精品解析：湖南省衡阳市蒸湘区船山实验学校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

船山实验学校2024－2025学年上学期九年级期中数学试卷 一、填空题（每小题3分，共30分） 1. 使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 下列图形中，不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个长方形 D. 两个圆 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，则凉亭的高度约为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，正方形按照如图所示放置，其边长为1，将正方形按照如下方式进行变换：将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形；将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形，…，则正方形的顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 化简_____． 12. 已知实数，满足，则的值为_____． 13. 已知m，n是方程的两根，则的值为__________． 14. 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：，如，那么________． 15. 我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有_______个班级篮球队参加． 16. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为____________m． 17. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 18. 如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 _____． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 22. “雁到衡阳不南飞，客到南岳不思归．”南岳衡山凭借其巍峨壮丽的自然风光，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，赢得了“五岳独秀”的美誉，更成为湖南省第三届旅发大会上一颗璀璨的明珠，照亮湖南旅游的宏伟画卷，吸引着无数旅人前来探寻这方“天下南岳”的绝美之地．南岳衡山风景区在2024年“十一”黄金周，共接待游客约达115.2万人次，已知2022年“十一“黄金周接待游客约达80万人次． （1）求南岳衡山风景区2022年至2024年“十一”黄金周期间接待游客人次的年平均增长率； （2）南岳衡山风景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年“十一”黄金周期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 23. 如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点B叠放在折痕线上，得到，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 （3）在图2的基础上，将纸片按图3所示翻折，点C恰好落在直线上，得到．若，则的长为 ． 25. 如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接． （1）若与相似，求的值； （2）连接，，若，求的值； （3）直接写出为何值时，是等腰三角形． 26. 若三角形的两个内角与满足时，我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则 ； （2）如图①，在中，，若是的平分线，求证：是“准互余三角形”； （3）如图①，在（2）的条件下若有.试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． （4）如图②，在四边形中，，，，且是“准互余三角形”，求对角线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 船山实验学校2024－2025学年上学期九年级期中数学试卷 一、填空题（每小题3分，共30分） 1. 使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零即可． 【详解】解：若有意义， 则， 解得， 故选：D． 2. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：形如的方程叫一元二次方程，直接对比求解即可得到答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，把握住一元二次方程只有一个未知数，未知数的最高次数为2次，且二次项系数不为零是解决问题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法，一移，二配，三变形，将方程配方后，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴； 故选C． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 5. 下列图形中，不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个长方形 D. 两个圆 【答案】C 【解析】 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形，对选项一一进行判断即可． 【详解】解：A、∵等边三角形的三个内角都是， ∴任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故该选项不符合题意； B、∵等腰直角三角形的三个内角分别为、、， ∴任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故该选项不符合题意； C、∵任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等， ∴任意两个长方形不一定相似，故该选项符合题意； D、∵任意两个圆中，其中一个圆放大或缩小后能够与另一个圆重合， ∴任意两个圆一定相似，故该选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了相似图形的判定，涉及等腰三角形、等腰直角三角形、长方形、圆等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关图形的性质． 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 7. 如图，已知是的边上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可． 【详解】∵是公共角， ∴再加上或都可以证明，故A，B可证明， C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能证明． ∵， 若再添加，即，可证明，故D可证明． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 9. 如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得，小明身高，则凉亭的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴凉亭的高度约为， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，正方形按照如图所示放置，其边长为1，将正方形按照如下方式进行变换：将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形；将正方形绕点O顺时针旋转，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形，…，则正方形的顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给变换方式可知，每旋转八次，点B对应点的位置出现循环，再根据正方形边长的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，每次旋转， 则， 即每旋转八次，点B对应点的位置循环出现， 又∵， ∴点在第一象限． ∵正方形的边长为1，且每次旋转后边长扩大为原来的2倍， ∴正方形的边长为2；正方形的边长为； 则正方形的边长为； …， 依次类推，正方形的边长为， 当时，正方形的边长为， ∴点的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 化简_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2025． 12. 已知实数，满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，由可得，将其代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 已知m，n是方程的两根，则的值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义与根与系数的关系，先利用根的定义求出的值，再结合根与系数的关系得到的值，最后通过整体代入计算出结果． 【详解】解：是方程的根， 将代入方程得， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， ． 14. 对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：，如，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】利用定义的运算方法转化为二次根式的运算，化简得出答案即可． 【详解】解：由题意可得： 8※4=， 故答案为：. 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解运算的方法是解决问题的关键． 15. 我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有_______个班级篮球队参加． 【答案】10 【解析】 【分析】设有x个班级篮球队参加比赛，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】解：设有x个班级篮球队参加比赛， 由题意得， 解得（舍）， ∴有10个班级篮球队参加比赛． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键． 16. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为____________m． 【答案】0.2 【解析】 【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得，将已知数据代入即可得． 【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABO=∠CDO=90°， 又∵∠AOB=∠COD， ∴△ABO∽△CDO， 则， ∵AO=6m，AB=1.2m，CO=1m， ∴， 解得：CD=0.2m， 故答案为：0.2. 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 17. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 18. 如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，证明，推出，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的综合运算，涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简、负整数指数幂四个考点，解题关键是分别根据各考点的运算法则化简每一项，再按实数加减运算法则合并计算．先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，再分母有理化，然后合并即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内，再把除法化为乘法，再化简得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． 【小问1详解】 解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 22. “雁到衡阳不南飞，客到南岳不思归．”南岳衡山凭借其巍峨壮丽的自然风光，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，赢得了“五岳独秀”的美誉，更成为湖南省第三届旅发大会上一颗璀璨的明珠，照亮湖南旅游的宏伟画卷，吸引着无数旅人前来探寻这方“天下南岳”的绝美之地．南岳衡山风景区在2024年“十一”黄金周，共接待游客约达115.2万人次，已知2022年“十一“黄金周接待游客约达80万人次． （1）求南岳衡山风景区2022年至2024年“十一”黄金周期间接待游客人次的年平均增长率； （2）南岳衡山风景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年“十一”黄金周期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】（1）年平均增长率为． （2）当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2024年“十一”黄金周，共接待游客约达115.2万人次，2022年“十一“黄金周接待游客约达80万人次，列出方程求解即可； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额， 由题意得：， ∴， ∴， ∵让顾客获得最大优惠， ∴， 答：当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 23. 如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为3或6． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，从而证出，根据相似三角形的判定定理即可证出结论； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式即可求出的长，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 即的长为3或6． 24. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点B叠放在折痕线上，得到，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 （3）在图2的基础上，将纸片按图3所示翻折，点C恰好落在直线上，得到．若，则的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】由余角的性质可得，由两组对角对应相等的两三角形相似可证∽； 作的斜边上的中线，可证为等边三角形，可得，可求，由两组对角对应相等的两三角形相似可证∽； 由“”可证≌，可得，由折叠的性质和直角三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形为矩形， ． ． 点、、共线， ． ． ． ， ． 【小问2详解】 证明：作的斜边上的中线，如图所示，则． 由题意得， ． 为等边三角形， ， ， ， 由翻折可知．， ，， ， ， 又， ． 【小问3详解】 解：， ， 又，， ， ， ， 由折叠可得， ， ，， ． 25. 如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接． （1）若与相似，求的值； （2）连接，，若，求的值； （3）直接写出为何值时，是等腰三角形． 【答案】（1）或 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （2）过作于点，，交于点，则有，，，根据，得出，代入计算即可． （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． ∵与相似，且， ∴或， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； ∴或时，与相似； 【小问2详解】 解：过作于点，，交于点，如图所示：则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图，过作， 则，， 由（2）可知，， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， 解得：； ③当时，如图，过作于， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 26. 若三角形的两个内角与满足时，我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，，则 ； （2）如图①，在中，，若是的平分线，求证：是“准互余三角形”； （3）如图①，在（2）的条件下若有.试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． （4）如图②，在四边形中，，，，且是“准互余三角形”，求对角线的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在点，使得是“准互余三角形”，此时 （4） 【解析】 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题； （2）由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答； （3）证明，可得，由此即可解决问题； （4）如图，将沿翻折得到．只要证明，可得，设，则有，推出，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵是“准互余三角形”，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； 【小问3详解】 答：存在，理由如下： 在中， ∵， ∴， ∴是“准互余三角形”， ∵也是“准互余三角形”， ∴只有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在点，使得是“准互余三角形”，此时； 【小问4详解】 解：如图②中，将沿翻折得到． ∴， ∵， ∴， ∴、、共线， ∴， ∴， ∴只有， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 解得：x＝9或（不合题意，舍去）， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $