第五章　图形的轴对称 习题课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第3课　 简单的轴对称图形(1) 数学　七年级下册 知识点1 等腰三角形的性质 1. 若等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的度数是 ( ) A. 50° B. 65°或50° C. 65° D. 80° C 数学　七年级下册 2. 如果一个等腰三角形的两边长分别为5，10，那么这个等腰三角形的周长为 ( ) A. 20 B. 25 C. 20或25 D. 不确定 B 数学　七年级下册 3. 在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，则BD＝___. 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，AD是△ABC的中线，E为边AC上的一点. 若AD＝AE，则∠AED的度数是_____. 5 80° 数学　七年级下册 知识点2 等边三角形的性质 5. 如图，△ABC为等边三角形，AD为边BC上的高，则∠BAD＝____. 30° 数学　七年级下册 6. 如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在边AC上，AE＝AD，则∠EDC＝ ( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° A 数学　七年级下册 7. 如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为_____. 80° 数学　七年级下册 8. 如图，BD是△ABC的角平分线，D是边AC上的一点，且满足BE＝DE，如果∠A＝40°，∠C＝110°，那么∠EDB＝____°. 15 数学　七年级下册 9. 如图，△ABC是等边三角形，点B，C，D，F在同一条直线上，CD＝CE，DF＝DG，则∠GFD＝____°. 15 数学　七年级下册 10. 已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9 cm和12 cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为______cm. 6或8 数学　七年级下册 11. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE. 求证：BD＝CE. 证明：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴HB＝HC. ∵AD＝AE，AH⊥DE， ∴HD＝HE. ∴HB－HD＝HC－HE， 即 BD＝CE. 数学　七年级下册 12. 在等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任意一点，F是腰AB上任意一点，若腰AC＝10，BD＝6，AD＝8，则BE＋EF的最小值是_____. 9. 6 数学　七年级下册 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助“三等分角仪”能三等分任意一角，如图，某三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动. 若∠BDE＝75°，请求出∠CDE的度数. 数学　七年级下册 解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE ＝∠DEC. ∵∠O＋∠ODC＋∠OCD＝180°， ∠DCE＋∠OCD＝180°， ∴∠DCE ＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC. 又∵∠O＋∠OED＋∠ODE＝180°， ∠BDE＋∠ODE＝180°，∠BDE＝75°， ∴∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°. ∴∠ODC＝25°. ∵∠CDE ＋∠ODC＝180°－∠BDE ＝105°， ∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°. 数学　七年级下册 14. 如图1，遮阳伞的伞柄垂直于地面，其示意图如图2所示. 当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开. 已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN. (1)求证：PC⊥MN且BM＝BN； 数学　七年级下册 ∴△CMP≌△CNP(SSS). ∴∠MPB＝∠NPB. ∵PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形. ∴PB⊥MN，BM＝BN，即PC⊥MN，BM＝BN. (1)证明：在△CMP和△CNP中， 数学　七年级下册 (2)若CN＝PN＝60 cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值. (2)解：当∠CPN＝60°时， ∵CN＝PN＝60 cm， ∴△CPN是等边三角形. ∴PC＝PN＝60 cm. ∵当伞收紧时，点P与点A重合， ∴AC＝CN＋PN＝120(cm). ∴AP＝AC－PC＝60(cm). 数学　七年级下册 $第五章　图形的轴对称 第1课　轴对称及其性质(1) 数学　七年级下册 知识点1 轴对称图形 1. 判断一个图形是轴对称图形的条件：存在一条直线，使这个图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够_________. 互相重合 数学　七年级下册 2. 下列图形中，为轴对称的图形的是 ( ) D 数学　七年级下册 3. 数学中有许多精美的曲线，下列各种曲线中，不是轴对称图形的是 ( ) 4. “线段、角、三角形、圆”这四种图形中，是轴对称图形的有___种. B 3 数学　七年级下册 知识点2 轴对称图形的有关概念 5. 如图，将一张纸沿直线l对折，用圆规针尖在纸上扎出一个“∑”符号，然后将纸打开后铺平. (1)图中是一个_______图形；(2)在扎出“∑”的过程中，点A与点____是对应点；线段BC与线段______是对应线段，则BC____B′C′；∠OAB与__________是对应角；(3)点O到直线l的距离___(填“＝”或“≠”) 点O′到直线l的距离. 轴对称 A′ B′C′ ＝ ∠O′A′B′ ＝ 数学　七年级下册 知识点3 轴对称图形的性质 6. 轴对称图形的对应_____相等，对应___相等，对应点所连的线段被对称轴__________. 7. 如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝6，则图中阴影部分的面积是___. 线段 角 垂直平分 9 数学　七年级下册 8. 如图，四边形ABCD是轴对称图形，对称轴是直线AC，若∠BAD＝116°，则∠BAC＝____°. 58 数学　七年级下册 9. 如图，五边形ABCDE是轴对称图形，直线l是它的对称轴，已知四边形ABCO的周长为11，OA＝4，则五边形ABCDE的周长为____. 14 数学　七年级下册 10. 由光的反射定律可知，入射光线与反射光线关于法线对称(如图1). 在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是 ( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D B 数学　七年级下册 11. 如图，在图1和图2中，所有小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ C 数学　七年级下册 12. 如图，每个小三角形都是等边三角形，如果再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形，那么有___种不同的涂法. 4 数学　七年级下册 13. 如图所示的正方形网格中，A，B两点均在直线a上方，要在直线a上求一点P，使PA＋PB的值最小，则点P应选在 ( ) A. 点C B. 点D C. 点E D. 点F C 数学　七年级下册 14. 如图，下列图案是用黑、白两种颜色的正方形纸片按规律拼成的. (1)如图1所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ 解：(1)图1是轴对称图形，有4条对称轴. 数学　七年级下册 (2)如图2，3所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 解：(2)图2、图3都是轴对称图形，都有2条对称轴. 解：(3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴. 数学　七年级下册 $第5课　简单的轴对称图形(3) 数学　七年级下册 知识点1 角平分线的性质 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD＝5，则点D到AB的距离为___. 5 数学　七年级下册 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且BD＝6 cm，DE＝4 cm，则BC的长为_______. 10 cm 数学　七年级下册 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是____. 12 数学　七年级下册 知识点2 尺规作角平分线 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE的长度为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝16，CG＝4，则△ABG的面积是___. 32 数学　七年级下册 5. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，用尺规作∠ABC的平分线交AC于点D. 若BD＝6 cm，则CD的长是______. 6 cm 数学　七年级下册 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝10 cm，AC＝6 cm，BC＝8 cm，则△BDE的周长是______. 12 cm 数学　七年级下册 7. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为14，12，8，其三条角平分线的交点为O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_________. 7∶6∶4 数学　七年级下册 8. 小明将两把完全相同的长方形直尺按如图所示的方式放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，若∠AOP＝∠BOP，则OC的长度是______. 3 cm 数学　七年级下册 9. 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D. 求证：∠ECD＝∠EDC. 证明：∵E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA，ED⊥OB， ∴CE＝DE. ∴∠ECD＝∠EDC. 数学　七年级下册 10. 如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝6，DE＝2，则AD的最小值是 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 D 数学　七年级下册 11. 如图，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，DE⊥AB交其反向延长线于点E，DF⊥BC于点F，BC＝12 cm，AB＝6 cm，那么AE的长度为__cm. 3 数学　七年级下册 12. 如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，请解答下列问题： (1)若AD＝2 cm，则点D到边BC的距离是_____. (2)若BC＝7 cm，则△CDE的周长为_____. 2 cm 7 cm 数学　七年级下册 解：(2)∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝∠EBD，DA＝DE. ∴△ABD≌△EBD(AAS). ∴BA＝BE. ∴△CDE的周长为CD＋DE＋CE＝CD＋AD＋CE＝AC＋CE＝AB＋CE＝BE＋CE＝BC＝7(cm). 故答案为7 cm. 在△ABD和△EBD中， 数学　七年级下册 (3)连接AE，试判断线段AE与BD的位置关系，并说明理由. 解：(3)BD⊥AE. 理由如下： 如图，∵DA＝DE，BA＝BE， ∴BD是AE的垂直平分线. ∴BD⊥AE. 数学　七年级下册 $第4课　 简单的轴对称图形(2) 数学　七年级下册 知识点1 线段的轴对称 1. 线段是轴对称图形，它的对称轴是 ( ) A. 任意一条直线 B. 过线段中点的直线 C. 垂直并且平分线段的直线 D. 无法确定 C 数学　七年级下册 2. 下列图形不是轴对称图形的是 ( ) A. 角 B. 线段 C. 三角形 D. 圆 C 数学　七年级下册 知识点2 线段垂直平分线的性质 3. 如图，P为线段AB的垂直平分线上一点，若PB＝3 cm，则PA的长为 ( ) A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 3 cm D 数学　七年级下册 4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 ( ) A. AB＝AD B. CA平分∠BCD C. AB＝BD D. △BEC≌△DEC C 数学　七年级下册 5. 如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接BD. 若AB＝7，AC＝12，BC＝6，求△ABD的周长. 解：依题意，得MN垂直平分BC，∴DB＝DC. ∴△ABD的周长为 AB＋BD＋AD＝AB＋DC＋AD＝AB＋AC. ∵AB＝7，AC＝12， ∴AB＋AC＝19. ∴△ABD的周长为19. 数学　七年级下册 知识点3 与垂直平分线有关的作图 6. 如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，求当汽车行驶到哪个位置时，到村庄M，N的距离相等. (用尺规作出符合条件的位置，无需证明，保留作图痕迹) 解：如图所示，当汽车行驶到 点P处时，到村庄M，N的距 离相等. 数学　七年级下册 7. 如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分线MN交AC于点M，交BC于点N，且AB＋BN＝BC，则∠B的度数是____°. 50 数学　七年级下册 8. 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB于点M，交BC于点P，边AC的垂直平分线交AC于点N，交BC于点Q. 若∠PAQ＝36°，则∠BAC的度数为______. 108° 数学　七年级下册 9. 如图，在△ABC中，AB＝AE，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E. 若△ABC周长为20，CD＝6，则AF＝___. 4 数学　七年级下册 10. 如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°. (1)尺规作图：作AC的垂直平分线，交BC于点D；(不写作法，保留作图痕迹) 解：(1)如图，点D即为所求. 数学　七年级下册 (2)连接AD，求∠BAD的度数. 解：(2)如图，∵D为AC的垂直平分线与BC的交点， ∴DA＝DC. ∵∠C＝30°，∴∠DAC＝∠C＝30°. ∴∠ADC＝180°－∠C－∠DAC＝120°. ∵∠ADC＋∠ADB＝180°， ∠B＋∠BAD＋∠ADB＝180°， ∴∠ADC＝∠B＋∠BAD. ∵∠B＝50°， ∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝70°. 数学　七年级下册 11. 如图，在锐角△ABC中，边AB，AC的中垂线相交于点O，∠A＝α(0°＜α＜90°). (1)求∠BOC的度数； 数学　七年级下册 解：(1)如图，连接AO， ∵AB，AC的中垂线相交于点O， ∴AO＝BO＝CO. ∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC. ∴∠AOB＋∠AOC＝(180°－∠OAB－∠OBA) ＋ (180°－∠OAC－∠OCA)＝(180°－2∠OAB)＋(180°－2∠OAC)＝360°－2(∠OAB＋∠OAC)＝360°－2∠BAC＝360°－2α. ∴∠BOC＝360°－(∠AOB＋∠AOC)＝2α. 数学　七年级下册 (2)试判断∠ABO＋∠ACB是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 解：(2)∠ABO＋∠ACB为定值. ∵BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB. 由(1)知∠BOC＝2α， ∵∠ABO＋∠OBC＋∠ACB＋∠BAC ＝180°， ∴∠ABO ＋∠ACB＝180°－∠OBC－∠BAC＝90°. ∴∠OBC＝ (180°－∠BOC)＝90°－α. 数学　七年级下册 $第2课　轴对称及其性质(2) 数学　七年级下册 知识点1 轴对称及其性质 1. 如图，已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 ( ) A. 30° B. 50° C. 100° D. 120° C 数学　七年级下册 2. 如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，连接AD交直线l于点O，下列结论不一定正确的是 ( ) A. AC＝DF B. ∠B＝∠E C. AO＝BC D. AD⊥直线l C 数学　七年级下册 3. 折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家们甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”. 如图，小明在课余时间把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠1＝65°，则∠2＝_____. 50° 数学　七年级下册 4. 如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，连接CC′，直线l交CC′于点D，若AB＝4，B′C′＝2，CD＝0. 5，则五边形ABCC′B′的周长为____. 13 数学　七年级下册 知识点2 利用轴对称的性质画图 5. 如图所示的轴对称图形只画了一半，请画出它的另一半. 解：如图所示. 数学　七年级下册 6. 如图，在3×3的方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形成为轴对称图形，这样的轴对称图形共有___个. 3 数学　七年级下册 7. 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，且AB＝6，BC＝3，则A′C′的取值范围是___________. 3< A′C′<9 数学　七年级下册 8. 如图，阴影三角形是白三角形沿着对称轴画出的轴对称图形. 根据图中信息，用数对表示出点A，B的位置：A________，B________. (11，8) (15，3) 数学　七年级下册 9. 如图，P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OB，OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于点M，交OA于点N，若P1P2＝10，则△PMN的周长为___. 10 数学　七年级下册 10. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度. (1)作四边形ABCD关于直线m的对称图形A1B1C1D1； (2)求四边形ABCD的面积. 解：(2)S四边形ABCD＝ ×4×2×2＝8. 解：(1)如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求. 数学　七年级下册 11. 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称. (1)画出直线EF； 解：(1)如图，连接B′B″，C′C″，分别取B′B″，C′C″的中点D，D′，连接DD′并向两边延长，则直线EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴. 数学　七年级下册 (2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系. 解：(2)如图，连接BO，B′O，B″O， ∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， ∴∠BOM＝∠B′OM. 又∵△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称， ∴∠B′OE＝∠B″OE. ∴∠BOB″＝∠BOM＋∠B′OM＋∠B′OE＋∠B″OE ＝2(∠B′OM＋∠B′OE)＝2∠MOE＝2α. 数学　七年级下册 $