云南曲靖市宣威市2026届高三第二次模拟考试数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、在试题卷上作答无效， 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟， 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求 1.已知集合M=1x1lnx≤01，V=1x|x2<1},则M∩= A.(-1,1) B.(0,1) C.(0,1] D.(-3,1) 2.在复平面内，复数1对应的点与复数2=1+2i对应的点关于直线y=x对称，则1= A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i 名经过椭圆C二+1(m>0,>0)的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆 的离心率为 A5 B.5 4若曲线y=tm叫ex习}(o>0)的一个对称中心为石，0，则w不可能是 A.2 B.5 C.8 D.12 5.已知定义域为R的函数f(x)满足f八x)=f(4-x),且对任意x1,x2∈（-0,2]，当 ≠时，都有))<0，则 x1-x2 A.f(2)<f-3)<f4) B.f2)<f(4)<f-3) C.f4)<f2)<f-3 D.f(4)<f-3)<f(2》 6.已知正方形ABCD的边长为2，EF为该正方形内切圆的直径，点P在正方形ABCD的 边上运动，则PE·PF的最大值为 A B.1 C.√2 D.2 数学·第1页（共4页） 7.若曲线C:y=√-x+4x+5上存在两点到直线l:x-√3y-n=0(n>0)的距离为6，则n 的取值范围为 A.(5,8] B.[5,8] C.(8,11] D.(8,12] 8.已知正项数列1an}的前n项和为Sa,a,= 4’√a*1= a. ,则下列选项正确的是 I+ya 1 4 A.S10<2 1 B.257 3.2 D. 5<5o3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.某学校高三年级共有800人，其中男生480人，为调查学生的身高情况，现采用性别 比例分配的分层随机抽样抽取容量为40的样本.其中，男生身高的平均数和方差分 别为170和16，女生身高的平均数和方差分别为160和16，则 A.该校每位男生被抽到的可能性大于每位女生被抽到的可能性 B.男生中抽取的样本量为24 C.该校高三年级学生身高的平均数估计值为165 D.该校高三年级学生身高的方差估计值为40 10.如图1，已知正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为2，E、F分别为AB、BC的中点，M 为正方体表面上的动点，则下列说法正确的是 A.若点M在棱D,C,上运动，则EM与B,C一定为异面直线 B.若点M在棱D,C1上运动，则存在点M,使得AM∥平 面BEF C.若点M是底面ABCD内一点（包括边界），且点M到直线BC 与到直线A4,的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分 D若点M为D0,中点，则三棱锥B,-AWF体积为} 图1 11.已知△ABC满足cos2A-cos2B=2sinC.且外接圆半径为1，则 A.cosA-sinB)2=(sinA+cosB)2 B.a2+b2=2 C.当△ABC面积取得最大值时，A=T 8 D.当△ABC周长取得最大值时，A=T 12 口口口 数学·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.记S.为等比数列{an1的前n项和，若S,=a1-a2=3,则S,= 13.已知圆锥PO的高为3，A,B为底面圆周上两点且满足∠AOB= 3=15 4，则 该圆锥的体积为 14.一项比赛由A,B,C,D,E共5人参加，任意两人之间都需要比赛一场并且分出胜 负，若5人实力相当（即每场比赛两人胜负概率均为）)，则A的胜场数比其余任何 一人的胜场数都多的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=Asin(ox+P)(A>0,w>0,0<e<r)的部分图象如图2所示. (1)求f八x)的解析式： (2)若函数g(x)=)+川x+2, 求方程g(x)=2在[0,2]上的 解的个数 图2 16.(本小题满分15分) 某食盐厂生产标准质量为500克的袋装食盐，由于各种因素，实际质量与标准质量 或多或少会存在一些误差，误差在±4克以内视为质量合格，现为了检测一条自动流 水线的机器运行情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐检测它们的质量（单位： 克)作为样本数据，质量的分组区间为[494,496]，（496,498]，…(504,506， 且由样本数据绘制频率分布直方图如图3： (1)求a的值； 频率 组 (2)从质量不合格的食盐样本中，随机抽取30.175 袋，其中质量在「494,496]的食盐袋数记为X, 0.125 求X的分布列和期望. 0.050 0.025 0494496498500502504506质量/克 图3 数学·第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 如图4甲，△ABC是等边三角形，△DAC为等腰直角三角形，DA=DC=√2，将 △DAC沿AC翻折到△PAC的位置，其中PB=2(如图乙)，点F在线段PB上（不含 端点) (1)证明：AC⊥PB; (2)设平面ACF与平面PBC的夹角为 D a,求cosa的取值范围. 图4 18.(本小题满分17分) 已知f八x)=x2-alnx,g(x)=e-x. (1)若a=2,求f八x)的单调区间和极值； (2)若f八x)在(1，+)上既存在极小值点，又存在零点，求参数a的取值范围； (3)设s(a)={(x,)x)=0,g)=201,yeR,求s(a)中元素个数 1S(a)1的所有可能值. 19.(本小题满分17分) x2 y2 已知双曲线：。产=1(>0,6>0)的左、右顶点分别4、B,0为坐标原点.设点 P、Q、R是T上不同的三点，点Q、点P分别在厂的左支、右支上 (1)已知点P(4,√3)在T上，过P。作x轴的平行线，与双曲线T的两条渐近线 交于M、N两点，PM·P=4 (i)求T的标准方程： (iⅱ)△PQR的外心为D(异于原点O),若直线PQ、QR、RP、OD的斜率均存在且 不为0，分别记为k、k2、k、k4,探究Ⅱk,是否为定值.（注：Ⅱa,=aa2…an） (2)设直线PQ与直线x=a交于点E,直线OE与直线AQ交于点G,求 证：AP∥GB. 国 口▣回 数学·第4页（共4页）■■■■口■口口口 数学参考答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B 0 ◇ B C B 【解析】 1.,M={x0<x≤1，N={x-1<x<1,.M∩N=(0,1),故选B. 2.z2=1+2i,复数乙对应的点与复数乙2对应的点关于直线y=x对称，∴乙=2+i,故选 A. 3.由题可知左顶点（←m,0),上顶点(0m,则”= ,椭圆的焦点在y轴上， 1n4 e= 3 故选C. 4.… ,.0=3k+2k∈Z),当k=0时，0=2：当k=1时，0=5；当k=2时， 6 32 0=8当0=12时，k=0EZ,故选D. 3 5.由f(x)=f(4-x)得函数f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在(-m,2]上为减函数，所以 f(x)在[2，+w)上为增函数，.f(-3)=f(4+3)=f(7),且2<4<7，·f(2)<f(4)<f(-3), 故选B. 6.由题可知内切圆的半径为1，设内切圆的圆心为O,则PE,PF=(PO+OE)(PO+OF)= Po+(OE+OF)·PO+OE.OF-POP-|OEP-POP-1,当点P为正方形的顶点时，PO 有最大值√2，所以PE.PF的最大值为1，故选B. 7.由y=V-x2+4x+5,可得(x-2)2+y2=9y≥0)，即C:y=√-x+4x+5表示圆 (x-2)2+y2=9的上半部分（包含与x轴交点），当圆心(2,0)到直线：x-3y-n=0(n>0) 数学参考答案·第1页（共10页） ■■■■口■口口口 的距离为3时，此时曲线C上恰有一点到直线1的距离为6，由点到直线距离公式 d=2-”=3m>0,可得n=8,结合图形位置关系可知，当点(-0)到直线1的距离为 V1+3 6时，此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形，d=-1-=6m>0), √1+3 可得n=11,故n的取值范围为(8,11]，故选C. 8因为一陈以正么4后2，因此数T -1+√an am va a 是首项为2，公差为1的等差数列，则三+1，可得a0十D 因为1,11 日d。a2所u宫拉名2新服} 后营装名a片》名因能村行 111、 品方水对古名的散跳B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 BD ACD AC 【解析】 9.对于A,比例分配的分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故A错误； 对于B,由题抽样比例为40-，故男生被抽到人数为×480=24人，故B对： 80020 20 对于C,估计该校高三年级学生身高的平均数为： 4x170+16×160=166,故C错误： 2 40 40 对于D,估计该校高三年级学生身高的方差为： 6+00-1661+816+060-1o1=40.故D对.故选BD 24 数学参考答案·第2页（共10页） ■■■■口■口口口 10.当点M在棱DC上运动时，EM在平面ABCD上，而BC与平 D 面ABCD相交，且交点不在EM上，所以EM与B,C既不相交也 不平行，一定为异面直线，故A正确；如图1，取G、H分别为 AB,、B,C中点，则四边形ACHG为过点A与平面B,EF平行的 正方体的截面，与棱D,C,无交点，故B错误；当点M在底面 图】 ABCD内运动时，由AA⊥底面ABCD可得点M到直线AA的距 D 离即为MA,则在平面ABCD内，点M到定点A的距离等于点M B A 到定直线BC的距离，由抛物线定义可得点M的轨迹为以A为焦 点、BC为准线的抛物线的一部分，故C正确：如图2，取R为CC 中点，设B,F与BR交于点O,则由BR⊥BF、AB⊥B,F可得 图2 BFL平面ABRM,则VAAr=VA-Ao+V-Ao=亏Sa4O·BF =4MA,F=名x25=了数D正路，益选AD 6 11.对于A选项，己知cos2A-cos2B=2sinC,变形可得cos2A-Sin2A-cos2B+sin2B= 2sin(A+B)=2sin Acos B+2cos Asin B cos2A-2cos Asin B+sin2 B=sin2A+ 2 sin Acos B+cos2B,即(cosA-sinB)2=(sinA+cosB)?,故A正确；对于B选项，由A cos A-sin B=sin A+cos B sin B-cos A=sin A+cos B,cos A-sin A=sin B+cos B 血R-m房=mA+sA，雨omA+升a任9 或 或 m(B-到)-sm(A+羽，即A+牙-开8（合）或A+买B-子 或 44 4 B-牙-(A+到还A舍)，故有B=A+受C=元-AB号2A,(北亦时由和 差化积或恒等式(sinB+sinA)(sinB-sinA)=sin(B+A)sin(B-A)得来)故有 sB=sinA+sinC=sm行-2Acs2A，放。+b=2Rsin2+ 2RsnB=4R(in2A+cs=4R=4,放B错误：对于C选项，易知A=0哥到 SMBc=5 absinC=2R2 sin Asin Bsin C=2 sin AcosAcos22A=sin4A,则当4A=汇，即 2 数学参考答案·第3页（共10页） ■■■■口■口口口 A-时，△ABC面积最大，且最大值为)，放C正确：对于D选项，设△ABC周长为 1,1=a+b+c=2R(sinA+sin B+sinC)=2(sin A+cos A+cos 2A).f(x)=sinx+ cosr+cos2xx∈0， 4】 ,则f'(x)=cosx-sinx-2sin2x,显然， r8 1 mm19-10，不会是的 -sin 极大值点，即若△ABC周长存在最大值，A≠汇，故D错，故选AC 12 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 5 15 答案 -5 128 【解析】 12.S3=a,+a2+a=a,1+q+q2)=41-a2=a,(1-q),解得q=-2,又a,-a2=a1+2)=3, 解得a=1,故S4=a1+q9+q2+q)=1-2+4-8=-5. 13.如图3所示，取AB中点C,连接OC,PC,则由题意可得 PO LOC,PO=√5，OC⊥AB,PC⊥AB,△OAB为等边三角形，设 该圆维的底面半径为a,则OA=OB=AB=a,OC=5a 24, 故 Pc=( 又因为5地=店，所以 4 ，整 理得a4+4a2-5=0 即 后-a+50a=a合，故圆锥的体积v:P 14.由题意可得，共比赛C?=10场比赛，这些比赛共有20种可能的胜负情况，要使A的胜场 数比其余任何一人的胜场数都多，则A的胜场数只可能为4或3.若A胜4场，则剩下6场 比赛共有26=64种胜负情况，均满足条件.若A胜3场，则此时B、C、D、E各至多胜2 数学参考答案·第4页（共10页） ■■■■口■口口口 且胜场数为7，故恰有其中一人胜1场，其余三人均胜2场，由对称性，只需考虑A胜于 B、CD且负于E的情况数，记为n·若E胜1场，则E胜A且负于B、C、D,则 B、C、D之间的比赛各自一胜一负，共2种情况；若E胜2场，则除胜A外，E还另胜 了一场（有3种可能），不妨设E胜于A、B,负于C、D,此时C、D之间的胜负情况有 2种，不妨设C胜于D,由于C已胜于DE,C必负于B,而B、D之间胜负情况（有 2种可能)无论如何均满足条件，从而2=2+3×2×2=14，根据对称性，满足A的胜场 数比其余任何一人的胜场数都多的情况数为4n+64=120,则A的胜场数比其余任何一 人的胜场数都多的概率为120-15-15 210-27128 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)f(x)的最小值为-2，所以A=2, …（1分) f(x)的最小正周期T=2× 41 =2, 得2=2, 33 又0>0，所以0=兀，… (2分) 结合图象可知4+p=2kmk∈Z,即p=-号+2kk∈Z,…(4分） 0p<,-号，f到=2m+2 (6分) 3 2“a5rw1f25max）2x (9分) :令g)=2,即sin+6)厂方 ,5π1 又x∈[0,2，∴.r+ 5π「5π17π 6L66 ∴当r+=或2 55 元时，sinr+ 5兀 666 6 6 分别对应x=0,x5=2 故方程g(x)=2在[0,2]上的解的个数为3. …（13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)由题可得2×(0.025+0.050+a+0.175+0.125+0.025)=1.000,a=0.100 …(5分） 数学参考答案·第5页（共10页） ■■■■口■口口口 (2)区间[494,496中有5袋食盐，区间(504,506]中有5袋食盐，质量不合格的食盐所 在区间为[494,496和(504,506，…(6分) 从中随机抽取3袋，则X的所有可能取值为0,1,2,3， X=0-CC=PX-D)-CC-5 C3.12 C12 PX=2) CC-5,P(X=3)= …（10分) C12 C。12 则X的分布列为： X 0 2 3 5 5 P 1 1 12 12 12 …（12分) 所以B0X0-点+9+3-183 (15分) 121212122 17.(本小题满分15分) (1)证明：如图4，取AC中点为E,连接PE,BE, 因为PA=PC,AB=BC,所以PE⊥AC,BE⊥AC, 又因为PE∩BE=E,PE,BEC平面PBE, 所以AC⊥平面PBE,又因为PBC平面PBE,所以AC⊥PB.(5分) (2)解：因为△ADC为等腰三角形，DA=DC=√2，即PA=PC=√2， 所以AC=2,因为△ABC为等边三角形， 所以AB=AC=BC=2,故PE=1,BE=V3, 因PB=2,则PE+EB2=PB2,即PE⊥EB, 又因PE⊥AC,BE⊥AC, 所以EA,EP,EB两两互相垂直， 以E为原点，以{EA,EB,EP)为基底，建立空间直角坐标系，…(8分) A,0,0,B(0,V3,0),C(-1,0,0,P(0,0,1), 设平面PBC的法向量为i=(x,y,), PB=(0,V3,-10,PC=(1,0,-1), 则 ∫V5y-z=0 -x-3=0 图4 取y=1,得=(-√5,1，√5)， 数学参考答案·第6页（共10页） ■■■■口■口口口 设PF=tPB0<t<),所以PF=(0,V3,-), 所以F0,√3t,1-0,则CF=1,√3,1-)， 设平面ACF的法向量为m=(x2,2,2), [2x2=0 则 x2+V3y2+1-t)z2=0' 取y2=t-1,得m=(0,t-1,30), 所以cosa=cosm |t-1+3t 14t-1 1 16r2-8t+1 √t-12+3F.万√42-21+1.万 万V4t2-2t+1 令x=4-21,则-4Sx<2 所以1602-8+14+1三4-3 4t2-2t+1x+1 x+1 因为-<2时，04<3，所以0em< x+1 > 所以cosa∈0， 21 7 …(15分) 18.(本小题满分17分) 解：(1)，a=2,f(x)=x2-2nx,函数定义域为(0，+o), ·f")=2x-2-2- ,令f'()=0→x=1, …(1分) 则当x∈(0,1)时f'(x)<0,当x∈(L,+o)时f'(x)>0,且f①)=1-0=1， 所以f(x)的单调减区间为(0，)，单调增区间为(1，+o),…(3分) f(x)在x=1处取到极小值f①)=1，无极大值.…(4分) (2)“f)=x2-an,f'=2x-a-2x-4 …（5分) ①若a≤0，则f'(x)>0,此时f()在(0，+∞)上单调递增，不存在极小值点，与题设矛 盾，故舍去；… …(6分) ②若a>0,令f'(x)=0→x 爸动 则在0月 单调递减， 上单调递增， :f(x)在(1，+0)上存在极小值点，。 a 2>1→a>2, …（8分) 数学参考答案·第7页（共10页） ■■■■口■口口口 又，f(x)在(1，+0)上存在零点，且f)=1>0,当x→+w,f(x)→+0， ≤0-a≥2e； 综上，参数a的取值范围为2，十0).…(10分) （3)设S@)为方程f)=0在x>1上的解的个数，S,@为方程g0)-名在)eR上的 解的个数，显然S(a)上S,(a)·S2(a). 对于方程f)=0,因为x>1,所以1nx>0,则f=0等价于a=亡 Inx 对于方程g0)=a,等价于a=2e(e'-), 2e i设h=兰x>,o)=2c(e'-)0eR), Inx h'=(2lnr-1) ,hx)=0时，x=Ve, (Inx)2 当1<x<V时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x>√时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 故h(x)在x=√E取得最小值h()=2e,又因为x→1，h(x)→+o;x→+o,h(x)+o, [0,a<2e 所以方程h(x)=a的解的个数为S,(a)=l,a=2e,… …(13分) 2,a>2e p'(y)=2e(e'-1),则当y<0时，p(y)<0,py)单调递减；当y>0时，p'y)>0,py) 单调递增， 故py)在y=0取得最小值m0)=2e,又因为y→-w,py)→+w:y→+0，y)→+0， 0,a<2e 所以方程p(y)=a的解的个数为S2(a)= 1,a=2e,…(15分) 2,a>2e 因为S(a)上S,(a)·S,(a),所以 当a<2e时，|S(a)0；当a=2e时，|S(a)=1;当a>2e时，|S(a)F4, 综上，|S(a)川的所有可能值为0,1,4. …(17分) 19.(本小题满分17分) (i所自题可0台京18会+040小4 数学参考答案·第8页（共10页） ■■■■口■口口口 解得a2=4,b2=1, 所以T的标准方程为y2.…(4分) 4 (ⅱ)证明： 根据条件知，△PQR的三边中至多有一边经过原点O,不妨设PQ、QR不过原点O, 设P(,y,Q(x2),R(,yDxy4)，如图5，则 x-4y=4,x号-4=4， 两式相减，得(x+x2)(x-x)-4(y,+y2)y-y2)=0, 所以k=当二占=方+五，太0，同理k=点+5 …(6分) x-x34(y1+y2) 4(y2+y) 于是线段P吧的垂直平分线的方程为y-当+业=-4(+x-+龙》 2 2 整理，得少=」 4x5 X 乃+yx+62 同理线段QR的垂直平分线的方程为y =-_4x 》2+y2+x2 所以=-4+点，-4+5 (8分) y+y2+x 2 y2+y3x+x 2 两式相减，得一-一=-4x+4x, yi+y2y2+y3+x2x2+x3 整理，得yyy) 4x4(x3-x) ,即4=-+业.+出.5五， (y+y2)y2+y3)(x+x2)(x2+x3) 4x4x+x2 x2+x3 y3-y 又飞=出，飞=当， X3-x1 所以-1.1,1 44k14k2k3 于是认=6k=子是定值， …（10分) (2)证明：设直线PQ的方程为y=kx+m,P(x,y),Q(x2,2), 图5 联立y=+m bB-ay=ab,消得kd-e+2ma2x+ma+ab=0, 数学参考答案·第9页（共10页） ■■■■口■口口口 -2kma2 ka2-B≠0，△=4a(m+B-ka)>0x+5Rd-F'= m'a2+ab2 k2a2-b2 把x=a代入y=kx+m得E(a,ka+m). 直线OE的方程为：y=@+mx, a 由题A(-a,0),B(a,0),如图6， 直线AQ的方程为： y=2x+0→y= x2+m(x+a), 3+a x+a 图6 联立直线AQ与直线OE的方程，得G (kx,+m)a2 (ka+m)(kx,+m)a mx2 +ka? mx2 ka2 BG= ((ka2-ma)x ma2-ka (ka+m)(kxz +m)a mx,ka? mxz +ka? 又AP=(x+a,y)=(x+a,kx+m),…(14分) 要证明AP∥GB,只需证明[(ka2-ma)x2+ma2-ka](kx+m)=(x+a)ka+m)kx2+m)a, 即证明2kxx2+(m2+k2a2)(x+x2)+2kma2=0, -2kma? 把x+x= 222”x=a+ab代入上式，得 k2a2-b2 2km.ma+ab2 ka2-63+m2+ka) -2kma2 k2a2-b2 +2kma? =ka2-0m+b-m2-ka2+k2a2-b)=0, 2kma2 所以AP∥GB.… ……（17分) 数学参考答案·第10页（共10页）