精品解析：湖南省衡阳市衡东一中教育集团初中学校2025-2026学年上学期 期中九年级联考考试数学试卷（11月）

2025年下学期衡东一中教育集团初中学校期中联考九年级数学试题卷 （本试卷共5页，26题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点 B 的坐标是( ) A. B. C. D. 3. 若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3， ，1 B. 3，2，1 C. 3，2， D. 3，， 5. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，那么（　　） A. B. C. 2 D. 8. 如图，，若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 10. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算______． 12. 已知，则_______． 13. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪明用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为_________． 14. 如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为_________． 15. 若，则代数式__________． 16. 已知是锐角，若，则的值为______． 17. 一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为__________． 18. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 22. 已知关于 x的一元二次方程 ． （1）若该方程有实数根，求 m 的取值范围． （2）若是方程的两根，且时，求的值． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： （1）填空：______，______，______， （2）在复数范围内解方程：； （3）在复数范围内解方程：． 25. 综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似； （3）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程） 26. 综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点． （1）当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程） （2）若点，求的长； （3）如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期衡东一中教育集团初中学校期中联考九年级数学试题卷 （本试卷共5页，26题，考试用时120分钟，全卷满分120分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意； 故选：． 2. 在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点 B 的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于y轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”这一核心规律． 已知点A坐标为，根据关于y轴对称的坐标特征，先保持点A的纵坐标1不变，再求横坐标的相反数为2，由此可确定点B的坐标为． 【详解】解：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 已知点，其纵坐标为(保持不变)，横坐标的相反数为2，故点B的坐标为． 故选：C． 3. 若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键． 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得：， 故选：A． 4. 一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 3， ，1 B. 3，2，1 C. 3，2， D. 3，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式，是解题的关键． 根据一元二次方程一般式的各项系数，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的化为一般式为 ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是：3，，， 故选：D． 5. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：A． 7. 在中，，，，那么（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切，记作． 依据中，，，，进行表示即可． 【详解】解：∵在中，，画图如下： ∴， 故选A． 8. 如图，，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，即可求解，本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：掌握根的判别式与一元二次方程的根的关系． 【详解】解：由，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根，选项符合题意， 故选：． 10. 如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与、分别交于点、．对于下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质是解答关键． ①由等腰直角和等腰直角三边比，根据相似三角形的判定2证明；②通过等积式倒推可知，证明即可；③根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，是等腰直角三角形，， ，， ． ∵， ∴， ∴， 所以①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ， ∴， 所以②正确； 设与相交于， 则． ∵， ∴， ∴． 是等腰直角三角形， ， ， ∴正确的有①②③， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算和积的乘方，熟知运算法则是关键．利用二次根式的乘法运算和积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 12. 已知，则_______． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，代入原式化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪明用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为_________． 【答案】##28米 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：D，E是，的中点， ， A，B间的距离为． 故答案为：． 14. 如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质．位似是一种特殊的相似，周长之比等于相似比，计算求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴的周长为． 故答案为：12． 15. 若，则代数式__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、完全平方公式、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先将化成，然后将代入计算即可． 【详解】解： 当， 原式 ． 故答案为：0． 16. 已知是锐角，若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 17. 一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为__________． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的实际应用．根据直角三角形中角所对直角边等于斜边一半得到求解即可． 【详解】解：∵，，米， ∴米， ∴（米）， 即这棵树折断前的高度为米． 故答案为：米． 18. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴， ∴， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再化简二次根式，最后计算加法即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， 即或， ∴，． 【小问2详解】 解：原方程变形得：， 配方得：， 即， ∴， ∴，． 21. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求证： 【答案】 证明：∵，，，， ∴，， ∴， 又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意可得，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】略 22. 已知关于 x的一元二次方程 ． （1）若该方程有实数根，求 m 的取值范围． （2）若是方程的两根，且时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，先求出的值，再根据根与系数的关系和整体代入法，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，， ∴， ∴， ∴． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）该品牌头盔的实际售价应定为45元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为45元． 24. 阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，． 同样我们也可以化简． 读完这段文字，请解答以下问题： （1）填空：______，______，______， （2）在复数范围内解方程：； （3）在复数范围内解方程：． 【答案】（1），， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据虚数的计算规则进行计算即可； （2）根据虚数的计算规则，把方程两边同时开平方即可求出方程的解； （3）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ； ； ； 【小问2详解】 解：， 两边同时开平方得：， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 25. 综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题： （1）当时，求的值； （2）点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似； （3）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程） 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，再结合以及两点的速度列出方程，解之即可； （2）利用勾股定理求出，再根据题意知：，，当，则，利用其对应边成比例即可求得，当，则，利用其对应边成比例即可求得． （3）过点作、，分别交于、交于，则四边形是矩形，证明，得出比例式，由题意得出方程，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意知：，， 当，则， ， ， ，； 当，则， ， ， ， 当或时，以、、为顶点的三角形与相似， 故答案为：或； 【小问3详解】 过点作、，分别交于、交于，如图所示： ， 四边形是矩形， 当时，即时，为等腰三角形， 此时把沿翻折得到四边形是菱形， ， ， ， 即， 解得：， ， ， 解得：， 当时，四边形是菱形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过三角形相似才能得出结果． 26. 综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在轴的正半轴上，如图2，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为，交直线于点，交轴于点． （1）当旋转角为多少度时，；（直接写出结果，不要求写解答过程） （2）若点，求的长； （3）如图3，对角线交轴于点，交直线于点，连接，将与的面积分别记为与，设，，求关于的函数表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出，再由题意得出，即可求解； （2）过点A作轴，根据勾股定理及点的坐标得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可； （3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O、C、F、N四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出，，过点N作于点G，交于点Q，利用全等三角形及矩形的判定和性质得出，结合图形分别表示出，，得出，再由等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵交直线于点， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 过点A作轴，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴； 【小问3详解】 ∵正方形， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴O、C、F、N四点共圆， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 过点N作于点G，交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】题目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四边形的判定和性质，四点共圆的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $