吉林东北师范大学附属中学2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学试卷

2025-2026学年下学期 东北师大附中 数学科试卷答案 高一年级期中考试 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 P 0 D A D 力 A C B 二、 多选题；本题共3小题，每小题6分，共计18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。 9 10 11 ABC BD AB 三、填空题：本题共3个小题，每小题4分，共12分。 12.-2+i 13.3V3 14、② 四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(10分) 解：(1)由已知a=b+nc,得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), .5 m= -m+4n=3 9 所以 2m+n=2’解得 58_31 8 所以m-n= 99 93 n= 9 (2)a+kc=(3+4k,2+),2b-a=(-5,2),因为两向量共线， 所以，2x(3+4)-(-5)(2+)=0,解得k=-16 13 高一下学期期中考试数学试 16.（10分) 解：(1)因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为死. 所以函数y=f(x)的最小正周期T=元， 所以T= 2π =兀，解得0=2. 0 (2)由(1)得f(x)=in 2x+6 将函数y=∫(x)的图象向左平移工个单位长度后，得到 6 y=$im[2(x+乃)+乃]=cos2x的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐 6 6 π2π 标不变)，得到y=COsx的图象，故g(x)=cosx,因为x∈ 6’3 当x= 2亚时，函数8(x)取得最小值，名 2π 3 2 当x=0时，函数g)取得绿大位，80)-1，放) 因为函数y=g(x)-k在区间 π2π 63 上存在零点，所以方程k=g(x)有解，所以实数k的 取值范围为 17.(12分) 解：解：(1)由已知，在△BCE中，∠BCE=75°，∠BEC=60°，CE=√5， EC BC 则∠EBC=180°-75°-60°=45°.由正弦定理，有 sin∠EBC sin∠BEC 所以，BC=ECxsin∠BCV2x 2=3 sin∠EBC 2 所以BC的距离为√5千米， 题答案，第1页，共3页 (2)由已知，在△ADC中，∠ACD=45°，∠ADC=67.5°，DC=2√5， 则∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°，则AC=DC=2V5, 在△ABC中，AC=2W3,BC=V5,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°， 再由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC,BC·cOS∠ACB=9,即AB=3. 所以AB的距离为3千米. 18.(12分) 解：(1)解：因为PC=2BP, 所以AP=A6+BP=A亚+Bc=AB+(BA+AC)-子AB+AC, 因为0是线段AP的中点，所以A0=5AP=AB+AC, 2 6 设AB=A2,因为AF-2AC,则有40=AE+AF, 3 3 4 为P、0,E三点共线，所议+1（不用证明），解得x=,即AB立 34 所以EB=AB,所以4g-4 EB 5 (2)解：因为AB=AE+EB=AE+AE=(1+元)AE,同理可得AC=(1+4)AF, 出a,40-=写+c,所40-征1AF, 1 3 6 因为2,0，F三点英线，所以1+2+1+业-1，即2元+=3，且元>0，>0， 3 6 实品je-川分是】 3+2W2 当且仅当u+1=√22，即2=4-2√2，u=4V2-5时取等号， 高一下学期期中考试数 所以 1+1 2u+ 的最小值为3+2V2 4 19.(14分) (1)f(x)=a.b=2cosx-2v3sinxcosx=1+cos2x-3sin2x -29maxa2y1=fas8别u 由无+252g”≤江+2机解得版≤x≤+a(keZ), 62 6 又x∈[0，元]，因此函数f(x)的单调递增区间为 π5π 36」 其最小值为f 3 =-2sm2×+1=2+1=-1. 、36 (注：也可以化为f(x)=2cos e0由小.特4-n21-君11.m24-}= Ac@.-a-司 2Aππ 汇=元，解得A=元 即A=60°.由正弦定理可得 62 3 b-2c sinB-2sinC sin(120°-C)-2sinC cosC- -sinc 2 、=2 2cosC、V3 acos(60°+C)sin60cos(60°+C)√31。 1 sinc 22 sinC 2 21 c0sC、3 试题答案，第2页，共3页 由愿意知BD氏，DCa,AD b+c=3cos 3 bL=3cos0=5an0>1,所以tan6> ,0e0,3,因为，6+1= ,所以 c=v3sine c√3sin0 3 Iga-e 1+-8 在△ABD与△ACD中，分别有COS∠ADB= 2 —,C0S∠CDA= 4 a 3 3a 2 又cos∠ADB=-cos∠CDA,化简得b+2c2-3=二ad,在△ABC中，ad=b2+c2-bc 则b+3c=2√5sn8+3cos日=√2isin(0+9),其中取pe(0,,且 （电可以这样推号，AD-+4C,AD=(后B+4C-号4号4C+号AB4C, 3 3 9 9 mp回，sp-255后 72 1专+B+号cos子即+4c+2c=9) 72 999 方法一： 因为0e管孕，所以6+9e(g+名9+孕.因为受eo+君p+孕， 62 b2+2c2-3=二(b2+c2-bc),即b2+4c2+2bc=9,设b+3c=1>0, 所以b+3c=25sin0+3cos0=√2isin(0+9≤√2i,当且仅当8+p=?时取等， 3 所以b=t-3c,所以(t-3c)2+4c2+2t-3c)c=9,即7c2-4tc+t-9=0,因为c>0,所以关于 此时b+3c的最大值为√21，sin0=cosp= 2W7 7 cos0=sinp=V2i. 7 c的方程7c2-4tc+t2-9=0有正根，△=(4)2-4×7(-9)=-12P+4×7×9≥0，即t≤21，所 即c=3sin8= 2W21 7 b-3c0s0-c=21 7 以0<t≤√21，所以b+3c的最大值为√21 当1=21时，代入方程7c-4c+-9=0,得Nc-2=0,即c=2,满足c>0, 7 cm4=g@2回53g 277214 所以b=1-3c=V2-2_V2 3W3 7 7 所以三角形的面积为14· 所以5ae-bcin4=x2Lx22xV53W5 27 7 214 3V5 所以三角形的面积为 14 方法二： 6+46+25e=9=6+ey+38,即29+(3-1 高一下学期期中考试数学试题答案，第3页，共3页2025-2026学年下学期 东北师大附中 数学科试卷 高一年级期中考试 注意事项： 1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号。 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿 纸、本试题卷上书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使刑涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.复数z=a-1+(a+1)i(其中i为虚数单位)是实数，则实数4的值为() A.1或-1 B.1 C.-1 D.0或-1 /2.化简AB+CD-OB-CO=（) A.OD B.OA C.AC D.AD 3.已知函数f(x)=sin(2x+乃)，为了得到g(x)=sin2x的图象，则需将函数f(x)的图象( A.向右平移刀个单位长度 B.向右平移元个单位长度 6 12 C.向左平移”个单位长度 D.向左平移元个单位长度 6 12 4.已知点A(1,3),B(-2,7),则与向量AB方向相反的单位向量是( a(信到 B.(3,4) D. 高一下学期期中考试数 5.己知函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,o>0,p<π)是奇函数，函数f(x)的最小正周期为元，且 f径=V2,则A=（) A.I B.2 C.2 D.2√2 知点C是单位圆劣弧8上一点，∠A0B=,以0为原点，OB所在的直线为x轴，建立平 面直角坐标系，设∠B0C=日(0≤0≤2)，则C(cos8,sin),如图所示.若OC=20A+uOB (入，4∈R),则入+u的取值范围是( A.1,2] B D.L,5] 7.在△ABC中，若sin2A+sin2C=sin2B-sin4.sinC,且满足AB.BC=2,则△ABC的面积 等于() A.2W5 B D.1 8.函数f()=sin(ox+p)(o>0,0<p<)的部分图象如图所示，其中A,B两点为图象与x轴的交 点，C为图象的最高点，且△BC是等腰直角三角形，且OB=-3OA.己知函数 g(x)= [f(x),0≤x≤2， 若存在实数x,x2,x3,且x<x2<,使得g(x)=8(x2)=8(3), -x,x<0. 则8(x)+x28(x2)+xg(x)的最大值为() V2-1 A. 2 B. c.23-3 D. 1-4 4 题，第1页，共3页 二、多进题：本题共3小题，每小题6分，共计18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。 9.复数：满足x(4+3i)=2-i(其中i是虚数单位)，则下列说法正确的是( A.的虚部为 2 B.z在复平面内对应的点位于第四象限 5 C2+2= 5 DHg 10.已知函数f(x)tar(-乃)， 则下列说法正确的是( 6 A.函数f()的最小正周期是 B.直线x= 2 2 了是函数∫()图象的一条对称轴 C.函数f(x)的值域是(0，+oo) D.函数f(x)的单调递减区间是(-不，k:+,k∈乙 3 6 下列有关平面向量的说法中，正确的是( A.若平面向量a,b满足！b卡2@=2，则1a-2刷的最小值是3 B.若平面向量a,b满足|b=2=2,则忆-2的最大值是5 .若平面向量a=1,2,b=(2,),则b在a上的投影向量是（兮， D.在△ABC中，若对任意t∈R,均有BA-tBC≥AC,则⑧ABC为锐角三角形 三、填空题：本题共3个小题，每小题4分，共12分。 12.在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2+i,若点A关于虚轴的对称点为点Bm则 B对应的复数是 。 13.在△ABC中，AB=3,AC=2,A=60°，AD平分∠BAC交BC于点D,则△ACD的面 积为 14在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知4，sin),B+sinx,sin),x∈(0，，么B,C 三点满足OC-}O+子O丽，且函数f)=Oi.0C+(2m-子！丽的最小值为】则实数m 3 的值为 高一下学期期巾考试数学试题 四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(10分) 设向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (I)若a=b+nc(,n∈R),求m-n的值； (2)若(a+c)∥(2b-a),求实数k的值. 16.(10分) 已知函数f(:)=$im(Ox+兀(o>0)的两条相邻对称轴之间的距离为. 6 (1)求0的值； (2)将函数f(x)的图象向左平移”个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为 6 元2上 原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=gy)的图象.若函数y=8()-k在区间一石·3 存在零点，求实数k的取值范围. 试题，第2页，共3页 17.(12分) 某环保监督组织为了监控和保护查干湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A、B两地间 的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同二直线上的三个测量点D,C、E进行测 量，在D点测得∠ADC=67.5°，在点C测得∠ACD=45,∠BCE=75°，在点E测得 ∠BEC=60°，并测得DC=2N3,CE=√2（单位：千米） (1)求BC的距离： (2)求AB的距离： B E 18.(12分) 如图，在AABC中，点P满足PC=2BP,O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB、AC 分别交于点E、F. ()若硬-24C, 的值； 3 EB 2)若峦=(2eR,元>0，F元=Ha(ueRu>0),求元u+ 的最小值 E O 2 B P 高一下学期期中考试数学 19.（14分) 已知函数f(x)=ab,其中a=2cosx,V3sinx,b=(cosx,-2cosx) (1)若x∈0，元]，求函数f(x)的单调递增区间和最小值； (2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且f(A)=-1. b-2c ()求 2c0s(60°+C) 的值； (i)若D是BC边上的一点，且BD:DC=1:2,AD=1,当b+3C取最大值时，求 △ABC的面积. 试题，第3顶，共3贡