江苏盐城市建湖县2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 立足八年级下册核心知识，融合芯片测试、成语文化等真实情境，通过基础概念辨析、几何推理与代数应用的梯度设计，考查数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|分式、因式分解、平行四边形、统计|第5题芯片测试情境考查样本容量，体现科技关联| |填空题|8/24|分式运算、事件类型、菱形性质|第12题成语事件分类，渗透文化传承| |解答题|9/72|几何证明、因式分解应用、探究迁移|24题因式分解生成密码，25题从正方形到直角三角形类比迁移，考查推理与创新意识|

江苏省盐城市建湖县2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D．xy 2．（3分）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A．x2﹣4＝（x﹣2）2+4x B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2﹣1+2x＝（x+1）（x﹣1）+2x 3．（3分）下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：1：2：2 B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．∠B＝∠C，∠A＝∠D 4．（3分）两组对边中只有一组平行的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 5．（3分）国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（　　） A．该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B．样本容量是200 C．200个芯片是抽取的一个样本 D．1200个新型芯片是总体 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAB大小是（　　） A．55° B．35° C．45° D．20° 7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点F．若BF＝3，DE＝5，则AD的长为（　　） A．3 B．3.5 C．5 D．7 8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝1，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填写在答题卡相应位置上.） 9．（3分）若分式无意义，则m＝　 　 ． 10．（3分）若x﹣y＝﹣3，xy＝2，则x2y﹣xy2＝　 　 ． 11．（3分）分式与的最简公分母是 　 　 ． 12．（3分）“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖．上述成语描述的场景为不可能事件的是　 　 ．（填序号） 13．（3分）如图，已知直线a∥b，则S△ABC　 　 S△BCD．（填“＞”“＜”或“＝”） 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，O为BD的中点，过点O作BD的垂线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△BEF的周长为 　 　 ． 15．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点．若BD＝16，OE＝5，则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 16．（3分）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′，DC′，若∠CC'D＝90°，C′D＝1，则线段BC的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分.） 17．（6分）把下列各式因式分解： （1）3m4﹣12； （2）2x2y﹣8xy+8y． 18．（6分）（1）约分：； （2）通分：和． 19．（8分）某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数m 60 122 180 240 a 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.6 （1）完成上述表格：a＝　 　 ；b＝　 　 ； （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是　 　 （精确到0.1）； （3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 20．（8分）已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连接DF、EF、BF． （1）求证：四边形BEFD是平行四边形； （2）若∠AFB＝90°，AB＝10，求四边形BEFD的周长． 21．（8分）如图，点O是菱形ABCD的对角线AC和BD的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）连接OE，若AC＝24，BD＝10，求OE的长． 22．（8分）【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，EF就是梯形ABCD的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接AF并延长，交BC的延长线于点G． … （1）请写出梯形的中位线EF和两底AD、BC之间的关系，并说明理由． 【理解内化】 （2）如图3，若梯形ABCD的面积为63cm2，高为7cm，则梯形的中位线EF的长为　 　 ． 23．（8分）请仅用无刻度的直尺按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法： （1）如图1，在四边形ABDC中，AB＝AC，BD＝CD，BE∥DC，作一个菱形，使其三个顶点恰好是四边形ABDC中的三个顶点； （2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，点E在AD上，DE＝DC，作∠A的平分线AM． 24．（10分）综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】 步骤一：分解因式x2y2﹣9y2＝y2（x2﹣9）＝y2（x+3）（x﹣3）； 步骤二：取x＝8，y＝4，则有y＝4，y＝4，x+3＝11，x﹣3＝5，其中04，04，11，05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推； 【理解】 （1）①已知多项式x2﹣y2，当取x＝26，y＝20时，则生成的密码是　 　 ； ②已知多项式x（x2﹣6x+9），当x＝12时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是　 　 ； 【拓展】 （2）①已知多项式x4﹣y4，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05，07，则第三个因式码为　 　 ； ②若多项式x3﹣x2y﹣xy2+y3，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是040408，请写出满足条件的x和y，并说明理由． 25．（10分）【探索发现】 （1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F，连接EF．在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△BOF即可推导出来． ①请你猜想AE，CF，EF之间的数量关系是　 　 ； ②小新对图1的进一步研究中发现，延长EO与DC交于一点G，通过证明△AOE≌△COG也可推导出AE，CF，EF之间的数量关系，请你证明△AOE≌△COG； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC的中点O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE，CF，EF之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ACB中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点O是边AC的中点，∠EOF＝90°，它的两条边OE和OF分别与直线AB，BC相交于点E，F，∠EOF可绕着点O旋转，当AE＝4时，请直接写出线段BF的长度为　 　 ． 江苏省盐城市建湖县2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 1、 选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C C B A D A 1．（3分）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D．xy 【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子 就叫做分式，由此判断即可． 【解答】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、是分式，故此选项符合题意； C、不是分式，故此选项不符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握这个定义是解题的关键． 2．（3分）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A．x2﹣4＝（x﹣2）2+4x B．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x2﹣1+2x＝（x+1）（x﹣1）+2x 【分析】运用因式分解的定义对各选项进行逐一辨别、求解． 【解答】解：∵x2﹣4＝（x﹣2）2+4x的右边不是整式的乘积形式， ∴选项A不符合题意； ∵x2﹣6x+9＝（x﹣3）2是因式分解， ∴选项B符合题意； ∵（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1是多项式乘多项式， ∴选项C不符合题意； ∵x2﹣1+2x＝（x+1）（x﹣1）+2x的右边不是整式的乘积形式， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 【点评】此题考查了因式分解的辨别能力，关键是能准确理解并运用因式分解的定义． 3．（3分）下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C：∠D＝1：1：2：2 B．AB＝AD，CB＝CD C．AB＝CD，AD＝BC D．∠B＝∠C，∠A＝∠D 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C：∠D＝1：1：2：2， ∴，， ∴∠B+∠A＝120°， ∴AD与BC不平行，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故本项不符合题意； B．AB＝AD，CB＝CD，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故本项不符合题意； C．AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等，可以判定四边形ABCD为平行四边形，故本项符合题意； D．∠B＝∠C，∠A＝∠D，且∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，可得∠B+∠A＝180°， ∴AD∥CB，只有一组对边平行，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据平行四边形的判定方法解答． 4．（3分）两组对边中只有一组平行的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【分析】根据各类四边形对边平行的数量特征，逐一分析选项，从而选出符合“只有一组对边平行”条件的四边形． 【解答】解：平行四边形：两组对边分别平行， 故选项A不符合题意； 矩形：两组对边分别平行（矩形是特殊的平行四边形）， 故选项B不符合题意； 梯形：只有一组对边平行， 故选项C符合题意； 正方形：两组对边分别平行（正方形是特殊的平行四边形）， 故选项D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查了梯形，解题关键是熟练掌握梯形的定义． 5．（3分）国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（　　） A．该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B．样本容量是200 C．200个芯片是抽取的一个样本 D．1200个新型芯片是总体 【分析】只需根据调查分类，总体，样本，样本容量的定义逐一判断即可． 【解答】解：∵该调查从1200个芯片中抽取200个进行检测，只调查了部分个体，∴是抽样调查，不是全面调查，A错误，不符合题意； ∵样本容量指样本中包含的个体数目，本题抽取了200个芯片，∴样本容量是200，B正确，符合题意； ∵样本是被抽取的200个芯片的运行效率，不是200个芯片本身，∴C错误，不符合题意； ∵总体是1200个新型芯片的运行效率，不是1200个新型芯片本身，∴D错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查总体样本，样本容量，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAB大小是（　　） A．55° B．35° C．45° D．20° 【分析】先由矩形性质得到OA＝OB，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【解答】解：在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOD＝110°， ∴OA＝OB，∠AOB＝180°﹣∠AOD＝70°， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． 7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点F．若BF＝3，DE＝5，则AD的长为（　　） A．3 B．3.5 C．5 D．7 【分析】根据三角形中位线定理求出AB，进而求出AF，根据作图求出AD． 【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝2×5＝10， ∵BF＝3， ∴AF＝AB﹣BF＝10﹣3＝7， 由作图可知：AD＝AF＝7， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝1，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】利用正方形的对称性，找到点B关于对角线AC的对称点D，把PB+PE转化为PD+PE；再根据“两点之间线段最短”，当D、P、E三点共线时，PD+PE的最小值就是线段DE的长度；最后结合已知边长，用勾股定理算出DE＝5，得到PB+PE的最小值． 【解答】解：∵BE＝1，AE＝3BE， ∴AE＝3，正方形边长AB＝AE+BE＝4.2， 利用对称性转化线段正方形ABCD中，点B和点D关于对角线AC对称，因此对于AC上任意一点P，都有PB＝PD． ∴PB+PE＝PD+PE． 根据“两点之间线段最短”，当D、P、E三点共线时，PD+PE取得最小值，即DE的长度． 在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝4， 由勾股定理：， ∴PB+PE的最小值是5． 故选：A． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案填写在答题卡相应位置上.） 9．（3分）若分式无意义，则m＝　2　 ． 【分析】分式无意义即分母为0，由此计算即可． 【解答】解：若分式无意义， 则m﹣2＝0， 解得m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 10．（3分）若x﹣y＝﹣3，xy＝2，则x2y﹣xy2＝　﹣6　 ． 【分析】先提取公因式xy，把多项式分解因式，再把已知条件代入计算即可． 【解答】解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝2×（﹣3）＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是根据已知条件确定正确的因式分解法． 11．（3分）分式与的最简公分母是 　2a2b ． 【分析】根据最简公分母的定义求解． 【解答】解：分式与的最简公分母是2a2b． 故答案为：2a2b． 【点评】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 12．（3分）“成语”具有结构固定、意义整体、历史悠久等特点，承载着丰富的历史和文化内涵；①水中捞月；②守株待兔；③百步穿杨；④瓮中捉鳖．上述成语描述的场景为不可能事件的是　①　 ．（填序号） 【分析】根据不可能事件的定义进行逐一判断即可：在一定条件下，一定不会发生的事件是不可能事件． 【解答】解：①不可能捞到，为不可能事件； ②守株待兔描述兔子偶然撞树，虽概率小但可能发生； ③百步穿杨描述射箭技术高超，可能发生； ④瓮中捉鳖描述一定完成的事情，必然发生． 故答案为：①． 【点评】本题主要考查了事件的分类，熟知不可能事件的定义是解题的关键． 13．（3分）如图，已知直线a∥b，则S△ABC　＝　 S△BCD．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】由a∥b可推出△ABC与△DBC中BC边上的高相等，又有两个三角形有公共底BC，根据三角形面积公式即可确定关系． 【解答】解：由条件可知△ABC与△DBC中BC边上的高相等， ∵BC＝BC， ∴S△ABC＝S△BCD． 故答案为：＝． 【点评】本题考查了平行线之间的距离、三角形面积，熟练掌握以上知识点是关键． 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，O为BD的中点，过点O作BD的垂线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△BEF的周长为 　20　 ． 【分析】连接DF，先由勾股定理求出BD＝10，再证明△BOF和△DOE全等OF＝OE，由此可判定四边形BEDF是菱形，设BE＝DE＝DF＝BF＝a，则AE＝8﹣a，在Rt△ABE中，由勾股定理求出a得BE＝BF，再由菱形的面积公式求出EF，进而可得△BEF的周长． 【解答】解：连接DF，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，BC＝8， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠OBF＝∠ODE，△ABD和△ABE是直角三角形， 在△ABD中，由勾股定理得：BD10， ∵点O为BD的中点，EF⊥BD， ∴OB＝OD，∠BOF＝∠DOE＝90°， 在△BOF和△DOE中， ， ∴△BOF≌△DOE（ASA）， ∴OF＝OE， 在四边形BEDF中，OB＝OD，OF＝OE，EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形， ∴BF＝DE＝DF＝BF， 设BE＝DE＝DF＝BF＝a，则AE＝AD﹣DE＝8﹣a， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE2＝AE2+AB2， ∴a2＝（8﹣a）2+62， 解得：a， ∴BE＝BF， 由菱形的面积公式得：S菱形BEDFBD•EF＝BE•AB， ∴， ∴EF， ∴AE+BF+EF20， ∴△BEF的周长为20． 故答案为：20． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 15．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点．若BD＝16，OE＝5，则菱形ABCD的面积为 　96　 ． 【分析】由菱形性质得OB＝ODBD＝8，OA＝OC，AC＝2OC，AC⊥BD，再由点E是AB的中点得OE是△ABC的中位线，由此得BC＝2OE＝10，在Rt△OBC中，由勾股定理求出OC＝6得AC＝12，据此可得出菱形ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且BD＝16， ∴OB＝ODBD＝8，OA＝OC，AC＝2OC，AC⊥BD， ∴△OBC是直角三角形， 又∵点E是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴BC＝2OE， ∵OE＝5， ∴BC＝10， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝BC2﹣OB2＝102﹣82＝6， ∴AC＝2OC＝12， ∴菱形ABCD的面积为：AC•BD12×16＝96． 故答案为：96． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键． 16．（3分）如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′，DC′，若∠CC'D＝90°，C′D＝1，则线段BC的长为　　 ． 【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质定理，以及旋转的性质即可得到结论． 【解答】解：过点B作BE⊥CC'于点E， ∴∠BEC＝∠CC′D＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°． ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠C'CD+∠BCE＝90°， ∴∠EBC＝∠C'CD， ∴△BCE≌△CDC'（AAS）， ∴CE＝C'D＝1． 由旋转得，BC＝BC'， ∴△BCC'为等腰三角形， ∴CE＝C'E， ∴CC'＝2， ∴CD， ∴BC＝CD＝BC′． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本大题共9小题，共72分.） 17．（6分）把下列各式因式分解： （1）3m4﹣12； （2）2x2y﹣8xy+8y． 【分析】（1）先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式2y，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）3m4﹣12＝3（m4﹣4）＝3（m2+2）（m2﹣2）； （2）2x2y﹣8xy+8y＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 18．（6分）（1）约分：； （2）通分：和． 【分析】（1）把分子分母都约去公因式4ab2c即可； （2）先确定最简公分母为x（x﹣2）（x+2），然后利用分式的基本性质把两个分式的分母都化为x（x﹣2）（x+2）即可． 【解答】解：（1）原式； （2）最简公分母为x（x﹣2）（x+2）， ， ． 【点评】本题考查了通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．也考查了约分． 19．（8分）某学校八年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，如表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画”区域的次数m 60 122 180 240 a 600 落在“书画”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.6 （1）完成上述表格：a＝　295　 ；b＝　0.6　 ； （2）假如你去转动该转盘一次，你获得“书画”奖品的概率约是　0.6　 （精确到0.1）； （3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？ 【分析】（1）根据频率＝频数÷总数，求解即可； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“书画作品”的概率； （3）用360°乘以获得“手工”奖品的概率即可． 【解答】解：（1）a＝500×0.59＝295，b＝240÷400＝0.6； 故答案为：295，0.6； （2）当次数n很大时，频率将会接近0.6，获得“书画”奖品的概率约是0.6； 故答案为：0.6； （3）360°×（1﹣0.6）＝144°， 答：标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是144°． 【点评】本题考查利用频率估计概率，扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． 20．（8分）已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连接DF、EF、BF． （1）求证：四边形BEFD是平行四边形； （2）若∠AFB＝90°，AB＝10，求四边形BEFD的周长． 【分析】（1）根据中位线的性质可得DF＝BE、DF∥BE，然后由平行四边形的判定可得结论； （2）根据直角三角形斜边上中线的性质及中点的定义可得平行四边形BEFD的邻边的长，由周长公式可得答案． 【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， ∴DF∥BC，DFBC＝BE， ∴四边形BEFD是平行四边形； （2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝10， ∴DFAB＝5＝BD， ∵四边形BEFD是平行四边形， ∴BD＝EF＝5，DF＝BE＝5， ∴四边形BEFD的周长＝4×5＝20． 【点评】此题考查的是平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 21．（8分）如图，点O是菱形ABCD的对角线AC和BD的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）连接OE，若AC＝24，BD＝10，求OE的长． 【分析】（1）先由CE∥BD，DE∥AC可判定四边形OCED是平行四边形，根据菱形性质得∠DOC＝90°，由此即可得出结论； （2）先由菱形性质得OCAC＝12，ODBD＝5，再由矩形性质得∠ODE＝90°，DE＝OC＝12，由此在Rt△ODE中，由勾股定理即可求出OE的长． 【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD的交点为点O， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形， （2）∵四边形ABCD是菱形，且AC＝24，BD＝10， ∴OCAC＝12，ODBD＝5， 由（1）可知：四边形OCED是矩形， ∴∠ODE＝90°，DE＝OC＝12， ∴△ODE是直角三角形， 在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE13， 即OE的长为13． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 22．（8分）【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，EF就是梯形ABCD的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接AF并延长，交BC的延长线于点G． … （1）请写出梯形的中位线EF和两底AD、BC之间的关系，并说明理由． 【理解内化】 （2）如图3，若梯形ABCD的面积为63cm2，高为7cm，则梯形的中位线EF的长为　9cm ． 【分析】（1）证△ADF≌△GCF（AAS），再根据三角形中位线即可得解； （2）由面积公式可得AD+BC＝18cm，再根据（1）中结论求解即可． 【解答】解：（1），EF∥AD∥BC． 理由：如图②，连接AF，交BC的延长线于点G， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠G，∠D＝∠GCF， ∵点F是CD的中点， ∴DF＝CF， ∴△ADF≌△GCF（AAS）， ∴AD＝CG，AF＝GF， ∵EF是△ABG的中位线， ∴EF∥BC，， ∵BG＝BC+CG＝BC+AD， ∴，EF∥AD∥BC； （2）S梯形ABCD•h7＝63cm2， ∴AD+BC＝18cm， 由（1）知EF（AD+BC）＝9cm； 故答案为：9cm． 【点评】本题主要考查了全等三角形、三角形的中位线、梯形中位线、面积公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．（8分）请仅用无刻度的直尺按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法： （1）如图1，在四边形ABDC中，AB＝AC，BD＝CD，BE∥DC，作一个菱形，使其三个顶点恰好是四边形ABDC中的三个顶点； （2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，点E在AD上，DE＝DC，作∠A的平分线AM． 【分析】（1）先连结AD、BC，则AD垂直平分BC，BE交AD于F，连结CF，利用BF∥CD可证明四边形BDCF为平行四边形，然后可判断四边形BDCF为菱形； （2）连结AC和BD得到对角线的交点O，连结EO并延长交BC于M点，则AM满足条件． 【解答】解：（1）如图1，四边形BDCF为所作； （2）如图2，AM为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定方法是解决问题的关键． 24．（10分）综合与实践． 【主题】利用因式分解生成密码． 【背景】人类使用密码的历史悠久，利用因式分解生成密码的步骤如下：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码． 【操作】 步骤一：分解因式x2y2﹣9y2＝y2（x2﹣9）＝y2（x+3）（x﹣3）； 步骤二：取x＝8，y＝4，则有y＝4，y＝4，x+3＝11，x﹣3＝5，其中04，04，11，05分别为因式码； 步骤三：将这四个因式码按从小到大的顺序排列，形成密码04040511． 【注意】字母的取值不同，所得的密码也不同；若所得的因式码为1，则形成密码时，表示为01，以此类推； 【理解】 （1）①已知多项式x2﹣y2，当取x＝26，y＝20时，则生成的密码是　0646　 ； ②已知多项式x（x2﹣6x+9），当x＝12时，用上述方法生成的密码是一个六位数，则生成的密码是　090912　 ； 【拓展】 （2）①已知多项式x4﹣y4，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为05，07，则第三个因式码为　37　 ； ②若多项式x3﹣x2y﹣xy2+y3，用上述方法生成密码时，已知当取x，y某一组值时，生成的密码是040408，请写出满足条件的x和y，并说明理由． 【分析】（1）①用平方差公式分解多项式，代入x、y的值计算因式结果，按规则处理因式码（一位数补0）；按从小到大排列因式码得到密码； ②用完全平方公式分解多项式，代入x的值计算因式结果，按规则处理因式码（一位数补0），按从小到大排列因式码得到六位数密码； （2）①用平方差公式分解多项式，根据前两个因式码确定对应因式的值，解方程组求出x、y，计算第三个因式的值得到因式码； ②用分组分解法分解多项式，根据密码确定对应因式的值，解方程组求出x、y，验证结果是否符合密码规则． 【解答】解：（1）①x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）， 代入x＝26，y＝20：x+y＝46，x﹣y＝6， 排序：06、46， 密码为：0646． 故答案为：0646． ②分解因式：x（x2﹣6x+9）＝x（x﹣3）2， 代入x＝12：x＝12，x﹣3＝9，x﹣3＝9， 排序：09、09、12， 密码为：090912． 故答案为：090912． （2）①x4﹣y4＝（x2+y2）（x+y）（x﹣y）， 分析因式码：前两个为05、07，对应x﹣y＝5，x+y＝7， 解方程组：x＝6，y＝1， 第三个因式：x2+y2＝37，因式码为37； 故答案为：37； ②x3﹣x2y﹣xy2+y3 ＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y） ＝（x﹣y）（x2﹣y2） ＝（x﹣y）（x﹣y）（x+y） ＝（x﹣y）2（x+y）， 040408对应x﹣y＝4，x+y＝8， 解方程组：x＝6，y＝2， 验证：（x﹣y）2＝16，排列后为040408，符合条件． 【点评】本题考查了因式分解的应用和因式分解的意义，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平方差公式分解因式． 25．（10分）【探索发现】 （1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，边A1O与边AB相交于点E，边C1O与边CB相交于点F，连接EF．在实验与探究中，小新发现无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，AE，CF，EF之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明△AOE≌△BOF即可推导出来． ①请你猜想AE，CF，EF之间的数量关系是AE2+CF2＝EF2 ； ②小新对图1的进一步研究中发现，延长EO与DC交于一点G，通过证明△AOE≌△COG也可推导出AE，CF，EF之间的数量关系，请你证明△AOE≌△COG； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC的中点O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断AE，CF，EF之间的数量关系并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在Rt△ACB中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点O是边AC的中点，∠EOF＝90°，它的两条边OE和OF分别与直线AB，BC相交于点E，F，∠EOF可绕着点O旋转，当AE＝4时，请直接写出线段BF的长度为　或　 ． 【分析】（1）①先证明△AOE≌△BOF（ASA），可得AE＝BF，推出BE＝CF，再运用勾股定理即可证得结论； ②延长EO交DC于点G，由正方形性质可得OA＝OC，∠OAE＝∠OCG＝45°，再利用ASA可证得△AOE≌△COG； （2）延长EO交CD于点G，连接FG，可证得△AEO≌△CGO（AAS），得出AE＝CG，OE＝OG，再由线段垂直平分线的性质可得EF＝FG，再运用勾股定理即可求得答案； （3）设BF＝x，分两种情况讨论：①当点E在线段AC上时，②当点E在CA延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【解答】（1）①解：猜想：AE2+CF2＝EF2，理由如下： 如图1， ∵四边形ABCD和四边形A1B1C1O均为正方形， ∴OA＝OB，AB＝BC，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠A1OC1＝90°， ∴∠AOB﹣∠BOE＝∠A1OC1﹣∠BOE， 即∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴AE＝BF， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF，即BE＝CF， 在Rt△BEF中，BF2+BE2＝EF2， ∴AE2+CF2＝EF2， 故答案为：AE2+CF2＝EF2． ②证明：如图1′，延长EO交DC于点G， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OA＝OC，∠OAE＝∠OCG＝45°， 在△AOE和△COG中， ， ∴△AOE≌△COG（ASA）． （2）解：结论：AE2+CF2＝EF2， 证明：如图2，延长EO交CD于点G，连接FG， ∵O是矩形ABCD的中心， ∴点O是AC的中点． ∴AO＝CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°，AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CGO， ∴△AEO≌△CGO（AAS）， ∴AE＝CG，OE＝OG， ∵四边形A1B1C1O是矩形， ∴∠A1OC1＝90°，即OF⊥EG， ∴OF垂直平分EG， ∴EF＝FG， 在Rt△FCG中，CG2+CF2＝GF2， ∴AE2+CF2＝EF2； （3）设BF＝x， ①当E在线段BA上时，如图， ∵AE＝4， ∴BE＝2， 在Rt△FBE中，∠B＝90°， ∴BE2+BF2＝EF2， ∴22+x2＝EF2， 又由（2）知EF2＝AE2十CF2， ∴EF2＝42+CF2， ∴22+x2＝42+（8﹣x）2， 解得x， 此时BF； ②当点E在BA延长线上时， 同理可证EF2＝AE2十CF2， ∴EF2＝42+（8+x）2， 又在Rt△FBE中， EF2＝x2+（6+4）2， ∴x2+（6+4）2＝42+（8+x）2， 解得x， 此时BF； 故BF的长度为或． 故答案为：或． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形根据勾股定理列方程解决问题. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $