精品解析：安徽滁州市定远育才学校2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

定远育才学校2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 2. 在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 5. 已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 20 6. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（ ） A. 弦长的最大值为 B. 实数的取值范围为 C. 若，则 D. 存在定点，使得为定值 10. 设等比数列的公比为，则下列结论不正确的是（ ） A. 数列是公比为的等比数列 B. 数列是公比为的等比数列 C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为的等比数列 11. 已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 点是底面上的动点，且，则最大值为 C. 的中点到平面的距离为 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知= ，=，则=_____． 13. 在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 14. 已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是__________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15. 设等比数列{an}满足，． （1）求{an}的通项公式； （2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m． 16. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线：上． （1）求圆C的标准方程； （2）已知过点的直线被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程． （3）圆C关于直线的对称圆是圆Q，设、是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线、与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，棱，且底面，点，． （1）证明：平面； （2）若点，且，证明：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 18. 已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与交于A，B两点，（点O为坐标原点）的面积为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若过点的两直线 的倾斜角互补，直线与抛物线C交于M，N两点，直线与抛物线交于P，Q两点，与的面积相等，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 2. 在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，平面的中心，平面的中心， 于是，， 设平面的法向量为，则，取，得， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B 3. 已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称点的性质求出点坐标，再结合图象求解即可. 【详解】设，因为点关于直线的对称点为， 所以，的中点一定在上，且设中点为， 由中点坐标公式得，将其代入中， 得到，而可化为， 则其斜率为，可得到，解得，， 故得，我们把的斜率记为，的斜率记为， 由斜率公式得，， 如图，我们得到直线的斜率的取值范围为，故B正确. 故选：B 4. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，计算可求数量积. 【详解】 . 故选：B. 5. 已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值. 【详解】圆的圆心坐标为， 圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有， ， 当时，有最小值20. 故选：D 6. 已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，，根据抛物线的定义以及三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得答案. 【详解】当在第一象限时， 设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为， 因为，且为的中点， 所以为三角形的中位线，即， 所以，又根据抛物线的定义， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以，此时， 根据对称性，当在第四象限时，， 故选：D. 7. 如图，已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，得矩形，在直角中用表示出，，然后由双曲线的定义列式后求得离心率． 【详解】连接，由及双曲线的对称性知是矩形，由，，，则，， ∴， ∴离心率为， 故选：A． 【点睛】 本题考查求双曲线的离心率，列出关于关系式是䚟题关键．本题利用双曲线的对称性构造矩形，然后结合双曲线定义得出关系式，求得离心率． 8. 两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项及等差数列的前项公式变形求值即可. 【详解】由等差数列的性质可得， ， 故选：C． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（ ） A. 弦长的最大值为 B. 实数的取值范围为 C. 若，则 D. 存在定点，使得为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直径为最长弦判定A；利用圆心到直线的距离小于半径，解不等式求得实数a的取值范围，判定B；根据已知判定P在直线l上，且在圆外，再取特值，当直线经过圆心的特殊情况下进行计算，可以否定C；根据垂径定理得到点Q的轨迹为圆的一部分，取D为圆心既满足选项D中的条件，从而判定D正确. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为； 当时，过圆心，则弦长最大为，故A正确； 圆心到的距离，解得，故B正确； 因为，所以点在圆外. 因为,所有点在直线上. 所以向量同向， 取当时，过圆心，所以，不一定是1，故C错； 因为，则的轨迹为以中点为圆心，为半径的圆（在已知圆内的一部分）， 则存在，使得，故D正确. 故选：ABD. 10. 设等比数列的公比为，则下列结论不正确的是（ ） A. 数列是公比为的等比数列 B. 数列是公比为的等比数列 C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列是公比为的等比数列 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题意可得， 对于数列，可知，所以选项A错误； 对于数列，当时，，此时不符合题意，所以B错误； 对于数列，可知当时， ，此时不符合题意，所以C错误； 对于数列，可知，所以D正确. 11. 已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 点是底面上的动点，且，则最大值为 C. 的中点到平面的距离为 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量线性关系计算判定A，以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，设的坐标，根据垂直关系列方程求出轨迹方程，计算判定B，证明为平面的法向量，根据点到平面的距离公式，判断C，应用线面角定义证明为直线与平面所成角，计算得出正弦值范围判定D. 【详解】对于A：当时，， ， ，A错误； 对于B： 以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 因为点是底面上的动点，故可设，， 所以，， 因为，所以，故， 所以点的轨迹为线段，的最大值为，B正确； 对于C：因为， 所以，， 所以，， 所以向量为平面的一个法向量， 取线段的中点，则，， 所以点到平面的距离， 所以的中点到平面的距离为，C错误； 对于D：因为平面，所以为直线与平面所成角， 所以与平面所成角的正弦值为， 又时，取最大值，此时与平面所成角的正弦值取最小值， 当时，取最小值，此时与平面所成角的正弦值取最大值， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围为，D正确； 故选：BD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知= ，=，则=_____． 【答案】32 【解析】 【详解】由题意可得，所以两式相除得代入得，填32． 13. 在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】若为的中点，连接，易得异面直线与所成角，即为直线与所成角，根据已知及余弦定理求角的大小. 【详解】若为的中点，连接，又为的中点， 根据长方体的结构特征易知为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 由题设，在中，且， 则，故. 故答案为： 14. 已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆性质，有，，，则，利用构造函数的方法求取值范围. 【详解】由椭圆方程可知，，左焦点为，设， ， 由对称性可知，由， 得，则有， ， 令，设， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， ，，， 则，所以. 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15. 设等比数列{an}满足，． （1）求{an}的通项公式； （2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式； （2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 根据题意，有，解得， 所以； （2）令， 所以， 根据，可得， 整理得，因为，所以， 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目. 16. 已知圆C经过点和，且圆心C在直线：上． （1）求圆C的标准方程； （2）已知过点的直线被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程． （3）圆C关于直线的对称圆是圆Q，设、是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线、与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）. （2）或. （3）是，25. 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程，结合题目条件，得圆心C的坐标和半径，从而得结论； （2）利用垂径定理得圆心到直线的距离为3，再利用直线与圆的位置关系，结合对斜率是否存在的讨论和点到直线的距离公式，计算得结论； （3）利用关于直线对称的圆的方程得圆Q的方程，再利用题目条件得、，且得到，，再利用直线的点斜式方程得直线和的方程，令得m与n，最后利用圆Q的方程，计算得结论． 【小问1详解】 解：因为圆心C在直线：上，所以设． 又因为圆C经过点和， 所以，且半径，解得，， 因此圆C的标准方程为． 【小问2详解】 解：因为直线被圆C所截得的弦长为8， 所以由垂径定理得圆心到直线的距离为． 当直线的斜率不存在时，直线：满足要求； 当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离，解得，因此直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 【小问3详解】 解：因为关于直线的对称点为，而圆C关于直线的对称圆是圆Q， 所以圆Q的方程为． 因为点关于原点和x轴的对称点分别为、，所以、． 又因为， 当时，点的坐标为，则直线与x轴垂直，不满足题意，所以． 当时，点的坐标为，则直线与x轴垂直，不满足题意，所以， 因此直线的方程为，直线的方程为． 在方程中，令得，即． 在方程中，令得，即． 又因为、是圆Q上的两个动点，所以，， 因此， 因此为定值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，棱，且底面，点，． （1）证明：平面； （2）若点，且，证明：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可证平面； （2）利用向量法可证，进而结合已知可证结论； （3）求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面的夹角. 【小问1详解】 在四棱锥中，，底面， ，， 由底面是正方形，得， 以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， ， ，，，， ，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为得， ， 而平面，平面； 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 又， 则，且，，平面， 平面； 【小问3详解】 由（1）知，，且，， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 所以平面的一个法向量为， ，，而， 则，， 即，， 则平面的一个法向量为， ， 设平面与平面的夹角为， 则， ，， 平面与平面的夹角为． 18. 已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与交于A，B两点，（点O为坐标原点）的面积为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若过点的两直线 的倾斜角互补，直线与抛物线C交于M，N两点，直线与抛物线交于P，Q两点，与的面积相等，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得的坐标分别为，则，解得的值，即可求得抛物线的方程； （2）设直线，点，联立椭圆的方程，可得，结合韦达定理可得，由弦长公式可得，由点到直线的距离公式可得焦点F到直线的距离，得，同理可得|，由，得到，解出的取值范围. 【详解】（1）由题意，抛物线的焦点， 所以A，B的坐标分别为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为. （Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线， 设点， 联立方程组，整理得， 所以，且， 所以， 焦点F到直线的距离＝2， 所以， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 将用代换，可得， 由，可得2， 化简可得，两边平方得， 所以，解得， 又由且，可得或，可知 所以，即，所以， 所以实数的取值范围是. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略： 对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】 由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $