吉林省吉林市永吉县第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高二下学期期中数学卷聚焦排列组合、导数、概率统计核心知识，通过选填题基础巩固与解答题综合应用（如统计调查情境、概率分布建模），考查抽象能力、推理能力与数据意识，适配阶段性素养评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|排列、导数单调性、方差比较|基础概念辨析，如第3题方差计算| |多选|3/18|排列不相邻、二项式系数、分布列|多角度考查，如第10题二项式定理综合| |填空|3/15|切线方程、排列应用、函数极值|情境化应用，如第13题队列排列| |解答题|5/77|二项式定理、概率分布、函数最值、统计调查|综合素养导向，如19题用随机化装置调查吸烟情况，体现数据意识与模型观念|

高二下学期期中考试答题卡（数学） 选择题（单选每小题5分，多选每小题6分） 单选 2 3 4 5 6 7 8 答案 多选 9 10 11 答案 填空题（每小题5分） 12. 13. 种 14. 解答题 15.(本小题13分) 第1页共4页 16.(本小题15分)》 17.(本小题15分) 第2页共4页 18.(本小题17分) 第3页共4页 19.(本小题17分) 第4页共4页 高二数学期中考试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法（     ） A．24 B．20 C．10 D．9 【答案】B 2.已知函数其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ） A. 在上单调递减 B． 在处取得最大值 C．在上单调递减 D．在处取得最小值 【答案】C 3．下列各组数据中方差最大的一组是（   ） A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8 【答案】D 4.已知若则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 5. 袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球、3个白球，依次从中不放回地取球，则第一次取到白球，且第二次取到红球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 6.将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（   ） A．60种 B．90种 C．120种 D．180种 【答案】B 【解析】由题先将5名志愿者分成三组有种分法， 再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法， 所以所求的不同的分配方案有种. 故选：B. 7.函数则（ ） A. B． C． D．的大小关系不能确定 【答案】C 8.函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B． C． D． 【答案】A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 【答案】AC 【详解】对于A：首先将名女生排在中间的三个位置，再将名男生排在其余四个位置， 则有种排法，故A正确； 对于B：首先排两个男生在头尾、其余人全排列，则有种排法，故B错误； 对于C：首先将名男生全排列，再将名女生插空排列，则有种排法，故C正确； 对于D：女生甲在女生乙右边属于定序问题，则有种排法，故D错误； 故选：AC 10．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．展开式中共有9项 B．第3项为 C．各项系数的和为256 D．二项式系数的最大值为70 【答案】ABD 【详解】对于A，二项式的展开式中共有项，故A正确； 对于B，第3项为，故B正确； 对于C，令，得各项系数的和为，故C错误； 对于D，二项式系数的最大值为，故D正确. 11．设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B正确； 对于C、D项，因为，，， 所以，，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.曲线在点处的切线方程是 . 【答案】 13．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 【答案】288 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 14. 若函数的极大值为1，则函数的极小值为 。 A. B. C. D. 【答案】 【详解】试题分析：,由得，又因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处取得极大值，且，即，函数在处取得极小值，且 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) -1 【分析】（1）利用二项式系数和为求得的值； （2）令，得，再令，即可求得. 【详解】（1）由题意得，解得.………………………………6分 （2）令，得， 令，得， .……………………………………………………………13分 16.（15分）甲，乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得一1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列; (2)X的均值和方差。 【答案】 ………………………………………………………………………………………10分 E(X)=-0.2+0.3=0.1 ……………………………………………………………12分 D(X)=0.2(-1-0.1)2+0.5(0-0.1)2+0.3(1-0.1)2=0.49 …………………………………15分 17.（15分）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率。 【答案】 注意“不设事件扣3分” 18．（17分)已知函数 (1)若在处有极小值，求； (2)若，求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解； （2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值. 【详解】（1）由，得， 因为为的极小值点所以，解得或， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以为的极小值点； ………………………………………………………………………………………5分 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以为的极大值点； 经检验，时，在处取极大值，不符题意，所以；……………………………………………………………………10分 （2）当时，，令得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以为在区间的极大值，也是最大值. 由于，，，所以最小值为. 综上所述，在区间上的最小值为，最大值为. ………………………………………………………………………………………17分 19. (17分)在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”，事件“被调查者摸到白球”． （1）求与的值； （2）用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； （3）已知 =，求的值。 【答案】（1） …………………………………………………………3分 …………………………………………………………………6分 （2）利用全概率公式，结合已知的写下①的人数对应的频率作为，建立关于的方程，进而求解； ， 当时，…………………………………………………12分 （3） 因为 所以 解得………………………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期中考试卷（数学） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法（      ） A．24 B．20 C．10 D．9 2.已知函数其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ）高二 班 姓名： A.在上单调递减 B． 在处取得最大值 C．在上单调递减 D．在处取得最小值 3．下列各组数据中方差最大的一组是（    ） A．6，6，6，6，6 B．5，5，6，7，7 C．4，5，6，7，8 D．4，4，6，8，8 4.已知若则等于（ ） A. B． C． D． 5.袋子中有5个大小相同的球，其中2个红球、3个白球，依次从中不放回地取球，则第一次取到白球，且第二次取到红球的概率为（ ） A． B． C． D． 6.将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（    ） A．60种 B．90种 C．120种 D．180种 7.函数则（ ） A. B． C． D．的大小关系不能确定 8.函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（     ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 10．关于的展开式，下列结论正确的是（     ） A．展开式中共有9项 B．第3项为 C．各项系数的和为256 D．二项式系数的最大值为70 11．设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（    ） A． B．C．D． 选择题答题卡 单选 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 多选 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.曲线在点处的切线方程是 . 13．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 14. 若函数的极大值为1，则函数的极小值为 。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（本小题13分）设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024. (1)求的值； (2)求的值. 16.（本小题15分）甲，乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列; (2)X的均值和方差。 17.（本小题15分）现有来自两个班级的考生报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和5名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率。高二 班 姓名： 18．（本小题17分）已知函数 (1)若在处有极小值，求； (2)若，求在区间上的最值. 19. （本小题17分）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”，事件“被调查者摸到白球”． （1）直接写出与的值； （2）用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； （3）已知 =，求的值。 期中测试第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $