（24-25高一下闵行期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 【解析】（1）因为，则， 所以， 又为纯虚数，所以，解得； （2）， 所以 （3）因为，即，所以对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆 表示对应的点到点的距离 又因为圆心到的距离为， 所以最小值为 21．（24-25黄浦区高一下期末）O为坐标原点，，均大于0，复数，在复平面内对应的点分别为A，B，对应的向量分别为，，若把向量绕点O按逆时针方向旋转角（若，按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数就是积. (1)若对应复数，绕点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数； (2)若复数对应的点为C，是等边三角形； （ⅰ）求； （ⅱ）若的顶点均在正方形边上，点E，F，G的坐标依次为，，，求面积的最小值. 【解】（1）由题意得， 所以对应的复数为； （2）（i）因为是等边三角形，所以不妨设①， 所以； ①， 所以； 所以； （ii）如图所示，的顶点不可能是正方形的顶点，否则与是等边三角形矛盾， 不妨设， 所以， 由图可知， 等号成立当且仅当，即当且仅当， 所以面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $