精品解析：四川省成都市七中育才学校华兴分校2026年春2025级七下半期数学定时练习试卷

2026年春四川成都七中育才华兴分校2025级七下半期数学 定时练习试卷 A卷100分 一、选择题 每题4分，共32分 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A. 2cm，3cm，5cm B. 3cm，3cm，6cm C. 2cm，5cm，8cm D. 4cm，5cm，6cm 2. 已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示28纳米是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个角的度数为，那么它的余角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线的是（　　） A. B. C. D. 6. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 7. 用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）．作图步骤如下： ①作射线； ②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点N，M； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P．下列排序正确的是（　　） A. ④③②① B. ④③①② C. ②③④① D. ②④③① 8. 下列说法： ①不相交的两条直线叫做平行线； ②若与是内错角，且，则； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④在同一平面内，如果，，那么； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑦在同一平面内，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交； ⑧若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直； ⑨若两个角的两边分别平行，则这两个角相等． 其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 每题4分，共20分 9. _______． 10. 下列事件中，是必然事件的是_______ ①掷一枚硬币，正面朝上；②任意买一张电影票，座位号是单号；③三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分；④射击运动员射击一次，命中靶心 11. 一个等腰三角形的两条边长分别为和，则第三边的长为____________． 12. 一个角的补角比它的余角的3倍多30°，这个角的度数是_______． 13. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频率表：估计该麦种10000粒的发芽数是______粒． 试验种子数（粒） 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频率 0.82 0.852 0.849 0.851 0.85 0.85 三、解答题 48分，其中16题8分，其他每题10分 14. 计算 （1）； （2） （3）（用简便方法计算）； （4）； （5） 15. 的三边长分别为a，b，c． （1）化简； （2）若为整数，c为整数，且满足，求的周长． 16. 完成下面的证明过程并在括号内填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为H，F，． 求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（________）． ∴（________________）． ∴________（________）． 又（已知）， ∴________（________）． ∴（________）． ∴（________）． 17. 盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球的个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 18. 【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为 　　． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． B卷 50分 一、填空题 每题4分，共20分 19. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_____ 20. 已知，，则多项式的值是__________． 21. 已知的展开式中不含x项，项的系数为，则的值为______． 22. 如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次澡作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若度，则________度． 23. 已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为______；最小值为______． 二、解答题 每题10分共30分 24. 对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化成对数式，对数式可以转化成指数式，根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，，则，，∴，由对数的定义得；而，∴，认真阅读理解上述材料，解决以下问题： （1）填空： ①将指数式转化成对数式为________； ②将对数式转化成指数式为________； ③计算：________； （2）试说明： （3）计算：． 25. 学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目． （1）若为等腰直角三角形，且； ①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么　 　度； ②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程； （2）若为等腰三角形，已知． 丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程． 26. 已知：，，E，G是上的点，F，H是上的点． （1）如图①，求证：； （2）如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； （3）如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春四川成都七中育才华兴分校2025级七下半期数学 定时练习试卷 A卷100分 一、选择题 每题4分，共32分 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A. 2cm，3cm，5cm B. 3cm，3cm，6cm C. 2cm，5cm，8cm D. 4cm，5cm，6cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可． 【详解】解：A、2＋3＝5，不能构成三角形； B、3＋3＝6，不能构成三角形； C、2＋5＜8，不能构成三角形； D、4＋5＞6，能构成三角形． 故选：D． 【点睛】考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 2. 已知长度单位1纳米米，用科学记数法表示28纳米是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：纳米米米． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 4. 如果一个角的度数为，那么它的余角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“和为90度的两个角互为余角，1°=；=”进行计算即可． 【详解】依题意得：， 的余角的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了余角，度分秒的换算，此题属于基础题，比较简单，解题关键是记住互为余角的两个角的和为90度． 5. 如图，直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的三个判定方法是解题的关键；根据平行线的判定方法进行判定即可完成． 【详解】解：由，不能判定， 故A不符合题意； ， ∴， 故B不符合题意； ， ， 故C符合题意； ， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 6. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 7. 用尺规过的边上一点C（图①）作（图②）．作图步骤如下： ①作射线； ②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点N，M； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P．下列排序正确的是（　　） A. ④③②① B. ④③①② C. ②③④① D. ②④③① 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是简单的尺规作图，直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序．本题的解题关键是掌握“尺规作图：画一个角等于已知角” 【详解】解：正确的排序为：②以点O为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点N，M； ④以点C为圆心，的长为半径作弧，交于点P； ③以点P为圆心，的长为半径作弧，交上一段弧于点Q． ①作射线； 故选：D． 8. 下列说法： ①不相交的两条直线叫做平行线； ②若与是内错角，且，则； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④在同一平面内，如果，，那么； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑦在同一平面内，如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交； ⑧若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直； ⑨若两个角的两边分别平行，则这两个角相等． 其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【详解】解：①平行线的定义要求“在同一平面内”，故①错误． ②只有两直线平行时，内错角才相等，原命题未说明两直线平行，无法推出，故②错误． ③“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的前提是在同一平面内，故③错误． ④在同一平面内，，，，故④正确． ⑤点到直线的距离是“直线外一点到这条直线的垂线段的长度”，故⑤错误． ⑥应为“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，若点在已知直线上，无法作出平行线，故⑥错误． ⑦同一平面内，与相交，与相交，与可以平行，故不一定相交，⑦错误． ⑧两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的和为，两个角的一半和为，因此两条角平分线互相垂直，故⑧正确． ⑨若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故⑨错误． 综上，正确的共2个． 二、填空题 每题4分，共20分 9. _______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是利用积的乘方公式进行简便运算．先将转化为，再写成以为底的幂，最后利用幂的运算性质化简． 【详解】解： ． 10. 下列事件中，是必然事件的是_______ ①掷一枚硬币，正面朝上；②任意买一张电影票，座位号是单号；③三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分；④射击运动员射击一次，命中靶心 【答案】③ 【解析】 【分析】根据事件的分类和定义逐一判断即可． 【详解】解：①掷一枚硬币，正面朝上，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求； ②任意买一张电影票，座位号是单号，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求； ③三角形一边上的中线，把这个三角形分割成面积相等的两部分，分成的两个三角形等底同高，面积一定相等，是必然事件，符合要求； ④射击运动员射击一次，命中靶心，可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求． 11. 一个等腰三角形的两条边长分别为和，则第三边的长为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键． 【详解】解：①若一腰长为，则底边为，则第三边的长为， ，故能组成三角形； ②若一腰长为，则底边为，则第三边的长为， ，故不能组成三角形． 故答案为：8． 12. 一个角的补角比它的余角的3倍多30°，这个角的度数是_______． 【答案】60° 【解析】 【分析】设这个角为x，则补角为（180°-x），余角为（90°-x），再由补角比它的余角的3倍多30°，可得方程，解出即可． 【详解】解：设这个角为x，则补角为（180°-x），余角为（90°-x）， 由题意得，180°-x=3（90°-x）+30°， 解得：x=60． 即这个角的度数是60°． 故答案为60°． 【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°． 13. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频率表：估计该麦种10000粒的发芽数是______粒． 试验种子数（粒） 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频率 0.82 0.852 0.849 0.851 0.85 0.85 【答案】8500 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据图表中数据估计种子发芽的概率为0.95，进而估计该麦种10000粒的发芽数． 【详解】解：利用图表中数据可得估计种子发芽的概率为0.85， （粒）， 估计该麦种10000粒的发芽数是8500粒． 故答案为：8500． 三、解答题 48分，其中16题8分，其他每题10分 14. 计算 （1）； （2） （3）（用简便方法计算）； （4）； （5） 【答案】（1） （2）2 （3）4 （4） （5） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式，单项式除以单项式的计算法则求解即可； （2）先计算零指数幂和负整数指数幂，再根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可； （3）把变形为，再根据平方差公式求解即可； （4）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可； （5）根据平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ； 【小问5详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，乘法公式，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 15. 的三边长分别为a，b，c． （1）化简； （2）若为整数，c为整数，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系应用，化简绝对值，整式的加减运算，方程组的解法，灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形三边关系可判断出，，，再化简绝对值即可； （2）根据为整数，为整数，a，b，c为的三边长，得出， 即，根据，或或，得出或或，然后分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵为整数，为整数，a，b，c为的三边长， ∴， ∴， ∵，或或， ∴或或， 当时，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 当时，不符合题意，舍去， ∴， 即， ∴的周长为． 16. 完成下面的证明过程并在括号内填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为H，F，． 求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（________）． ∴（________________）． ∴________（________）． 又（已知）， ∴________（________）． ∴（________）． ∴（________）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】利用垂直的定义以及平行线的判定和性质进行证明． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， ∴（同角的补角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 17. 盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球的个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 【答案】（1）不可能事件； （2）盒中黑球个数为7； （3）往盒中再加入4个红球． 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，随机事件的概率等知识点，熟知：概率所求情况数与总情况数之比，是解本题的关键． （1）根据“一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件”，据此解答即可； （2）设盒中黑球的个数为，列出方程并求解即可； （3）设往盒中再加入个红球，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：∵盒子中没有黄球， ∴不可能摸到黄球， ∴摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能事件； 【小问2详解】 设盒中黑球的个数为，则 解得． 答：盒中黑球个数为7； 【小问3详解】 设往盒中再加入个红球，则 解得． 答：往盒中再加入4个红球． 18. 【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为 　　． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）2；（2）的值为2.5；（3）20 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）设，， ， ， ， ， ， 的值为2.5； （3）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． B卷 50分 一、填空题 每题4分，共20分 19. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_____ 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式． 用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴落入黑色部分的概率是． ∴据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：12． 20. 已知，，则多项式的值是__________． 【答案】36 【解析】 【分析】)将已知两等式左右两边相减，即可求出所求式子的值． 【详解】∵m2-mn=21，mn-n2=-15， ∴m2-2mn+n2=(m2-mn)-(mn-n2)=21-(-15)=21+15=36， 故答案为：36. 【点睛】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型． 21. 已知的展开式中不含x项，项的系数为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项问题，先进行多项式乘以多项式的计算，再根据展开式中不含x项，项的系数为，得到，整体代入代数式计算即可． 【详解】解： ， 由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 22. 如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次澡作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若度，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作， ， ， ， ， ， 和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； ； 以此类推，， 当∠度时，等于度． 故答案为：． 23. 已知，，…，都是正整数，且，则的最大值为______；最小值为______． 【答案】 ①. ②. 78 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解二元一次方程，设的最大值为A，不妨设，由于，，则可推出取最大值时，，同理可得，则，据此可得最大值；设的最小值为B，不妨设，由于，且由，得，故可得当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是可得，则，，据此可得最小值． 【详解】解：设的最大值为A，不妨设， 若，则因，且， ∴用，，，…，代替，它们的和仍为46，但它们的平方和却增加了，这与已使取最大值矛盾，故． 同理，于是， ∴的最大值为； 设的最小值为B，不妨设， 对任意，有， 假设存在，使，因为，且由，得， 所以，用和分别代替和，其他的数不变，它们的和仍为46，但它们的平方和却减少了，这与已取得最小值矛盾． 于是，当取最小值时，中任何两数之差的绝对值不超过1，即至多取两种不同数值．设中有k个数等于，其余个数等于a，于是， ∴， ∵a为正整数，k为非负整数， ∴，， 所以，时，取最小值， ∴． 故答案为：318；78． 二、解答题 每题10分共30分 24. 对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化成对数式，对数式可以转化成指数式，根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，，则，，∴，由对数的定义得；而，∴，认真阅读理解上述材料，解决以下问题： （1）填空： ①将指数式转化成对数式为________； ②将对数式转化成指数式为________； ③计算：________； （2）试说明： （3）计算：． 【答案】（1） ①；②；③ （2） 设，，则，， ∴， 由对数的定义得；而， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）根据对数的定义进行求解即可； （3）利用题干和（2）中结论涉及的运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：①将指数式转化成对数式为； ②将对数式转化成指数式为； ③计算：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 25. 学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目． （1）若为等腰直角三角形，且； ①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么　 　度； ②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程； （2）若为等腰三角形，已知． 丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程． 【答案】（1）①105；②75° （2） 【解析】 【分析】（1）①根据三角形的内角和定理和外角的性质进行求解即可；②过点P作，利用平行线的判定和性质，进行求解即可； （2）利用等边对等角，平行线的性质，以及三角形的外角的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：105； ②∵， ∴， 如图2，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由②得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，平行线的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 26. 已知：，，E，G是上的点，F，H是上的点． （1）如图①，求证：； （2）如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； （3）如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）由题意得：，当时，运动停止．由得，然后分两种情况，根据角的和差列方程求解即可； （3）由题意设，则，根据角平分线和平行线的性质得到，则，则，过点作，则，由平行线的传递性可得，则，则，即可求解比值． 【小问1详解】 证明：如图①， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得：，当时，运动停止． 由得， ①当时，， 解得， ， ， ②当时，， 解得， ， ， 综上所述，的度数为或； 【小问3详解】 解：， 设，则， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $