第十章 复数 单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十章　复数　单元测试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.　　　　　　　　 1.在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.复数的共轭复数为 (　　) A.-+i B.+i C.-i D.--i 3.若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi= (　　) A.-2+i B.2+i C.1-2i D.1+2i 4.已知集合M={1,2,zi}(i为虚数单位),N={3,4},M∩N={4},则复数z= (　　) A.-2i B.2i C.-4i D.4i 5.已知a+bi(a,b∈R)是的共轭复数,则a+b= (　　) A.-1 B.- C. D.1 6.设复数z=a+2i(a∈R)的共轭复数为,且z+=2,则复数在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.已知2-i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则x2+q-p=0的根为 (　　) A.±1 B.±3 C.±i D.±3i 8.已知复数z=,则下列说法正确的是 (　　) A.z的模为 B.z的虚部为-i C.z的共轭复数为--i D.z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列命题中错误的有 (　　) A.若复数z满足z2<0,则z是虚数 B.若复数z∈R,则其虚部不存在 C.“|z|=”是“|z·-1|=1”的充分不必要条件 D.若复数z1,z2满足z1·z2∈R,则z1=z2 10.下列说法中正确的是 (　　) A.已知满足|z|2-2|z|-3=0的复数z的对应点的轨迹是一个圆 B.虚轴上的点表示的数都是纯虚数 C.设z=1-i(i为虚数单位),若复数+z2在复平面内对应的向量为,则向量的模是 D.若z=,则z5+1对应的点在复平面内的第二象限 11.下列命题中正确的是 (　　) A.若z=-+i,则z2 022=--i B.若复数z1,z2满足+=0,则z1=z2=0 C.若z为复数,则z是实数 D.若复数z满足|z-1|=2,则|z+i|的最大值为2+ 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若复平面上的平行四边形ABCD中,对应的复数为6+8i,对应的复数为-4+6i,则对应的复数为　　　　.  13.已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m为实数,i为虚数单位,若z1-z2=0,则m=　　　　,z1z2=　　　　.(本题第一空3分,第二空2分)  14.已知复数z满足|z|=1+3i-z,则=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在①z2=-16,②z为纯虚数,③2z=(1+i)6,其中i为虚数单位,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中. 已知复数z=(m2-2m-3)+(m-3)i,　　　　.  (1)求实数m的值; (2)在复平面内,若复数对应的点在直线x+y=0上,求实数a的值. 注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)已知复数z1=-2+i,z1z2=-5+5i(其中i为虚数单位), (1)求复数z2; (2)若复数z3=(3-z2)[(m2-2m-3)+(m-1)i]所对应的点在第四象限,求实数m的取值范围. 17.(15分)设复数z满足4z+2=3+i,z1=sin θ-icos θ,θ∈R,求z,并求|z-z1|的取值范围. 18.(17分)已知复数z的实部为正数,|z|=,z2的虚部为2. (1)求复数z; (2)若-z2在复平面内对应的向量为,求向量的模. 19.(17分)已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A(-2,1),B(a,3)(a∈R). (1)若|z1-z2|=,求a的值; (2)若复数z=z1·对应的点在第二、四象限的角平分线上,求a的值. 第十章　复数　单元测试卷　参考答案  1.D　(2-i)2=4-4i+i2=3-4i,在复平面内对应的点为(3,-4),位于第四象限. 2.A　∵===-+i, ∴的共轭复数为--i,故选A. 3.B　由(x-i)i=y+2i得xi+1=y+2i,所以y=1,x=2,故复数x+yi=2+i. 4.C　由M∩N={4},知4∈M,因此zi=4,所以z===-4i. 5.D　==-i,所以a+bi=i,所以a=0,b=1,故a+b=1. 6.A　因为z+=2,即2a=2,所以a=1,===+i,在复平面内对应的点为(,),位于第一象限. 7.D　2-i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则2+i也是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根,故 解得p=-4,q=5,则x2+q-p=0,即x2+9=0,解得x=±3i. 8.A　由题意,z====-i,所以z的模为=,故选项A正确;z的虚部为-,故选项B错误;z的共轭复数为+i,故选项C错误;z的共轭复数在复平面内对应的点为(,),在第一象限,故选项D错误.故选A. 9.BD　z∈R时,z2≥0,因此当z2<0时,z一定是虚数,A正确;若z是实数,则它作为复数,其虚部为0,不是不存在,B错误;当|z|=时,z·=|z|2=2,满足|z·-1|=1,但z=0时,也满足|z·-1|=1,因此C正确;当z1=1,z2=2时,z1·z2=2∈R,但z1≠z2,D错误.故选BD. 10.AC　由|z|2-2|z|-3=0,得|z|=3或|z|=-1(舍去),A正确;坐标原点在虚轴上,但它表示的复数是0,B错误;∵+z2=+(1-i)2=1+i-2i=1-i, ∴||=|1-i|=,C正确;∵z==-i,∴z5+1=(-i)5+1=1-i,其对应的点在复平面内的第四象限,D错误.故选AC. 11.CD　对于选项A, 因为z=-+i,所以z2=(-+i)2=--i,z3=z2·z=(--i)(-+i)=(-)2-(i)2=1,所以z2 022=(z3)674=1,故错误; 对于选项B,令z1=1+i,z2=1-i,满足+=0,但z1≠0,z2≠0,故错误; 对于选项C,令z=a+bi,a,b∈R,则z=a2+b2,为实数,故正确; 对于选项D,令z=a+bi,a,b∈R,则z-1=a-1+bi,|z-1|==2,即(a-1)2+b2=4,所以点(a,b)是以C(1,0)为圆心,以2为半径的圆,|z+i|表示圆上的点到点P(0,-1)的距离,=,所以dmax=+2,故正确.故选CD. 12.-1-7i　方法一　由复数加、减法的几何意义,可得+=,-=,两式相加,可得2=+=(2,14),所以=(-1,-7),所以对应的复数为-1-7i. 方法二　如图D 1,把向量平移到向量的位置,可得==-(+)=(-1,-7),所以对应的复数为-1-7i. 图D 1 13.-1　15+8i　因为z1-z2=0,所以z1=z2,所以解得m=-1.则z1z2=(4+i)2=15+8i. 14.3+4i　设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z, ∴-1-3i+a+bi=0, ∴解得 ∴z=-4+3i, ∴===3+4i. 15.(1)选① ,由z2=-16,得z=4i或-4i. 若z=4i,则无解; 若z=-4i,则解得m=-1. 选② ,由z为纯虚数,得 解得m=-1. 选③ ,由2z=(1+i)6,得z=-4i, 所以解得m=-1. (2)由(1)知,z=-4i,所以==, 因为复数对应的点在直线x+y=0上, 所以-=0,解得a=3. 16.(1)∵z1z2=-5+5i,∴z2===3-i. (2)z3=(3-z2)[(m2-2m-3)+(m-1)i]=i[(m2-2m-3)+(m-1)i]=1-m+(m2-2m-3)i, ∵z3所对应的点在第四象限, ∴解得-1<m<1. 故实数m的取值范围是(-1,1). 17.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入4z+2=3+i,得4(a+bi)+2(a-bi)=3+i. ∴解得∴z=+i. 方法一　|z-z1|=|+i-(sin θ-icos θ)|===, ∵-1≤sin(θ-)≤1,∴0≤2-2sin(θ-)≤4. 故0≤|z-z1|≤2,即|z-z1|的取值范围为[0,2]. 方法二　|z1|=1,|z|=1,由复数减法的几何意义可知||z|-|z1||≤|z-z1|≤|z|+|z1|,即0≤|z-z1|≤2, 故|z-z1|的取值范围为[0,2]. 18.(1)设z=a+bi(a,b∈R),则由条件|z|=,可得a2+b2=2　①.因为z2=a2-b2+2abi,所以2ab=2　②. 联立①②,解得a=b=1或a=b=-1. 又复数z的实部为正数,所以a>0,所以a=b=1,于是z=1+i. (2)由(1)可知z=1+i,则 -z2=-(1+i)2=1-3i,则 =(1,-3),所以向量 的模为=. 19.(1)由复数的几何意义可知,z1=-2+i,z2=a+3i. 因为|z1-z2|=, 所以|-2-a-2i|==, 解得a=-1或a=-3. (2)由题易得=a-3i. 复数z=z1·=(-2+i)(a-3i)=(-2a+3)+(a+6)i. 由题意可知点(-2a+3,a+6)在直线y=-x上, 所以a+6=-(-2a+3),解得a=9. 学科网（北京）股份有限公司 $