数列 重点考点讲义-2027届高三数学一轮复习

2数列重点考点 【1.等差数列】 考点一数例列的单调性与最值 例1数列{a,}的通项a。=,” 则数列{a,}中的最大值是() n2+90 1 v10 A.3v10 B.19 C.19 D.60 练1设等差数列{an}满足a1=1,a,>0(n∈N),其前n项和为Sn·若数列VSn也是等差数列，则 大值为（) A.100 B.121 C.169 D.180 例2（数例的最大项）数列{a,}的通硕公式是an-(n+1)· 10 则此数列的最大项是第 项， 练2已知数列{a}的通硕公式an=(n+2) 6 则数列{a,}的项取最大值时，n= 考点二等差数列的通项及求和 例3记Sn为等差数列an}的前n项和，若3S;=S2+S4,a1=2,则a;=() A.-12 B.-10 C.10 D.12 练3设等差数列{an}的前n项和为S。.若a1+a3=6,S4=16,则a4=() A.6 B.7 C.& D.C 例4有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 十二个节气日影张减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸， 问小满日影张为()(1丈=10尺=100寸) A.四尺五寸 B.三尺五寸 C.二尺五寸 D.一尺五寸 练4中国古代词中，有一道“八子分绵的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将 第八数来言”，题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄 大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（) A.174斤 B.184斤 C.180斤 D.181斤 考点三等差数列的性质 例5已知等差数列an}中a2+a,+ag+a12=60,那么S13=() A.390 B.195 C.180 D.120 练5在等差数列{am}中，2(a,+a3+a5)+3(a,+ag)=54,则此数列前10项的和S1o等于() A.45 B.60 C.75 D.90 2 S=5n+3 例6两等差数列a,小、么，}的前”项和的比宁-2”十7.则公的值是() 28 A.11 48 B. c 53 D. 23 25 1 练6两等差数列{a}、{b,},前n项和分别为Sn,Tn,且 =7n+2 ,n+3,则 +a0的值为（） b+bis 149 A. B.79 D. 51 24 14 5 10 例7已知等差数列a,的前项和为S,4,=2,且=+5，则a,为多少？ 105 练7已知等差数列a,}的前n项和为S,4=l,且=S2+4,则S, n n-2 例8设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S1。=20,S20=60,则S4o的值是 练8设Sn表示等差数列{an}的前n项和，已知 S51 3,那么 等于(） 1 1 A. 10 8 例9已知等差数列供有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为() A.300 B.298 C.296 D.294 练p已知等差数列{an}共有2nn∈N)项，若数列{an}中奇数项的和为190，偶数项的和为210,4=1，则 公差d的值为() A.2 B.4 C.4 D. 考点四等差数列最值问题 倒10等差数列Q,的前项和为心，其中a,),S,=14,则当，取得最大值时m的值为(） A.4或5 B.3或4 C.4 D.3 练10等差数列{an}的前n项和为S,,若a2=7,a3∈Z,且Sn≤S,则Sn的最大值为() A.24 B.25 C.28 D.32 例11（多选）已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sm,若S,=S1,则（) A.a10>0 B.当n=9时，Sn最大 C.S7>0 D.S9>0 练11等差数列{an}中，a,>0,S4=S,则前n项和S,取最大值时，n为（) A.6 B.7 C.6或7 D.以上都不对 例12等差数列{an}的前n项和为Sm,若S1,<0,S1g>0,则当Sn取最小值时，n的值为（) A.8 B.C C.16 D.17 练12（多选）设等差数列an}的前n项和为Sn,公差为d,已知4=12，S12>0,S13<0,则下列结论正 确的有（) A.a6+a,<0 B.a,<0 C.d可以取负整数 D.对任意neN*,有Sn≤S6 考点五等差数列的判定与证明 例13已知数列an}满足a=1,a。-an+1-2a。·a+1=0,证明 是等差数列，并求{an}的通项公式 练13数列{a,}满足a=1,na+1=(n+1)a,+n(n+1)n∈N)证明：数列m}是等差数列； 例14已知数列a,中，马-子a.=2-a之2eN）,数别6，满起4= 3 (n∈W). an-1 a,-1 求证：数列{bn}是等差数列；并求数列{an}的通项公式. 练14数列{a}满足递推关系a1=2a,+32+(n∈N),且a,=3,求{ 和a,的通项公式 2” 【2.等比数列】 考点一等比数例列的通项及求和 例1已知等比数列an}满足a1+a2=3,a2+a,=6,则a,=（) A.64 B.81 C.128 D.243 领等北数列a,中，马+a,=10,a*a,-},则数列a,的适项公为() A.an=24" B.an=2-4 C.an=2-3 D.d =23-m 例2已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，若a2·a4=16,S3=7,则S4=（) 13 A.21 B.15 C.31 D.63 练2已知在等比数列{an}中，a,=4,前三项之和S3=12,则{an}的通项公式为（) 4=6 C.a =4 D.an=4或an=(-1)"-1.25-n 例3《九章算术》中的两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也 日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后 每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的 4倍，则n的值为（) A.5 B.4 C.3 D.2 练3我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.其含义是：一尺长的木棍， 每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为a,,数列{an}的前n项和 为Sn,则使得不等式S,> 2020 成立的正整数n的最小值为() 2021 A.9 B.10 C.11 D.12 考点二等比数例列的性质 例4等比数列{an}的各均为正数，且a44+a,a6=6,则aa2…ag=（) A.27 B.81 C.243 D.729 9 则L+1+1+ 练4在等比数列a中，若aa5=二4,4+43+44+4三4则+ =() A.1 B、3 C.-3 4 01 侧5设正项等比数列a,}的前n项和为S,且型<1，若a,+a,=20,a,a。=64,则S,等于() a A.63或120 B.256 C.120 D.63 7 练5递增的等比数列{an}中，a2a5=128，a+a4=24,则a,=（) C.2n D.2" 6设数列Q的前刀项和为S,若戈=4 = (①若数列a,}为等差数列，则了。 (2)若数列{an}为等比数列，则 S6 练6已知等比数列an}的前n项和为Sn,若S4=log23,Sg=log212,则a,+ao+a,+42=（） A.410g23 B.41og32 C.4 D.-410g23 练7等比数列a}的前n项和为S,若S,=2,S。=18,则3 0等于(） A.-3 B.5 C.-31 D.33 考点三等差数列与等比数列综合应用 例7已知等比数列a,中，备项都是正数，且4,4,2a,成等差数列，则总十位=() a+as A.1-V2 B.1+2 C.3+2V2 D.3-22 3 缘8已知各项均为正数目单调递减的等比数列a,}满起a,24,24,成等差数列，其前m项和为S,目 S=31,则（) B.d =2m+3 C.S,=32- 2-5 D.n=2"+4-16 练9设Sn为等比数列{an}的前n顶和.若a1=1且3S1,2S2,S3成等差数列，则an= 例8在公差不为零的等差数列{an}中，41，a43,4,依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项a,等 于() A.n B.n+1 C.2n-1 D.2n-1 练10已知等差数列{an},公差d≠0，a,a5,4,成等比数列， a1+a5+a1= a2+a6+a18 2Sn+48 例9（提高）等差数列{an}的前n项和为S,公差不为0,4=1且4,43,43成等比数列，则 0,+3的最小 值为(） A.8 B.3 C.10 D.4V6-2 练11已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a,a13成等比数列，若a41=1,Sn是数列an}的前n项和，则 。,6neN的最小值为() 9 A.4 B.3 C.2V3-2 D. 2 考点四等比数列的判定与证明 0 例0已知数列a,满足a=l,na1=3n+a,设6=片，求证：数5列b,是等比数列. 2 练12已知数列{an}的首项41= 号，a,2an=1,23,…,证明数列。-1 是等比数列 a+1 :仙已知微别a满腿4且a-方+片虹女} 是等比数列； 已知数列a的简项和为5，且s,a.-(aeN,证明：数列a,是等比数列， 【3数列通项】 考点一利用a,与Sn关系求通项公式 例1已知数列{a,}的前n项和Sn=3n2-2n+1(n∈N),则其通项公式为 缬已知数列a的前”项和S,-广于”aeN.求数列a的通项公式 10 练2已知数列{an}的前n项和S,满足Sn=2”-1,求数列{a,}的通项公式. 例2已知数列{an}的首项a,=2,前n项和为Sn,am+1=2Sn+1,n∈N.求数列{an}的通项公式： 练3在数列{a,}中，Sn是其前n项和，且Sn=2an+1,则数列的通硕公式a,=一 例3Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,an2+2an=4Sn+3a+2an=4S。十3，求{an}的通项公式. 练已知S为加正项致a的葡和项和且起S女：+a,a∈N,求列a的酒公式 例4已知数列a,}满足a+3a,+3产a++3-a,- (n∈N),则数列{a,}的通项公式为 3 11 练在递增等比数列{a}中，43+a=10,4a。=16,且数列{b,}满足b+2b+…+nbn=an,求b.· 12 考点二累加法：适用于数例的后一项与前一项之间满足a.+1=a,+f(n)的关系 (d-d)+a =to.-d-)+o.)++l. 例5数列{an}满足a1=1,根据以下条件求数列{an}的通项公式： (1）an+1-an=2; (2)a+1-a,=2n, 3)a1-0=2"; 练6在数列{a}中，a=2,an1=an+ln(1+),则通项公式a,=_ 考点三迭乘法（累乘法）：适用于数列的后一项与前一项之间满足am+1=amf(n)的关系 令0=0.0u a2a即可. an-1 an-2 a 例6数列{an}满足a1=1,根据以下条件求数列{an}的通项公式. 4)02u=2: a 2 =n an n+1' 0n+l=2"; (3)an 13 练7已知数列a,=3,(3n+2an1=(3n-1)a（n21),求an=_ 练8已知数列{an}满足2na,+1=(n+1a.(meN),且a1=1.求数列{an}的通项公式； 考点四构造法求通项公式 【类型一】an+1=pan+入，其中入为常数 例7已知数列{an}中，a1=1,an+1=2an+3,求数列{an}的通项公式. 如已知数列a,中，马=l一号a-2,求数列a,的面公式 【类型二】己知a+1=pan+f(n),其中f(n)为关于n的一次函数. 例8已知数列{an}中，a1=l,a+1=2an+n,求数列{an}的通项公式 14 练10已知数列{an}满足a1=2,am+1=2a。+(2n-1),求数列{an}的通项公式. 【类型三】已知an1=pan+f(n),其中fn)为关于n的指数型函数. 例9已知数列an}中，41=1,4n+1=3an+3”,求数列{an}的通项公式. 1 练1已知数列a,}中，4=l,a1=20,+2,求数列a,}的通项公式 例10在数列an}中，a1=-1,a+1=2an+4·3"-,求通项公式4，； E0政刚a中君a+日” (2 ,求an 15 练13(2021高三八省联考)已知各项都为正数的数列{a,}满足a+2=2an+1+3a,· (1)证明：数列{an+an+1}为等比数列； 1 3 (2)若a=2,4=2:求{a,}的通项公式. 考点五】 监数法：若一心心。，则两边取数阿求通顺人注 1数别a,中，a=a=2。aeN,则a的通项a.- 数数中，-分4品2刘a的适4= 考点六周期型解法 例若数列{a}满足a,=2,a,=34,-g(n≥3且n∈N),则an等于） an-2 c A.3 B.2 D. 3 练5已知数列{a}的首项为2，且数列a}满足a1= a,+i,数列1a}的前n项的和为，则Sm等开） 3535 B.-3535 C.-3523 3523 A. D. 6 6 6 6 16 【4.数列求和】 考点一公式法（已知是等差或等北数列 例1已知等差数列{an}满足：41+3，a3,a4成等差数列，且a1,a,a成等比数列 求数列an}的通项公式； 3 练1已知公比为9的等比数列{a,}的前6项和S,=21,且4a:24,4成等差数列. (1)求an; (2)设{bn}是首项为2，公差为-4的等差数列，记{bn}前n项和为Tn,求Tn的最大值 17 例2已知等差数列an}与正项等比数列bn}满足a1=b=3,且b-a,20,a+b既是等差数列，又是等比数列.求 数列an}和bn}的通项公式； 练2已知等差数列{an}的首项a=1,公差d≠0，等比数列{bn}满足a1=b,a2=b2,a=b. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 日设数别C对意ncN均有号+是…名a1.求数别c的前0项知S 18 考点二分组求和 例3已知等差数列an}的前n项和为Sn,且S,=25,a2+a,+a1。=31. (1)求数列an}的通项公式以及前n项和Sn; (2)若b,=an+2+4”,求数列bn}的前n项和Tn. 练3已知各项均为正数的等差数列an}满足a,a=33,a=25. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设b。=4"-2+3an,若an∈N,求{bn}的前n项和Tn. 练4在等比数列an}中，a,>0,neN`,且a3-a2=8,又aa的等比中项为l6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=an+a,求数列bn}的前n项和为Sn 19 例4已知在前n项和为Sn的等差数列{an}中，2a4-a2=22,S,=102. (1)求数列an}的通项公式： (2)求数列{a}的前20项和T0. 练5数列{an}的前项和Sn=100-n2+3(n∈N） (1)求数列an}的通项公式： (2)设bn=an,求数列bn}的前项和Tn 20 例5已知Sn是数列an}的前n项和，且a1=1,an+an1=2n+1. (1)求数列{an}的通项公式 2.,n为奇数 (2)记bn= a,n为偶数，求数列b,/的前2n项和工. 练6已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列a1=b=1,a2=b2,a,+b=2a4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； an,n为奇数 2记，-6，n为偶数' 求数列cn}的前2n项和乃 21 例6已知数列{an}满足a1=2,a1= an-1,n为奇数 2an+2,n为偶数 (1)记b。=a2m-1,证明：数列bn}为等比数列，并求出数列(b,}的通项公式； (2)求数列an}的前2n项和S2m a,n为奇数 练7已知数列an}满足a1=1,an1= 2an,n为偶数 (1)记bn=a2m,写出b,b2,并求出数列{bn}的通项公式； (2)求数列a,}的前2022项和S22. 22 例7 (提高)已知各项均为正数的数列{a}中，a=1且满足a12-a=2a,+2a41,数列(b,}的前n项和为Sn, 满足2Sn+1=3b,. (1)求数列an},{bn}的通项公式； (2)若在b与b1之间依次插入数列an}中的k顶构成新数列cn}:b,a1,b,a,a3,b,a4,a5,a6,b4,, 求数列cn}中前50项的和T0· 练8（提高）数列{an}的前n项和为Sn,且Sn1-1=Sn+2an（n∈N) (1)若数列a。+1不是等比数列，求a.; (2)若a,=1,在a和ak1（k∈N)中插入k个数构成-个新数列bn}:41,1,a,3,5,a3,7,9,11,a4,， 插入的所有数依次构成首项为1，公差为2的等差数列，求{bn}的前50项和T0· 23 考点三错位相减求和 例8已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足，a1=2,b=1,a2=b,a3=b,-2. (1)求{an}和b,}的通项公式； (2)若数列cn}满足cn=abn,求{cn}的前n项之和Sn. 练9等差数列an}的公差d不为0，满足a5=13,a1,42,a。成等比数列，数列bn}满足 1 2,3 +…+n=n l0g2 b l0g2 b2 l0g2 b l0g,b 2 (1)求数列{an}与{b,}的通项公式： (2)若cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn 24 例9若等比数列{an}的各项为正，前n项和为Sn,且S2=6,a,=8. (1)求数列an}的通项公式： (2)若{abn}是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn. 练10已知数列{a}的首项a=1,前n项和为Sn,a1=2Sn+1,n∈N. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=l0g3am+1,求数列 的前n项和Tn. 25 考点四裂项相消求和 例0在数列0中，4=1骑”项和S满足S=S+十2a, (1)求{an}的通项公式； ②设b三2十求数列b的前项和7·了 练11已知等差数列an}和递增的等比数列{bn}满足a4=b-4,a,=b2=3,a1。=b (1)求{an}和{bn}的通项公式； 1 5 4 (2)若Cn= ,记数列cn}的前n项和为Tn,证明：- a an 练12数列a,}的前n项和为S,且S,=T+5m,等比数列，}满足b,=a,b,=a, 2 (1)求数列{an}与{bn}的通项公式： 1 (2)若Cn=l0g2bn,求数列 的前n项和 a.cn 26 例11已知数列an}的前n项和为Sn,且2，a,Sn成等差数列且数列bn}满足b=2,bn+1=bn+an· (1)求数列an}的通项公式； an (②)数列c,满足c,,-16-可，求数列1c,的前m项和Z· 练13已知等比数列{an}的各项均为正数，且4,4，=6561，a4=27, (1)求数列{an}的通项公式及前项和T,; 3” (②已知c,27,求数列c的前硕和月. 27 例2数列a,的通颐公式力a,=√n+√n中， 若该数列的前k项之和等于9，则k= 练14已知各项均为正数的等差数列{an}满足41=1，a1=a+2(a+1+an）. (1)求{an}的通项公式； 1 (2)记6，a,+a,求数列，的前硕和8 考点五并项求和（提高） 例13已知{an}是公差不为零的等差数列，a,=14,且a4,a3,a11成等比数列，设b,=(-1)”+·a,,数列 {bn}的前n项的和为Sn,则S21=一· 练15在等差数列{an}中，a,=15,a2+a6=18,若数列{(-l)”an}的前项和为Sn,则Sn= 28 例14设各均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足对任意neN,都有c+a+…+a=S2 (1)求证：数列an}为等差数列； (2)若b,=(-1)(2an)）2,求数列{bn}的前n项和T. 练16已知S,为数列{an}的前项和，且a1<2,a.>0,6Sn=a+3an+2,，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若对n∈N*,bn=(-l)”a2,求数列{bn}的前2n项的和T,m. 29 数列 重点考点 【1.等差数列】 考点一 数列的单调性与最值 例1 数列的通项，则数列中的最大值是　　 A． B．19 C． D． 解：， 在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，（9），当时，， 即（9）为最小值， 此时取得最大值为， 故选：． 练1 设等差数列满足，其前n项和为．若数列也是等差数列，则的最大值为（ B ） A．100 B．121 C．169 D．180 例2 （数列的最大项）数列的通项公式是则此数列的最大项是第 项．【9,10】 练2 已知数列的通项公式则数列的项取最大值时， ．【4或5】 考点二 等差数列的通项及求和 例3 记为等差数列的前项和，若，，则（ ）【B】 A． B． C． D． 练3 设等差数列的前项和为．若，，则（ ）【B】 A． B． C． D． 例4 有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（ ）（1丈＝10尺＝100寸）【B】 A．四尺五寸 B．三尺五寸 C．二尺五寸 D．一尺五寸 【详解】从冬至日起，依次构成等差数列，设为，由题意得： ，解得， 又，所以，所以，所以，故选：B 练4 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）【C】 A．174斤 B．184斤 C．180斤 D．181斤 【详解】设第8个儿子分到的绵是，第个儿子分到的绵是，则构成以为首项，为公比的等比数列，解得，则故选：C 考点三 等差数列的性质 例5 已知等差数列中，那么（ ）【B】 A． B． C． D． 练5 在等差数列中，，则此数列前项的和等于（ ）【A】 A． B． C． D． 例6 两等差数列、的前项和的比，则的值是（ ）【B】 A． B． C． D． 练6 两等差数列、，前项和分别为，，且，则的值为（ ）【A】 A． B． C． D． 例7 已知等差数列的前项和为，，且，则为多少？ 【】 练7 已知等差数列的前项和为，，且，则= ．【】 例8 设是等差数列的前项和，已知，，则的值是 ．【200】 练8 设表示等差数列的前n项和，已知，那么等于（ ）【B】 A． B． C． D． 例9 已知等差数列共有项，其中奇数项之和为，则偶数项之和为（ ）【D】 A． B． C． D． 练9 已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（ ）【A】 A． B． C． D． 考点四 等差数列最值问题 例10 等差数列的前项和为，其中，，则当取得最大值时的值为（ ）【C】 A．或 B．或 C． D． 【详解】 设公差为，由题意知，解得， 由等差数列前项和公式，知，对称轴为，所以当时，最大．故选：C 练10 等差数列的前项和为，若，，且，则的最大值为（ ）【B】 A． B． C． D． 【详解】 由，可知，等差数列的公差为整数，又，故，即，解得，因此，数列的通项公式为，， 所以，根据二次函数特征可知，时，最大，故的最大值． 例11 （多选）已知递减的等差数列的前项和为，若，则（ ）【BC】 A． B．当时，最大 C． D． 【详解】 数列是等差数列，由，则，，又因为数列是递减数列，所以，，故A错误、B正确.，故C正确； ，故D错误.故选：BC 练11 等差数列中，，，则前项和取最大值时，为（ ）【C】 A． B． C．或 D．以上都不对 【详解】 ∵，，∴，由等差数列的性质可得，即， ∵，∴，当或时，前项和取最大值，故选：C. 例12 等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，的值为（ ）【B】 A． B． C． D． 【详解】 由等差数列前项和公式可得:，所以， ，所以，故， 所以等差数列的前项为负数，从第项起为正，故前项的和最小，所以的值为，故选：B 练12 （多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，，则下列结论正确的有（ ）【BD】 A． B． C．可以取负整数 D．对任意，有 【详解】 因为， ，所以， 即，所以，由得，联立可解得 ，故等差数列是单调递减的，且， 所以对任意，有 综上可知BD正确，故选：BD 考点五 等差数列的判定与证明 例13 已知数列满足，，证明是等差数列，并求的通项公式． 解： 练13 数列满足，证明：数列是等差数列； 证：由已知可得，即 所以是以为首项，为公差的等差数列。 例14 已知数列中，，数列满足． 求证：数列是等差数列；并求数列的通项公式． 【数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．】 练14 数列满足递推关系，且，求和的通项公式． 解： 【2.等比数列】 考点一 等比数列的通项及求和 例1 已知等比数列满足，，则（ ）【A】 A． B． C． D． 练1 等比数列中，，则数列的通项公式为（ ）【A】 A． B． C． D． 例2 已知是由正数组成的等比数列，为其前项和，若，，则（ ）【B】 A． B． C． D． 练2 已知在等比数列中，，前三项之和，则的通项公式为（ ）【D】 A． B． C． D．或 例3 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ）【C】 A． B． C． D． 【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以. 设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以. 所以，即，化简得，解得：或(舍)，故选：C 练3 我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ）【C】 A． B． C． D． 【详解】记第天后剩余木棍的长度为，则是首项为，公比为的等比数列， 所以，，是关于的增函数， 而，， 所以使得不等式成立的正整数的最小值为11．故选：C． 考点二 等比数列的性质 例4 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）【B】 A． B． C． D． 【详解】由，得，所以故选：B 练4 在等比数列中，若，，则（ ）【C】 A． B． C． D． 【详解】解：是等比数列，， ，故选：C 例5 设正项等比数列的前项和为，且，若，则等于（ ）【C】 A．或 B． C． D． 练5 递增的等比数列中，，，则（ ）【D】 A． B． C． D． 【详解】为递增的等比数列，①，，又② ①②联立解得，，即 即，。故选：D 例6 设数列的前项和为，若， （1） 若数列为等差数列，则 ； （2） 若数列为等比数列，则 ． 【（1）；（2）】 练6 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【详解】解：当公比为时，显然不符合题意；当公比不为时，由等比数列的性质可知，，也成等比数列，所以，即， 所以，故选：B. 练7 等比数列的前项和为，若，则等于（ ）【D】 A． B． C． D． 考点三 等差数列与等比数列综合应用 例7 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则（ ）【B】 A． B． C． D． 【详解】因为，，成等差数列，所以，设公比为，，，，从而，故选：B 练8 已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列．其前项和为，且，则（ ）【C】 A． B． C． D． 【详解】 解：由，，成等差数列，得：，设的公比为，则， 解得：或，又单调递减，，，解得：， 数列的通项公式为：，，故选：C． 练9 设为等比数列的前项和．若且成等差数列，则＝ ．【】 例8 在公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，前7项和为35，则数列的通项等于（ ）【B】 A． B． C． D． 【详解】由题意得，等差数列中，，，依次成等比数列，故，则， 故①，又数列7项和为35，则②，联立①②解得：，， 故，故选：B. 练10 已知等差数列，公差成等比数列， ．【】 【详解】 由成等比数列，可得，即， 整理得，所以，故答案为：. 例9 （提高）等差数列的前项和为，公差不为0，且成等比数列，则的最小值为（ ）【A】 A． B． C． D． 【详解】设等差数列的公差为d，由于成等比数列，所以， 又，所以，解得或 (舍去)， 所以， 则， 当且仅当时取等号，此时，且取到最小值8，故选：A. 练11 已知等差数列的公差，且成等比数列，若，是数列的前项和，则的最小值为（ ）【A】 A． B． C． D． 【详解】∵，成等比数列，∴，得或（舍去），∴ ∴，∴．令，则， 当且仅当，即时，∴的最小值为4．故选：A． 考点四 等比数列的判定与证明 例10 已知数列满足，，设，求证：数列是等比数列． 【详解】 由，，可得， 因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列 练12 已知数列的首项，证明：数列是等比数列． 【详解】证明：因为，所以,所以 所以数列是以为公比，以为首项的等比数列； 练13 （1）已知数列满足，且，求证：是等比数列； （2）已知数列的前项和为，且，证明：数列是等比数列． 【详解】 （1）∵，∴， 又，∴是首项为，公比为的等比数列. （2）∵，∴，两式相减得，，即， 又当时，，∴.∴数列是首项为，公比为的等比数列. 【3.数列通项】 考点一 利用与关系求通项公式 例1 已知数列的前项和，则其通项公式为___________． 【】 练1 已知数列的前n项和．求数列的通项公式； 【】 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； 练2 已知数列的前项和满足，求数列的通项公式． 解：（1）①，当时，即 当时，②，①减②得 经检验时，成立，故 例2 已知数列的首项，前项和为，，．求数列的通项公式； 【】 练3 在数列中，是其前项和，且，则数列的通项公式__________． 【】 例3 为数列的前项和.已知，，求的通项公式. 【解：由，可知，可得：，即，由于，所以，又，解得，所以是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为.】 练4 已知为正项数列的前项和，且满足，求数列的通项公式． 解：由可得，时，解得 当时，① ② ①-②得 由于，所以 又由（1）知， 故数列{an}为首项为1，公差为1的等差数列， 故 例4 已知数列满足，则数列的通项公式为__________． 【】 练5 在递增等比数列中，，，且数列满足，求． 解：，∴ （1） -（2），得，∴ 考点二 累加法：适用于数列的后一项与前一项之间满足的关系 令即可． 例5 数列满足，根据以下条件求数列的通项公式： （1） ； （2）； （3）； 解：（1）【】；（2）【】；（3）【】 练6 在数列中，，则通项公式_________．【】 考点三 迭乘法（累乘法）：适用于数列的后一项与前一项之间满足的关系 令即可． 例6 数列满足，根据以下条件求数列的通项公式． （1）； （2）； （3）； 【】【】【】 练7 已知数列，求=_________．【】 练8 已知数列满足，且．求数列的通项公式； 【】 【详解】∵，，，∴， ∴， ∴，，，…，， 将上述式子左右分别相乘得， ∴． ∵满足上式， ∴． 考点四 构造法求通项公式 【类型一】，其中为常数． 例7 已知数列中，，求数列的通项公式． 【解】 练9 已知数列中，，求数列的通项公式． 【解】 【类型二】已知，其中为关于的一次函数． 例8 已知数列中，，求数列的通项公式． 【】 练10 已知数列满足，求数列的通项公式． 【答案】 【类型三】已知，其中为关于的指数型函数． 例9 已知数列中，，求数列的通项公式． 【解】 练11 已知数列中，，求数列的通项公式． 【解】 例10 在数列中，，，求通项公式； 【详解】 解：（1）设， 比较系数得，． 则数列是一个等比数列，其首项，公比是2． ，即． 练12 已知数列中，，求． 【解】 练13 （2021高三八省联考）已知各项都为正数的数列满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，，求的通项公式． 【（1）略（2），因为，所以构造，得，所以】 考点五 取倒数法：若，则两边取倒数可求通项公式． 例11 数列中，，则的通项 ．【】 练14 数列中，，则的通项 ．【】 考点六 周期型解法 例12 若数列满足且，则等于( )【D】 A．3 B．2 C. D. 练15 已知数列的首项为2，且数列满足，数列的前项的和为，则等于( )【C】 A． B． C． D． 【解：周期是4，，所以，所以】 【4.数列求和】 考点一 公式法（已知是等差或等比数列） 例1 已知等差数列满足：成等差数列，且成等比数列. 求数列的通项公式； 【】 【详解】设等差数列的公差为d， 由题知，， 又，解得， 故. 练1 已知公比为的等比数列的前6项和，且成等差数列． （1）求； （2）设是首项为2，公差为的等差数列，记前项和为，求的最大值． 解：（1）成等差数列， ∴，即，∴， ∴，解得，所以. （2）由（1）可知是首项为2，公差为的等差数列，∴， 于是，则的最大值为7，此时或7. 例2 已知等差数列与正项等比数列满足，且既是等差数列，又是等比数列． 求数列和的通项公式； 【】 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题得， 即， 解得， 所以. 练2 已知等差数列的首项，公差，等比数列满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列对任意均有，求数列的前项和. 解：(1) (2) 考点二 分组求和 例3 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式以及前项和； （2）若，求数列的前项和． 【答案】(1)，；(2). （1）解：依题意，，， 故，解得， 故， 故，． （2）解：依题意，， 故 ． 练3 已知各项均为正数的等差数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求的前项和． 【答案】(1)或； (2). 解：（1）设各项均为正数的等差数列的公差为，根据题意或，所以或. （2）因为，所以，则，于是. 练4 在等比数列中，，且，又的等比中项为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和为． 【答案】(1)；(2) 解：(1)设数列的公比为q，因为的等比中项为16，所以， 因为，所以，则可得， ∵，则，∴，∴； (2)由（1）可知，从而数列是首项为16､公比为4的等比数列， 例4 已知在前n项和为的等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前20项和． 【来源】辽宁省辽西联合校2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据等差数列前n项和、通项公式求首项与公差，进而写出通项公式. （2）首先判断、对应n的范围，再根据各项的符号，应用分组求和及等差数列前n项和求. 解：(1)由，则， 由，则， 所以，即，故， 则. (2)由（1）知：，可得，即，故时， 所以. 练5 数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【来源】四川省凉山州宁南中学2021-2022学年高一下学期第二次月考数学（文）试题 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 当时，，利用得到通项公式，验证得到答案. (2)根据的正负将和分为两种情况，和，分别计算得到答案. 【详解】(1)当时，， 当时，. 综上所述. (2)当时，，所以 ， 当时，， . 综上所述. 【点睛】本题考查了利用求通项公式，数列的绝对值和，忽略时的情况是容易犯的错误. 例5 已知是数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【来源】山东师范大学附属中学2022届高三下学期高考考前检测（打靶题）数学试题 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对条件变形得到，得到，求出通项公式；（2）写出的通项公式，分组进行求和. 解：(1)变形为， 因为， 所以，故； (2)当为奇数时，， 当为偶数时，， 则 练6 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，，. (1)求和的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和. 【来源】江苏省南师附中、淮阴中学、天一中学、海门中学2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）设公差为d，公比为q，即可根据题意列出方程组，解出，即可得到和的通项公式； （2）根据分组求和法即可解出． (1)设公差为d，公比为q，由，以及，即，而，解得：，，所以，． (2) 例6 已知数列满足，. (1)记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据递推关系，求出 的通项公式即可证明； （2）将 前2n项之和分为奇数项和偶数项分别求和即可. 解：(1)因为，当n为奇数时， ，当n为偶数时，   ，且， 所以， 所以，∴， 所以为以2为首项，2为公比的等比数列，所以； (2)因为， 所以， 所以数列的前项和； 综上，所以，数列的前项和. 练7 已知数列满足 (1)记，写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前2022项和. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据的定义求得，求出，由等比数列通项公式可得结论； （2）由得，，然后用并项求和法结合等比数列前项和公式计算． (1)， 又 (2)，则 例7 （提高）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和． 【来源】山东省东营市胜利第一中学2022届高三仿真演练试题数学押题卷 【答案】(1)，；(2)11522 【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项； （2）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可． (1)由 得： ∵ 是首项，公差为2的等差数列 ∴ 又当时，得 当，由…① …② 由①－②整理得：， ∵，∴，∴， ∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故； (2)依题意知：新数列中，（含）前面共有：项． 由，（）得：， ∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，； ∴． 练8 （提高）数列的前n项和为，且（） （1）若数列不是等比数列，求； （2）若，在和（）中插入k个数构成一个新数列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有数依次构成首项为1，公差为2的等差数列，求的前50项和． 【来源】福建省福州、厦门、泉州、漳州、龙岩、南平、三明、宁德等市2021届高三4月诊断性练习数学试题 【答案】（1）；（2）2694. 【分析】（1）根据式子特点，利用 ，得出，以及不是等比数列得出； （2）求出，将数列分为的前9项及的前41项，分组求和即可. 【详解】解法一：（1）由， 得，则， 所以. ①当时，不是等比数列，符合题意； ②当时，， 所以，所以是首项为，公比为2的等比数列，与已知矛盾. 综上，，从而，即. （2）因为，则，由（1）知是首项为，公比为2的等比数列，，所以. 设插入的所有数构成数列，则， 因为，， ，， 所以，，，…，中包含的前9项及的前41项， 所以 . 解法二：（1）由①， 时，②， ①-②得，， 所以，所以. 当时，，得，所以， 所以， 因为不是等比数列，所以， 事实上，若，则，从而， 此时是首项为，公比为2的等比数列，与已知矛盾.所以，即. （2）同解法一. 解法三：（1）由①， 时，②， ①-②得，，所以， 则， 所以 ， 所以. 当时，，得，所以， 若，则， 此时是首项为，公比为2的等比数列，与已知矛盾，所以，则，即. 考点三 错位相减求和 例8 已知等差数列和等比数列满足，，，，． （1）求和的通项公式； （2）若数列满足，求的前项之和． 【答案】(1)， (2) (1)，即，，即，解得，， 故，. (2)， ，则， 两式相减得到：， 故. 练9 等差数列的公差不为，满足成等比数列，数列满足． （1）求数列与的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (1)解：由已知，又，所以 故 解得（舍去）或 ∴ ∵① 故当时，可知，∴， 当时，可知② ①②得 ∴又也满足，故当时，都有； (2)解：由（1）知， 故③， ∴④， 由③④得 整理得. 例9 若等比数列的各项为正，前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (1)设各项为正的等比数列的公比为，，， 则，，， 即， 解得或（舍去）， 所以， 所以数列的通项公式为. (2)因为是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. 由（1）知，所以. 所以① 在①的等式两边同乘以，得 ② 由①②等式两边相减，得， 所以数列的前项和. 练10 已知数列的首项，前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 解：（1）当时，，当时，由，得， 两式相减得，，即，所以，而， 所以数列是以3为公比，1为首项的等比数列，所以， （2）由（1）得，所以， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以 考点四 裂项相消求和 例10 在数列中，.其前项和满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (1)由题意，数列满足，可得， 因为，所以，可得， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 所以，可得. (2)解：由， 所以. 练11 已知等差数列和递增的等比数列满足. (1)求和的通项公式； (2)若=，记数列的前n项和为，证明：－≤≤. 【来源】福建省厦门市2022届高三毕业班3月第二次质量检测数学试题 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列的性质结合题意可得，从而可求出公比，则可求出，由此可得的值，从而可求得等差数列的公差，进而可求得， （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得，再利用函数的单调性可证得结论 (1)因为是等差数列，所以， 所以，即， 设的公比为，则，即， 解得或， 因为是递增数列，所以， 所以． 所以，所以的公差为， 所以． (2)证明：因为， 所以 ． 因为在和上单调递增， 所以，所以． 练12 数列的前项和为，且，等比数列满足，. （1）求数列与的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】(1)an＝n＋2，bn＝2n(n∈N*) (2) (1)当n＝1时，a1＝S1＝3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ 显然符合上式，∴an＝n＋2. ，所以等比数列中， ∵b2＝a2＝4，b3＝a6＝8， 设{bn}的公比为q，则q＝， ∴bn＝b2·qn－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*). (2)根据（1）中的结果得，cn＝log2bn＝n， 设数列的前n项和为Tn， 则Tn＝ = = ＝. 例11 已知数列的前项和为，且，，成等差数列.且数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (1) 因为2，，成等差数列，所以① 当时， 当时，② 两式相减得，即 所以数列为等比数列，故 (2) 因为，所以，，，， 即 故 即 练13 已知等比数列的各项均为正数，且，． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）已知，求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). (1)由题可得， ∵，∴． 设数列的公比为，则， ∴，∴， ． (2)由(1)得， ∴ ． 例12 数列的通项公式为，若该数列的前项之和等于，则 ． 【答案】 ， 所以数列的前项之和为， 解得. 故答案为：. 练14 已知各项均为正数的等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以1为首项，2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式计算可得； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可． (1)解：各项均为正数的等差数列满足，， 整理得， 由于，所以， 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以． (2)解：由（1）可得， 所以． 考点五 并项求和（提高） 例13 已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，设，数列的前项的和为，则 ． 【答案】3032 设等差数列的公差为， 由于a1，a3，a11成等比数列， ∴，即(a5－2d)2＝(a5－4d)·(a5＋6d). ∴14d2＝3a5d. 又d≠0，a5＝14，知d＝3， 因此an＝a5＋(n－5)×3＝3n－1，bn＝(－1)n＋1(3n－1). ∴S2 021＝b1＋b2＋b3＋…＋b2 021 ＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2 020＋b2 021) . 故答案为： 练15 在等差数列中，，，若数列的前项和为，则 ． 【答案】 设等差数列公差为d，由题可知，解得，则. 当为偶数时， 当为奇数时，，所以.故答案为：. 例14 设各项均为正数的数列的前项和为，满足对任意，都有. （1）求证：数列为等差数列； （2）若，求数列的前n项和. 解：（1），当时，，，当时，， 两式相减得，， 则，两式相减得，即，因为各项为正， ，当时，则，即，解得，满足， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可得，， 当为偶数时， ， 当为奇数时，，综上，. 练16 已知为数列的前项和，且，，，． （1）求数列的通项公式； （2）若对，，求数列的前项的和． 解：，．时，，且，解得． 时，，化为：， ，，数列是等差数列，首项为1，公差为3． ． ．． 数列的前2n项的和． 1 2 3 学科网（北京）股份有限公司 $