圆锥曲线中点弦的问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

高考中圆锥曲线弦的中点弦问题 解决圆锥曲线中点弦问题的思路 （1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得　　　　　到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解. （2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为，，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和直线的斜率有关的式子，，可以大大减少计算量. 走进教材 例１（人B选修①P179C组T2改编）已知椭圆：与动直线：相交于，两点． 求实数的取值范围； 设弦的中点为，求动点的轨迹方程． 【解析】 联立直线与椭圆方程得消去得  ，则，解得，故实数的取值范围是． 设弦的中点，，，由中式可得消去可得，即动点的轨迹方程，注意由的取值范围可得所以动点的轨迹方程为． 另解  点差法．设，，，则，由点，在椭圆上得，，两式相减得，即，，即，即要保证弦存在，需限制为椭圆的范围，由中的取值范围可知，则动点的轨迹方程为． 走向高考 例2 [2022·浙江省历年真题]如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点不同于． 【解析】解：因为，则， 则抛物线的焦点坐标； 由题意可设直线：，点， 将直线的方程代入椭圆：，得， 点的纵坐标， 将直线的方程代入抛物线：得， ，可得， 因此， 由可得， 即，得，当且仅当时，等号成立， 存在不过原点的直线使为线段的中点，且的最大值为． 若，求抛物线的焦点坐标 若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值． 针对训练题 1、 单选题 1.若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为(    ) A. B. C. D. 2.若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为(    ) A. B. C. D. 3.已知椭圆：，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边、、的中点分别为、、，且三条边所在直线的斜率分别为、、均不为为坐标原点，若直线、、的斜率之和为，则(    ) A. B. C. D. 4.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为(    ) A. B. C. D. 5.已知点，是抛物线上的两点，点是线段的中点，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是(    ) A. B. C. D. 7.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为 A. B. C. D. 8.已知直线与双曲线交于、两点，若线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题 9.已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，，，两点，若，是线段的中点，则下列结论正确的是  (    ) A. B. 抛物线的方程为 C. 直线的方程为 D. 10.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，经过左焦点的直线与椭圆相交于、两点，，则以下说法正确的是(    ) A. 的周长为 B. 的面积的最大值为 C. 记关于坐标原点的对称点为，则 D. 若为的中点，则的轨迹方程为 11.已知椭圆，斜率为且不经过原点的直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，为线段的中点，则下列结论正确的(    ) A. 若直线斜率为，则 B. 若点的坐标为，则直线的方程为 C. 若直线的方程为，则 D. 若直线过椭圆右焦点，则线段的最小值为 3、 解答题 12.已知双曲线的实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为． 求双曲线的方程 过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程． 13.已知抛物线：的焦点到其准线的距离为． 求的方程； 过点的直线与交于，两点，且，求的方程； 设的焦点为，，，是上不同的三点，若，，求的值． 14.已知抛物线的焦点到其准线的距离为． 求的方程； 过点的直线与交于，两点，且，求的方程； 设的焦点为是上不同的三点，若，，求的值． 针对训练题答案与解析 1. 【分析】 本题主要考查了椭圆的的中点弦问题，属于一般题． 设弦两端点为，运用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化即可求解． 【解答】 解：设弦两端点为， 根据题意可得，， 则 得 ， 即直线为，化简得， 故选C． 2. 【分析】 本题考查直线与椭圆的位置关系，直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题． 利用点差法求解得  ，再根据点斜式求解即可得答案． 【解答】 解：设  ，则 所以  ，整理得  ， 因为  为弦  的中点， 所以  ， 所以  ， 所以弦  所在直线的方程为  ，即  ． 故选A． 3. 解：由题意知：， 设，，，则：，：， 两式作差得， 则，， 同理可得，； 所以， 故选：． 设出的坐标，通过平方差法转化求解斜率，然后推出结果即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 4. 【分析】 本题考查椭圆点差法的应用． 设出，坐标，代入椭圆方程后作差，运用中点坐标公式，化简整理，求得斜率即可得到椭圆方程． 【解答】 解：设，， 将点代入椭圆方程后作差得  ，， ． 而， ，， ， ，， 的方程为． 故选D． 5. 【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题． 利用中点坐标公式及作差法，求得直线的斜率，从而可得直线的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式及韦达定理，即可求得的值． 【解答】 解：设，， 则，， 由中点坐标公式可知：， 两式相减可得，， 则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 联立方程，消去，得， ， ，， 所以 ． 故选C． 6. 【分析】 本题考查向量与抛物线的综合问题。 【分析】设，由题意可得为的中点，然后利用中点坐标公式和斜率公式可求得结果． 【解答】 解：设，则， 因为，所以为的中点， 所以， 故直线的斜率． 故选： 7. 【分析】 本题考查直线与椭圆的位置关系，点差法的应用，属于一般题． 设出，坐标，代入椭圆方程后作差，运用中点坐标公式，化简整理，求得斜率即可得到椭圆方程． 【解答】 解：设，， 将点代入椭圆方程后作差得  ，， ． 而， ，， ， ，， 椭圆的方程为． 故选D． 8. 【分析】 设出，的坐标，代入双曲线方程，作差后利用中点坐标公式代入即可求得直线的斜率． 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“点差法”求直线的斜率，涉及中点弦问题，常采用这种方法，是中档题． 【解答】 解：设，， ，在双曲线上，，， 两式作差可得：，即， ， 线段的中点为，，， ． 即直线的斜率为． 故选：． 9. 【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的几何性质，属于中档题． 根据条件得到抛物线方程为，利用“点差法”求出直线的斜率，得到直线的方程为，和抛物线方程联立求出，即可得到答案． 【解答】 解：焦点到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，故A正确； 故抛物线方程为，焦点，故B错误； 则， 若是线段的中点， 则， ，即， 又直线经过焦点， 直线的方程为，故C正确； 又由可得， ， ，故D正确． 故选ACD． 10. 【分析】 本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系中的最值问题以及轨迹问题，属于较难题． 首先由已知得到，对于，根据椭圆定义即可判断；对于，因为椭圆的方程可写为：，即，直线的斜率不为，其方程可设为，设，，根据的面积， 所以解直线方程与椭圆方程的联立方程组，求出，然后利用换元法，结合基本不等式即可求出面积的最大值，据此即可判断；对于，由选项可知，，然后由点差法可得：，再利用基本不等式，求出的最小值，即可判断；对于，设，仍然利用点差法，可得当时，，即，结合直线方程：，消去，得到，再验证当时，，其坐标是否也满足方程，最后综合即可判断． 【解答】 解：由已知，，所以由，得：，即 对于，的周长为，A错误； 对于，因为椭圆的方程可写为：，即，又，， 所以，而直线的斜率不为，其方程可设为， 由，得：， 显然，设，，则，所以 ， 于是的面积， 令，，因为， 当且仅当，即，时，的面积取得最大值，最大值为，所以B错误； 对于，由选项可知，，所以， 而，，所以， 于是， 所以，当且仅当，即时取得最小值，所以C正确； 对于，设，则，由选项可知： 当时，，所以，即， 又点在直线：上，所以消去，得：， 即； 当时，，其坐标也满足方程； 因此，的轨迹方程为，D正确． 故选CD． 11. 解：对于选项：设，，设为中点， 因为，在椭圆上， 所以，， 两式相减得：，即，  设为中点，则，，  那么， 又，，所以，选项错误； 对于选项：已知，则，由选项得，可得， 直线的方程为，即，选项正确； 对于选项：设，， 由，得，易得， 从而，， 则． ，选项正确； 对于选项：椭圆右焦点坐标为，因直线不过原点，所以斜率不为，且斜率存在， 则可设直线方程为，并设，， 由，得，易得， 由韦达定理，， 则 ． ， 因为，所以取不到最小值，选项错误． 故选BC． 12. 解：由已知，，则， 双曲线：的一条渐近线为， 点到双曲线的渐近线的距离为， ， ，， 双曲线的方程为； 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 设、、， 联立直线与双曲线的方程， 得， 消去，得， 由且， 得且 由韦达定理，得， 所以， ， 由， 消去，得． 由且，得或． 所以，点的轨迹方程为，其中或．  13. 解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到其准线的距离为， 所以抛物线方程为 设，因为，两点在抛物线上， 所以，两式相减可得：， 即， 因为，所以点为，的中点， 所以，又， 所以， 所以直线得方程为，即 因为，， 所以，， 设，，，其中，，互不相等， 则，，，， 由，， 得：，又，所以， ，又，所以， 得：， 即， 又，所以， 所以．   14. 解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到其准线的距离为， 所以抛物线方程为 设，因为，两点在抛物线上， 所以，两式相减可得：， 即， 因为，所以点为，的中点， 所以，又， 所以， 所以直线得方程为，即 因为，， 所以，， 设，，，其中，，互不相等， 则，，，， 由，， 得：，又，所以， ，又，所以， 得：， 即， 又，所以， 第21页 学科网（北京）股份有限公司 $