圆锥曲线中焦点弦长统一公式推导讲义-2026届高三二轮专题复习

重要二级结论：圆锥曲线中焦点弦长统一公式推导 在有关圆锥曲线章节解题中,经常会遇到求曲线的弦长问题,特别涉及最多的是求经过曲线焦点的弦长或弦长最值问题;那么,过圆锥曲线的一个焦点作一直线交曲线于两点,如何求出弦的长?弦长的最值又是多少?下面笔者将用多种方法来阐述和解决这一类问题;在这些解题思想方法中,它们都具有通性和通法的特点,且这些方法易于理解,掌握它们不需要拥有很强的技巧性但都具有解题示范性作用,这些处理问题的思路与方式都是一些有用、实效的好方法;希望大家学会并掌握这些思维方法与解题技能,相信它们对我们在今后的学习和解题中定能起到示范和引领作用;且这类焦点弦长可用公式统一表示出来,我们完全可以把这些有关式子当作教科书上的定理、公式一样来理解和记忆,在日后的解题应用中(特别是解选择题和填空题)非常省事、管用,能起到事半功倍之效. 一、抛物线中的焦点弦长公式推导 设抛物线标准方程为,过其交点作一倾斜角为的直线与抛物线交于两点.(1)求弦的长;(2)求弦长的取值范围. (1)、解法1:设,,焦点;由抛物线焦半径公式知,.①当轴时,设为,代入中化简得:,因在抛物线内部且,显然与抛物线有两个不同交点,即方程的恒成立,由韦达定理得,且斜率;则弦长 .②当轴时,则为,代入抛物线方程解出;则弦长,此时也满足①中结论.故综合得. 法2:(其它同法1)由韦达定理得,;再根据弦长公式得. 法3:因过且倾斜角为的直线的参数方程为(为参数),代入中化简得,因,且;由韦达定理得,由直线参数方程参数的几何意义知,弦长.(此法不需讨论) 法4:以抛物线的焦点为极点,以为端点且与准线垂直向右(即向轴正方向)的射线为极轴建立极坐标系,设为抛物线上任意一点的极坐标;由抛物线的定义知到焦点的距离与到其准线的距离相等,即得(其中为抛物线的焦点到准线的距离),解出为抛物线的极坐标方程.在极坐标系中,设,则 . (2)、解:由(1)知,因倾斜角,得,则,即当时,(通径是最短的弦);故弦长的取值范围为. 二、椭圆中的焦点弦长公式推导 设椭圆标准方程为,过其左焦点作一倾斜角为的直线与椭圆交于两点.(I)求弦的长;(II)求弦长的取值范围. (I)、解法1:设,,这里为椭圆的半焦距,令椭圆的焦点到对应准线(即左焦点到左准线或右焦点到右准线)的距离为,离心率;由椭圆焦半径公式知,.⑴当轴时,设为,代入化简得:,因在椭圆内部,显然与椭圆有两个不同交点,即方程的恒成立,由韦达定理得,且斜率;则弦长 .⑵当轴时,则为,代入椭圆方程解出;则弦长,此时也满足⑴中结论.故综合⑴⑵得弦长(其中,倾角). 法2(其它同法1)据韦达定理得,;由弦长公式. 法3:因过且倾斜角为的直线的参数方程为(为参数),代入椭圆方程中化简得,化简其总成立,并得;由参数方程的几何意义得. 法4:以椭圆的左焦点为极点,以为端点且与左准线垂直向右(即向轴正方向)的射线为极轴建立极坐标系,设为椭圆上任意一点的极坐标,令为椭圆的左焦点到左准线的距离;由椭圆定义知到左焦点的距离与到其左准线的距离之比等于离心率,即,解出为椭圆的极坐标方程.在极坐标系中,设,则弦长. (II)、由(I)知,而倾斜角,则.当时,有(长轴是最长的弦);当时,有(通径是最短的弦).故综合得为所求弦长的取值范围. 三、双曲线中的焦点弦长公式推导 设双曲线标准方程为,过其右焦点作一倾斜角为的直线与双曲线交于两点.(I)求弦的长;(II)求弦长的取值范围. 分析:因双曲线的两条渐近线方程为,设直线的斜率为(;若时,无意义).①当,则或时,此时与渐近线平行,即与双曲线只有一个交点而无法得到弦;②当,则时,此时与双曲线的右支交于两点,得内弦;③当,则时,此时与双曲线的左、右两支分别交于两点,得外弦.下面分情况讨论: (1) 先考虑当两点均在双曲线右支上时,则. (I)、解法1:设,,这里为双曲线半焦距,令双曲线的焦点到对应准线(左焦点到左准线或右焦点到右准线)距离为,离心率;由双曲线焦半径公式,.⑴当轴时,设为,代入化简得:,因,显然与双曲线有两个不同交点,即方程的恒成立,由韦达定理得,且斜率;则弦长 .⑵当轴时,则为,代入双曲线方程解出;则弦长,此时也满足⑴中结论.故综合⑴⑵得弦长(其中,条件如上). 法2(其它同法1)因,;由弦长公式. 法3:因过且倾斜角为的直线的参数方程为(为参数),代入双曲线方程中化简得,化简其总成立,并得;由的几何意义得. 法4:以双曲线的右焦点为极点,以为端点且与右准线垂直向右(即向轴正方向)的射线为极轴建立极坐标系,设为双曲线上任意一点的极坐标,令为双曲线的右焦点到右准线的距离;由定义知到右焦点的距离与到右准线的距离之比等于离心率,即,解出为双曲线的极坐标方程.在极坐标系中,设,则弦长. (II)、由(I)知,因,即,可得,则;且当时,有(通径是最短的内弦).故综合得此时弦长的取值范围为. (2) 再考虑当两点分别在双曲线的左、右支上时,即此时所得弦称为双曲线的外弦;则. (I)、解法1:设,,因在左支上,在右支上,则;由双曲线焦半径公式,.因,则轴,设为,代入化简得:,因,显然与双曲线有两个不同交点,即方程的恒成立,由韦达定理得,且斜率;则弦长 . 法2(其它同法1)因,;由弦长公式. 法3:因过且倾斜角为的直线的参数方程为(为参数),代入双曲线方程中化简得,化简其总成立,并得;由的几何意义得. 法4:以双曲线的右焦点为极点,以为端点且与右准线垂直向右(即向轴正方向)的射线为极轴建立极坐标系,设为双曲线上任意一点的极坐标,令为双曲线的右焦点到右准线的距离;由定义知到右焦点的距离与到右准线的距离之比等于离心率,即,解出为双曲线的极坐标方程(可).在极坐标系中,设,则弦长. (II)、由(I)知,因,;可得,则;且当时,有(实轴是最短的外弦).故综合得此时弦长的取值范围为.[法2、因双曲线的左顶点,右顶点;而分别在双曲线的左右支上,则;于是(当且仅当时取等号),(当轴或在轴上时取等号);故 (当与重合,且与重合时取等号).法3、过双曲线的左顶点作直线轴与双曲线相切于,则双曲线左支上的点仅点在直线上,其它点均在的左侧;同理过右顶点作直线轴与双曲线相切于,则双曲线右支上的点仅点在直线上,其它点均在的右侧;故直线与双曲线左、右两支分别交于两点时,弦长.] (I)综合(一)、(二)知:弦长. (II)若,即时,弦长的取值范围为;若,即时,弦长的取值范围为. 概括总结:通过上面对所有情况的全面分析,并利用了多种方法求解与证明,我们已经得到下面有关圆锥曲线的一个统一的性质定理,对我们今后的学习和解题能起到一定的示范性作用与程序化、公式化的正确导向，这是圆锥曲线中又一个完美的二级结论. 圆锥曲线中过焦点的弦的统一弦长公式如下(一个秒杀题的重要二级结论)： 焦点弦中统一弦长公式性质定理:设圆锥曲线(椭圆、抛物线和双曲线)的方程是焦点在轴上的标准形式,且过圆锥曲线焦点的弦为.(1)则其弦长统一公式;其中为离心率,椭圆中,抛物线中,双曲线中;若曲线为抛物线表示焦点到其准线的距离,若曲线为椭圆或双曲线表示焦点到其对应准线的距离;表示弦所在直线的倾斜角,椭圆中,抛物线中,双曲线中表示交同一支的弦且;此时圆锥曲线的通径长为最短弦长,椭圆中,抛物线中.(2)若弦是表示交双曲线左右支各一点所得的弦,则其弦长公式,此时双曲线的实轴长为最短弦长.(3)仅对双曲线而言,若,即时,弦长的取值范围为;若,即时,弦长的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $