第一章 三角形的证明及其应用【章末复习】 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 章末复习 第一章 三角形的证明及其应用 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“第一章 三角形的证明及其应用”核心知识点设计，重点整合线段垂直平分线（性质、逆定理、作图）、角平分线（性质、逆定理）、三角形三个内角的平分线（内心）等核心内容，衔接全等三角形、等腰三角形、直角三角形相关知识，分层考查基础识记、作图规范、逻辑推理、计算求解与灵活运用能力，助力掌握三角形证明的解题规范，规避定理混淆、作图步骤遗漏、综合应用不灵活等常见问题。 一、基础梳理（必记核心内容） （一）线段垂直平分线相关（1.4.1-1.4.2） 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 2. 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 3. 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4. 尺规作图：以线段两端为圆心，大于线段一半长为半径作弧，两弧交点连线即为垂直平分线；可用于找到线段两端距离相等的点、过直线外一点作已知直线的垂线。 （二）角平分线相关（1.5.1-1.5.2） 1. 角的平分线（射线）：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线。 2. 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 3. 角平分线逆定理：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 （三）三角形三个内角的平分线（1.5.2） 1. 三角形内角平分线（线段）：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段。 2. 内心（核心考点）：三角形三条内角平分线的交点，到三角形三条边的距离相等，是三角形内接圆的圆心，始终在三角形内部。 3. 尺规作图：作三角形任意两个内角的平分线，交点即为内心；单条内角平分线作图可衔接角的平分线作图方法。 （四）综合应用技巧 - 1. 证明线段相等：可利用垂直平分线性质、角平分线性质，或结合全等三角形简化推理； - 2. 判定线的性质：垂直平分线可通过“两点到线段两端距离相等”判定，角平分线可通过“角内部一点到两边距离相等”判定； - 3. 区分关键交点：内心（三条内角平分线交点，到三边距离相等）、外心（三条边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等）； - 4. 作图规范：尺规作图需保留弧痕，明确作图依据（逆定理为主），区分线段与射线、垂直平分线与角平分线的作图差异。 5. 易错提醒：① 混淆垂直平分线、角平分线的性质与逆定理（因果关系）；② 误将三角形内角平分线（线段）当作角的平分线（射线）；③ 混淆内心与外心的性质；④ 作图时半径不符合要求、遗漏痕迹；⑤ 应用定理时忽略前提（如角平分线逆定理中“点在角内部”）。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于三角形相关平分线的说法，正确的是（ ） A. 三角形的内角平分线是一条射线 B. 三角形的三条内角平分线一定相交于三角形外部 C. 三角形的内角平分线一定在三角形内部 D. 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段相等 2. 三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 3. 下列说法错误的是（ ） A. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C. 内心到三角形三个顶点的距离相等 D. 外心到三角形三个顶点的距离相等 4. 在△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，且AD、BE交于点I，若IG⊥AB于G，IG=2cm，则点I到BC的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，内心I到AB的距离为3cm，则该三角形内接圆的半径为（ ） A. 1.5cm B. 3cm C. 6cm D. 无法确定 三、填空题（每题3分，共15分） 1. 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的________和________之间的线段，叫做三角形的内角平分线。 2. 线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上；角平分线的逆定理：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的________上。 3. 在△ABC中，内心为I，若I到AB的距离为5cm，则I到AC的距离为________cm，到BC的距离为________cm。 4. 作三角形的内心，只需作任意________条内角平分线，它们的________即为内心；作线段的垂直平分线，需以线段两端为圆心，以________的长为半径作弧。 5. 直角三角形的内心到直角顶点的距离________（填“大于”“小于”或“等于”）到斜边的距离；外心在________上。 四、解答题（共70分） 1. （10分）基础题，考查章节核心定义与定理。 （1）请完整叙述线段垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理及内心的核心性质（均含几何表示）； （2）简述内心与外心的区别与联系。 解： 2. （12分）辨析题，考查章节易错点。 （1）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，说明理由并改正： ① 三角形的内角平分线是一条射线，能平分三角形的内角； ② 到角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上； ③ 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等； ④ 线段的垂直平分线可以作无数条。 （2）为什么说三角形的内心一定在三角形内部？请结合内角平分线的特点说明。 解： 3. （12分）基础作图题，考查章节核心作图。 （1）如图，已知△ABC，用尺规作∠BAC的平分线AD，交BC于点D（要求：保留作图痕迹，标注交点）； （2）如图，已知线段AB，用尺规作线段AB的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，说明作图步骤）； （3）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，用尺规作其内心I，并过I作IG⊥AB于G，测量IG的长度（简要说明测量方法）。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出作图步骤并说明痕迹） 4. （12分）综合证明题，考查定理综合应用。 （1）在△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的平分线，交于点I，IG⊥AB于G，IH⊥BC于H，求证：IG=IH； （2）在△ABC中，AB=AC，AD是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E，求证：BE平分∠ABC； （3）在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD垂直平分EF。 解：（图形可在答题纸上绘制，此处写出证明过程） 5. （12分）应用题，考查章节知识实际应用。 （1）一块三角形花园ABC，现要在花园内找一点P，使点P到三条边的距离相等，说明点P的位置， 一、三角形内角和与外角 1. 三角形的内角和定理与外角的性质 (1) 三角形的内角和等于______； (2) 三角形的一个外角____和它不相邻的两个内角的和； 180° 等于 大于 (3) 三角形的一个外角 任何一个和它不相邻的内角. 2.多边形的内角和与外角和 多边形的内角和等于 (n - 2)×180° 多边形的外角和等于 360° 正多边形每个内角的度数是 正多边形每个外角的度数是 (4) _____________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”. 顶角平分线 (3) 两个_______相等，简称“等边对等角”； 底角 (2) 轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴； 二、等腰三角形的性质及判定 1. 性质 (1) 两腰相等； 2. 判定 (1) 有两边相等的三角形是等腰三角形； (2) 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 (简写成“____________”). 等角对等边 三、等边三角形的性质及判定 1. 性质 (1) 等边三角形的三边都相等； (2) 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角 都等于______； (3) 是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线； (4) 任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高 互相重合，简称“三线合一”. 60° 2. 判定 (1) 三条边都相等的三角形是等边三角形； (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形； (3) 有一个角是 60° 的____________是等边三角形. 等腰三角形 (5) 在直角三角形中，30° 的角所对的直角边等于斜边 的一半. 直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角______. 互余 直角三角形的判定定理1 有两个角______的三角形是直角三角形. 互余 四、直角三角形 勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2， . 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a，b (且a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝________；当 a 是斜边时，第三边 c＝________. 五、勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的　 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　. 平方 a2 ＋b2 ＝ c2 [注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边． 六、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2 ＋b2 ＝ ，那么这个三角形是直角三角形． c2 利用此定理判定直角三角形的一般步骤： (1) 确定最大边； (2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ； (3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若 相等，则说明这个三角形是　 　三角形． 平方和 直角 到目前为止判定直角三角形的方法有： (1) 说明三角形中有一个角是　 ，或者有两个角______； (2) 说明三角形中有两边互相　 ； (3) 用勾股定理的逆定理． 直角 垂直 [注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出 a2 ＋ b2 ＝ c2 之类的错误． 互余 1. 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的　 　 ，而第一个命题的结论是第二个命题的　 　，那么这两个命题叫做互逆命题． 2. 逆命题 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 　 　，并将结论改成　 　，便可以得到原命题的逆命题． 结论 条件 结论 条件 七、逆命题和互逆命题 3. 逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 　定理． [注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理． 逆 1. 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 2. 逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上. 八、线段的垂直平分线 3. 常见的基本作图 (1) 过已知点作已知直线的　 　； (2) 作已知线段的垂直　 　线． 垂线 平分 4. 三角形的三边的垂直平分线的性质： 三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等. 1. 性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2. 判定定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3. 三角形的三条内角平分线的性质： 三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的 距离相等. 九、角平分线的性质与判定 10° 1． 如图，在△ADE中，∠ADE＝140°，点B和点C分别在边AD和边AE上，∠BAC＝∠BCA，∠CBD＝∠CDB，∠DCE＝∠DEC，则∠EAD的度数为________. 中考考法 16 【点拨】 设∠EAD＝∠BCA＝x.∴∠CBD＝∠CDB＝2x.∴∠DCE＝∠DEC＝3x.∵∠ADE＝140°，∠ADE＋∠EAD＋∠AED＝180°，∴140°＋x＋3x＝180°，解得x＝10°，即∠EAD＝10°. 返回 中考考法 返回 D 2． 中考考法 18 D 返回 3． 下列定理中不存在逆定理的是(　　) A．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等 中考考法 19 4． 返回 如果|a|＝|b|，那么a＝b 已知命题：如果a＝b，那么|a|＝|b|.该命题的逆命题是____________________________. 中考考法 20 5． 返回 A 中考考法 21 6． 返回 ∠B＝60°(答案不唯一) [2025资阳]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是___________________. 中考考法 22 7． 7 如图，已知等边三角形ABC的边长是8，点D在AC上，且CD＝2.延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.点F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为________. 中考考法 23 【点拨】 返回 中考考法 8． 中考考法 25 【点拨】 【答案】B 返回 中考考法 9． (－4，0) 如图，在△ABC中，AB＝BC，AB⊥BC，点B的坐标为(0，2)，点C的坐标为(2，－2)，则点A的坐标为____________. 中考考法 27 【点拨】 返回 中考考法 10． 返回 中考考法 29 11． 返回 71° 如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠BAC＝21°，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC的延长线于点E，连接AE，则∠CAE的度数为________. 中考考法 12． 【解】(答案不唯一)添加条件：∠CAB＝∠DBA. ∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△ACB≌△BDA. 如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，AD与CB相交于点E. (1)添加一个条件使△ACB≌△BDA，并加以证明. 中考考法 (2)在第(1)问的条件下延长AC，BD交于点P，直线PE是线段AB的垂直平分线吗？ 【解】如图所示．  ∵△ACB≌△BDA，∴AC＝BD，AD＝BC. ∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∠CEA＝∠DEB， ∴△ACE≌△BDE. ∴AE＝BE. ∴点E在AB的垂直平分线上． ∵∠ACB＝∠BDA＝90°，∴∠ADP＝∠BCP＝90°. 又∵∠P＝∠P，AD＝BC，∴△ADP≌△BCP.∴AP＝BP. ∴点P在AB的垂直平分线上． ∴直线PE是线段AB的垂直平分线． 返回 中考考法 13． [2025芜湖期中]在△ABC中，∠BAC＝120°，BE，CF是△ABC的角平分线，它们相交于点I. (1)如图①，连接AI，求证：点I在∠BAC的平分线上； 中考考法 【证明】如图①，过点I作AB，AC，BC的垂线段， 垂足分别为M，N，K. ∵BE，CF是△ABC的角平分线，∴IK＝IM，IK＝IN. ∴IN＝IM.∴点I在∠BAC的平分线上． 中考考法 (2)如图②，延长AI交BC于点D，过点F作FT⊥BC于点T，FL⊥AD于点L.求证：FT＝FL. 返回 中考考法 14． [2025厦门湖里区期中]如图，在△ABC中，AB＝21 cm，AC＝12 cm，∠A＝60°，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t s，当△APQ为直角三角形时，t的值为(　　) 中考考法 【点拨】 【答案】D 根据题意，先表示出AP，AQ的长度，当△APQ为直角三角形时，∠AQP＝90°，∠APQ＝30°或∠APQ＝90°，∠AQP＝30°，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 返回 中考考法 15． 【证明】∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB. ∴∠ADC＝∠ACD.∴AD＝AC. 又∵AB＝AC，∴AD＝AB. ∴△ABD是等腰三角形． 如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，连接BD． (1)求证：△ABD是等腰三角形； 中考考法 (2)若∠BDC＝20°，求∠ADC的度数. 【解】设∠ADC＝x°. 由(1)可得∠ACD＝∠DCB＝∠ADC＝x°， ∴∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝2x°. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x°. ∵∠BDC＝20°，∴∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝(x＋20)°. ∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝(x＋20)°. ∵∠BDC＋∠DBC＋∠DCB＝180°， ∴20°＋(x＋20)°＋2x°＋x°＝180°，解得x＝35. ∴∠ADC＝35°. 返回 中考考法 用反证法证明：“若a＞b＞0，则>”，首先应该假设(　　) A．＜　 B．≠　 C．a＜b　 D．≤ [2025眉山]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10.按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，AD于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 连接CF，CG.∵等边三角形ABC的边长是8，∴BC＝AB＝8，∠ACB＝60°.∵F是AB的中点，∴BF＝AB＝4，∠ACF＝∠BCF＝30°，∠BFC＝90°.∴CF＝＝4.∵CD＝CE，G是DE的中点，∴∠CGE＝90°，∠ECG＝∠DCG＝(180°－∠ACB)＝60°.∴∠GCF＝∠ACF＋∠DCG＝90°，∠E＝30°.∴CG＝CE＝1.∴FG＝＝＝7. [2025安徽]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC． 若DE＝，则AC的长是(　　) A．4 B．6 C．2 D．3 ∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，∴∠C＝＝30°.∵D是AC的中点，∴设AC＝2x，则CD＝x.∵ED⊥AC，∴△EDC是直角三角形，且∠C＝30°，∴EC＝2DE.∵DE＝，∴EC＝2.在Rt△EDC中，根据勾股定理得EC2＝DE2＋CD2，∴(2)2＝()2＋x2，解得x＝3(负值已舍去)．∴AC＝6.故选B. 如图，过点C作CM⊥y轴于点M.∵B(0，2)，C(2，－2)， ∴OB＝CM＝2，OM＝2，∴BM＝OB＋OM＝4. 在Rt△AOB和Rt△BMC中， ∴Rt△AOB≌Rt△BMC，∴AO＝BM＝4.∴A(－4，0)． 4 如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，DE＝，BC＝1，CD＝，则四边形ABCD的面积为________. 【证明】如图②，过点F作FG⊥CA交CA的延长线于点G. ∵CF是△ABC的角平分线，FT⊥BC，∴FT＝FG. ∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝120°，∴∠GAF＝180°－∠BAC＝60°，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°. ∴∠BAD＝∠GAF.∴AF是∠GAL的平分线． ∵FL⊥AL，∴FL＝FG.∴FT＝FL. A．5 B．3 C．2.5或3 D．3或 $