专题09：圆锥曲线讲义-2026届高三数学二轮专题复习

2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题10 圆锥曲线 题型01：坐标平面上的直线 1．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 2. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 过点且与垂直的直线方程是（    ） A B. C. D. 4. 直线，则“” 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.直线与直线的夹角大小为_______． 题型02：圆 6.以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 7. 已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ） A B. C. D. 8. 若点在圆外，则的取值范围是___________. 9．已知是平面直角坐标系中的点集，直线：，则中的点到直线距离的最大值为 . 10. 已知直线和圆相切，则实数___________． 11. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 13. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 14. 若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 4 D. -4 题型03：圆锥曲线的定义与标准方程 15.下列拋物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 16.到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 17. －＝4表示的曲线方程为（    ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 18. 若，，，四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆C的方程为________. 19.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型04：圆锥曲线的性质 20. 设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 21.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22. 已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 23. 已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. 5 D. 3 24. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 25.已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 26. 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴下方），则______． 题型05：焦点三角形 27.已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为_______ 28. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，是上的点.若，则的值为______. 29.已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 30.已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．    31. 已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A. B. 4 C. D. 16 题型06：双曲线的渐近线 32.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为 . 33. 若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 34. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A. B. C. D. 35.已知双曲线的一条渐近线方程为，则_________. 36. 以直线与为渐近线的双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 或 题型07：圆锥曲线的离心率问题 37. 双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为__________. 38. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 39. 设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 40. 已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD的中点为，则C的离心率是______． 41. 已知双曲线C： =1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. +l 42．斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为 . 43．若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________． 44.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________． 45．如图，已知双曲线与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为 ． 题型08：圆锥曲线上线段及线段和差最值问题 46. 已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 47. 已知点满足，则的最小值为（　　） A 2 B. C. D. 4 48.设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 49.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为_______ 题型09：定点定值定直线问题 50. 已知双曲线与椭圆焦点相同，且离心率之比为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 51．已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，，为椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆C上（不包括端点），当时，的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点，，直线，分别与椭圆C交于异于点P的M，N两点，记直线，的斜率分别为，，求的值， 52. 已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为． （1）求抛物线E的方程； （2）过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点． 题型10：最值与范围问题 53. 已知以为圆心的圆上有一个动点，，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为. （Ⅰ）求轨迹的方程； （Ⅱ）过点作两条相互垂直的直线分别交曲线于四个点，求的取值范围. 54. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与外接圆的半径分别为，，求的最小值. 题型11：存在性问题 55. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 56. 已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线AB与抛物线的准线l相交于点M，在抛物线C上是否存在点P，使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 57. 已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习满分冲刺（华侨港澳台） 专题10 圆锥曲线 题型01：坐标平面上的直线 1．（2025·上海奉贤·二模）已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 2. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 3. 过点且与垂直的直线方程是（    ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设所求直线方程为，把点代入得的值即可. 【详解】设与垂直的直线方程为， 把点代入得，解得， 故所求直线方程为. 故选：C. 4. 直线，则“” 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由直线平行可得且不重合，得到，再由逻辑命题条件的判定即可求解． 【详解】当时，，解得或， 时，，此时， 时，，此时重合， 所以若，则， 故“” 是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 5.直线与直线的夹角大小为_______． 【答案】## 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 题型02：圆 6.以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可. 【详解】圆心为，圆过点，则圆的半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 7. 已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 8. 若点在圆外，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一般方程表示圆以及点在圆外可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由已知条件可得，解得. 故答案为：. 9．已知是平面直角坐标系中的点集，直线：，则中的点到直线距离的最大值为 . 【答案】对于方程， 将替换为，则， 化简得，方程不变， 故方程表示的曲线关于轴对称， 同理可得方程表示的曲线关于轴对称. 当时，方程可化为， 即,表示以为圆心，半径为的圆在第一象限及轴正半轴的部分. 根据对称性可作出方程表示的曲线的图形，如图所示： 设, 到直线：的距离为， 所以直线：与相交. 设与直线：平行，且与相切的直线为， 则，解得或， 由图可得不符合题意，故， 故. 由图可得中的点到直线距离的最大值为直线：与直线的距离，即为. 10. 已知直线和圆相切，则实数___________． 【答案】0或 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求的值. 【详解】因为直线：与圆相切， 故圆心到直线的距离， 解得，或. 故答案为：或0. 11. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得圆心到直线的距离，解不等式即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知圆心到直线的距离，化简得， 故. 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题. 12. 已知是直线 上一动点，过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离转化求四边形周长的最小值. 【详解】圆，即， 由对称性可知，四边形的周长为， 而，的最小值为点到直线的距离为， 所以的最小值为，则四边形的周长的最小值为. 故选：B 13. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，再根据垂径定理和点到直线的距离公式可得. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 联立与得公共弦所在直线为， 圆心到直线的距离为， 故弦长为， 故选：C 14. 若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 4 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件直接求出两圆圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆化简得，则，即， 则圆的圆心为，半径， 又圆与圆有且仅有三条公切线，故两圆外切， 则，即，解得. 故选：B. 题型03：圆锥曲线的定义与标准方程 15.下列拋物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程及焦点坐标即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为：，焦点坐标为， 由题意得，所以， 所以抛物线的标准方程为：. 故选：. 16.到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 17. －＝4表示的曲线方程为（    ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 【答案】C 【解析】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合. 根据双曲线定义可知， 所以   由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大 所以 即曲线方程为 故选：C. 18. 若，，，四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆C的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由于，关于轴对称，故由题设知C经过，两点，C不经过点，然后求出a，b，即可得到椭圆的方程. 【详解】解：由于，关于轴对称，故由题设知经过，两点，所以. 又由知，不经过点，所以点在上，所以. 因此，故的方程为. 故答案为：. 【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法： ①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出，；若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为． 19.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 题型04：圆锥曲线的性质 20. 设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA'的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值. 【详解】解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|可得|AF|m， 由抛物线的方程可得：F（1，0）， 过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'， 过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点， 则△BFD∽△BAC，所以， 即，解得：m， 所以2， 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题. 21.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B 22. 已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心及抛物线的焦点坐标即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，而圆的圆心为， 依题意，，所以. 故选：A 23. 已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为拋物线的焦点是，所以， 因为点在抛物线上，所以． 故选：C． 24. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线与抛物线交于两点，且， 根据抛物线的对称性可以确定，所以， 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 25.已知抛物线上有一点到准线的距离为，点到轴的距离为，则抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意求出点的纵坐标，结合点到准线的距离可求出的值，即可得出抛物线焦点的坐标. 【详解】抛物线的准线方程为， 设点，则，由于点到准线的距离为，可得， 因为点到轴的距离为，则，所以，，解得， 故抛物线的方程为，其焦点坐标为. 故答案为：. 26. 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴下方），则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，结合已知条件列出直线方程，联立直线与抛物线方程求出交点横坐标，再利用焦半径公式求解． 【详解】 抛物线的焦点，直线斜率， 直线方程为， 联立直线与抛物线方程得，展开整理得， 解得或， 已知点A在x轴下方，故， 由焦半径公式可得，， ． 故答案为：． 题型05：焦点三角形 27.已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为_______ 【解析】因为， 所以， 又 记，则， ②2-①整理得：，所以 28. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，是上的点.若，则的值为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义写出与，然后代入求解，即可求出. 【详解】由题意可知，，由椭圆的定义知，，则，所以. 故答案为：. 29.已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 【答案】/ 【分析】设，由椭圆的定义得，利用余弦定理求得，再由正弦定理即可求得，继而得到. 【详解】如图，设，则，因，故，    由余弦定理，， 即， 将代入，整理得：， 解得，则有，， 由正弦定理：，即， 解得， 因，故. 故答案为：. 30.已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与双曲线方程联立求出点的坐标，即可根据三角形的面积公式求出的面积. 【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为， 依题意，直线的方程为， 由，解得，则点的坐标为， 所以的面积为. 故答案为： 31. 已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A. B. 4 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知，，再代入求解即可． 【详解】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 题型06：双曲线的渐近线 32.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】求出两渐近线方程，得到，从而得到离心率. 【详解】两条渐近线互相垂直，由对称性可知，两渐近线的倾斜角分别为， 渐近线方程为，故， 所以渐近线的离心率为. 故答案为： 33. 若双曲线的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 34. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可． 详解： 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选D 点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题． 35.已知双曲线的一条渐近线方程为，则_________. 【答案】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 依题意，解得. 故答案为： 36. 以直线与为渐近线的双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，分双曲线的焦点在轴和轴两种情况，求出间的关系，再利用，即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线为与， 若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为， 则，所以双曲线的离心率为， 若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为， 则，所以双曲线的离心率为， 综上所述，双曲线的离心率为或， 故选：D. 题型07：圆锥曲线的离心率问题 37. 双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】因为轴，所以,再利用双曲线的定义即可求得答案. 【详解】因为轴，所以为通径的一半，故， 在中，因为，所以， 所以，即，可得. 故答案为：. 38. 已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，，直线与轴交于点，与直线交于点，且平分，则此椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求得，由角平分线定理，结合离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】如图，由题意可知， 所以， 所以， 因为平分，所以， 解得，所以，所以离心率， 故答案为：. 39. 设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的性质得到，然后在和在中利用勾股定理、余弦定理可得． 【详解】由题意，可知 在中，， 故在中，由余弦定理， 即，化简得，因，则得 故 故选：B. 40. 已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD的中点为，则C的离心率是______． 【答案】2 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程，利用点差法，可求得，代入离心率公式，即可得答案. 【详解】设，则， 两式作差可得：，即， 因为为BD中点， 所以， 又直线BD斜率为1， 所以，代入可得，， 所以C的离心率. 故答案为：2 41. 已知双曲线C： =1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. +l 【答案】D 【解析】 【分析】 假设已知直线的倾斜角为，根据直线的斜率为，可知，可得，然后根据，可得点坐标，最后代入双曲线方程化简并结合，可得结果. 【详解】设已知直线的倾斜角为 由题可知：， 所以 又，所以，即 所以 又，所以，又 所以 化简可得：， 所以 所以，又，所以 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率，关键在于得到点坐标，考验计算能力，属中档题. 42．斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为 . 43．若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________． 【答案】 44.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________． 【答案】2 45．如图，已知双曲线与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】由题可知关于原点对称，所以， 又在双曲线上，所以， 则， 所以， 即， ∴由，① 连接，可得， 可得，② 由①②联立可得，即，所以离心率. 故答案为：. 题型08：圆锥曲线上线段及线段和差最值问题 46. 已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值． 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直于准线，交准线于点， 则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为． 故选：A． 47. 已知点满足，则的最小值为（　　） A 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 48.设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 49.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为_______ 【解析】由，所以有， 设圆的圆心为，半径为， 设该双曲线另一个焦点为，所以， 求的最小值转化为求的最小值， 因此当点依次共线时，有最小值， 即， 题型09：定点定值定直线问题 50. 已知双曲线与椭圆焦点相同，且离心率之比为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，记点关于轴的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析，定点的坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线和椭圆的焦点相同以及离心率之比为3这两个条件列方程求出的值即可确定双曲线的方程. （2）联合直线和双曲线方程组，结合韦达定理求出直线的方程，进而确定定点坐标. 【小问1详解】 由题知，，化简得. 解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 证明：设，则， 联立 消去整理得， 所以， 所以， 又直线的斜率， 所以直线的方程为， 由对称性易知，若直线过定点，则该定点在轴上， 令，得， 所以直线过定点，且该定点的坐标为. 51．已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，，为椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆C上（不包括端点），当时，的面积为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点，，直线，分别与椭圆C交于异于点P的M，N两点，记直线，的斜率分别为，，求的值， （1）当时，将代入椭圆方程可得，解得， 由题意得，解得， 所以的方程为. （2）设， 由于，在椭圆的内部，所以直线都与椭圆有两个交点， 由于在椭圆上，所以， 直线，直线， 联立，消去整理可得， 所以，故， 则，故， 联立，消去整理可得， 所以，故， 则，故， 故， 又，所以. 52. 已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为． （1）求抛物线E的方程； （2）过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，当时，，结合的面积，即可求得的值，进而可求得抛物线E的方程； （2）由题意可得，则直线的斜率一定存在且不为0，设其方程为，联立后结合韦达定理，可得，因为过的两条直线垂直，则，结合抛物线方程，可得，代回直线方程即可求得定点. 【小问1详解】 当时，，，所以 由题意可知， 所以，所以抛物线的方程为 【小问2详解】 因为过点作两条相互垂直的直线与抛物线有2个交点， 则直线的斜率一定存在且不为0， 设其方程为， 联立，得，且有， ， 根据题意，由于过的两条直线垂直，则， 且有，即， 即 即，化简整理得到，所以， 将其代入，整理得， 若对任意等式都成立，则有，即， 故直线恒过定点. 题型10：最值与范围问题 53. 已知以为圆心的圆上有一个动点，，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为. （Ⅰ）求轨迹的方程； （Ⅱ）过点作两条相互垂直的直线分别交曲线于四个点，求的取值范围. 【答案】（I）；（II）. 【详解】试题分析：（I）利用线段垂直平分线的几何性质，易得满足椭圆的定义，从而求出轨迹的方程；（II）依题意，过做两条相互垂直的直线，那么我们可以设其中一条的斜率为，另一条的斜率就是，利用点斜式求出直线的方程，然后联立直线的方程和椭圆的方程求出弦长，最后求最值. 试题解析：（Ⅰ）连接，依题意得，所以 所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，所以，， 所以的轨迹方程式. （Ⅱ）当直线，中有一条直线的斜率不存在时， 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，设， 联立，整理得 ，所以 设直线的方程为，所以 所以 设，所以，所以 因为，所以，所以的取值范围是 考点：1、椭圆的定义；2、直线和椭圆的位置关系；3、弦长公式；4、最值问题. 54. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与外接圆的半径分别为，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【分析】(1)将点的坐标代入方程可得，结合离心率算出a、b即可； (2)根据题意求出点A、B坐标，设椭圆C上动点，利用两点连线的斜率公式可得 ，设出直线PA、PB方程，根据点M、N坐标求出，利用正弦定理表示 ，结合基本不等式即可得出结果. 【小问1详解】 由题意知. ，∴，，∴椭圆. 【小问2详解】 由已知得，，设椭圆C上动点， 则利用两点连线的斜率公式可知，， ∴， 设直线PA方程：，则直线PB方程为：， 根据对称性不妨设，令，得，， 即，，则， 设与的外接圆的半径分别为，， 由正弦定理得：，， 又∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 题型11：存在性问题 55. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)． (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． [规范解答]　(1)由题设得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3．所以C的方程为＋＝1． (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN与x轴不垂直， 设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0． 于是x1＋x2＝－，x1x2＝．① 由AM⊥AN，得·＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0． 将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0， 整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0． 因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1． 所以直线MN的方程为y＝k－(k≠1)．所以直线MN过点P． 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．由·＝0，得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0． 又＋＝1，所以3x－8x1＋4＝0．解得x1＝2(舍去)，x1＝．此时直线MN过点P． 令Q为AP的中点，即Q． 若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝|AP|＝． 若D与P重合，则|DQ|＝|AP|． 综上，存在点Q，使得|DQ|为定值． 56. 已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，|AB|＝4． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线AB与抛物线的准线l相交于点M，在抛物线C上是否存在点P，使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． [规范解答]　(1)因为F，在抛物线y2＝2px中，令x＝，可得y＝±p， 所以当直线与x轴垂直时|AB|＝2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x． (2)不妨设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)， 因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，所以M． 联立消去x，得y2－4my－4＝0， Δ＝16m2＋16>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 若存在定点P(x0，y0)满足条件，则2kPM＝kPA＋kPB，即2＝＋， 因为点P，A，B均在抛物线上，所以x0＝，x1＝，x2＝． 代入化简可得＝，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4代入整理可得 ＝，即(m2＋1)(y－4)＝0， 因为上式对∀m≠0恒成立，所以y－4＝0，解得y0＝±2，将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1， 所以在抛物线C上存在点P(1，±2)，使直线PA，PM，PB的斜率成等差数列． 57. 已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为椭圆的长轴长为，离心率为， 所以，． 所以，．所以． 所以椭圆的方程为． （2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，． 联立方程组， 消去，化简得． 则，即, 设，， 所以，． 所以直线TM的方程为，直线的方程为． 所以，． 所以，， 所以 ． 所以当时，为定值， 即（负值舍）时，有定值． 当时，若直线l斜率不存在， 不妨设，， 所以，． 所以． 综上，当时，有定值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $