第六章平行四边形 （习题课件） 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第2课　平行四边形的性质(2) 数学　八年级下册 1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若OA＝5，OB＝7，则AC＋BD的值是 ( ) A．17     B．19     C．22     D．24 D 数学　八年级下册 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝10，BD＝12，AB＝m，则m的取值范围为 ( ) A．10＜m＜12     B．2＜m＜22     C．1＜m＜11     D．5＜m＜6 C 数学　八年级下册 3．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15 cm，AB＝6 cm，则AC＋BD＝_____cm. 18 数学　八年级下册 4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若图中阴影部分的面积为3 cm2，则△OAB的面积为____cm2. 3 数学　八年级下册 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F. (1)求证：△BFO≌△DEO； (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OB＝OD. ∴∠EDO＝∠FBO. ∴△BFO≌△DEO(ASA). 在△BFO和△DEO中， 数学　八年级下册 (2)若CD＝10，AD＝8，OE＝5，则四边形ABFE的周长为____． (2)解：∵△BFO≌△DEO，∴BF＝DE，OF＝OE＝5. ∴BF＋AE＝DE＋AE＝AD＝8，EF＝OF＋OE＝10. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝10. ∴四边形ABFE的周长为 AB＋BF＋EF＋AE＝10＋8＋10＝28. 故答案为28. 28 数学　八年级下册 6．如图，在等腰梯形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，∠ADE＝30°，则∠A＝____°， ∠B＝___°. 7．在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠A＝50°，那么∠C＝____°. 60 60 130 数学　八年级下册 8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠C＝60°，AD＝15 cm，BC＝39 cm.求CD的长和梯形的面积． 解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E. ∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴BE＝AD＝15 cm, AB＝DE. 在等腰梯形ABCD中，AB＝CD，∴DE＝CD. 又∵∠C＝60°，∴△DEC是等边三角形． ∴CD＝EC. ∵BC＝39 cm，∴EC＝BC－BE＝39－15＝24(cm). ∴CD＝24 cm. 数学　八年级下册 如图，过点D作DF⊥BC于点F. ∴CF＝ EC＝12(cm). ∴DF＝ ＝ ＝12 (cm). ∴梯形ABCD的面积为 ×(AD＋BC)·DF＝ ×(15＋39)×12 ＝324 (cm2). 数学　八年级下册 9. 已知平行四边形的一条边的长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是 ( ) A．10与16     B．12与16     C．20与22     D．10与18 C 数学　八年级下册 10．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，则BD＝______． 数学　八年级下册 11．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留画图痕迹，不写画法)，并说明理由． 解：如图，OP即为∠AOB的平分线．理由如下： ∵四边形AEBF是平行四边形， ∴AP＝BP. 又∵OA＝OB， ∴OP是∠AOB的平分线． 数学　八年级下册 12.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫作非凡三角形．例如：某三角形的三边长分别是 ，2和3，因为( )2＋32＝12＝3×22，所以这个三角形是非凡三角形． (1)若△ABC是非凡三角形，且AB＝3， BC＝6，则AC＝____； 解：(1)∵AB＝3，BC＝6，∴3<AC<9. ∵△ABC是非凡三角形， 数学　八年级下册 ∴AB2＋BC2＝3AC2或AB2＋AC2＝3BC2或AC2＋BC2＝ 3AB2(不存在，舍去). ∴AC＝ ＝ 或AC＝ ＝3 (不符合题意，舍去). 故答案为 . 数学　八年级下册 (2)如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AB＝6，且△ABD是非凡三角形，求AC的长． (2)∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD. ∴AD＝AB＝6. ∵△ABD是非凡三角形，有以下三种情况： ∴BO＝DO＝ BD，AC＝2AO. ①当AB2＋AD2＝3BD2时，BD2＝ (AB2＋AD2)＝24， ∴BD＝2 . ∴BO＝ BD＝ . 数学　八年级下册 在Rt△AOB中，AO＝ ＝3 ，∴AC＝2AO＝6 ； ③当AD2＋BD2＝3AB2时，同理可得AC＝6 . 综上所述，AC的长为2 或6 . 在Rt△AOB中，AO＝ ＝ ， ∴AC＝2AO＝ ； ②当AB2＋BD2＝3AD2时，BD2＝3AD2－AB2＝72， ∴BD＝6 . ∴BO＝ BD＝3 . 数学　八年级下册 $第5课　平行四边形的判定(3) 数学　八年级下册 1．如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是 ( ) A．线段AB的长度     B．线段CD的长度     C．线段AB     D．线段CD 2．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上， 已知AB＝6，∠ABC＝30°，则直线 l1，l2之间的距离为______.　　 B 3 数学　八年级下册 3．如图，AB∥CD，AD∥BC， AD＝5，BE＝8，△ADE的面积 为10，则四边形ABED的面积为____． 4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC， 若△AOB的面积为6， 则△COD的面积为____． 26 6 数学　八年级下册 5．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件 即可证明AF＝CE，这个条件可以 是____________________． (写出一个即可) AE＝FC(答案不唯一) 数学　八年级下册 6．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论： ①AB＝CD； ②BE＝DF； ③S四边形ABDC＝S四边形BDFE； ④S△ABE＝S△CDF. 其中正确的是__________．(填序号) ①②③④ 数学　八年级下册 7．如图，在腰长为8的等腰△ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点， 并且ME∥AC，MF∥AB， 则四边形MEAF的周长是_____． 16 数学　八年级下册 8．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形． (1)求证：AD＝BC； (1)证明：由题意知，AB∥CD且AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴AD＝BC. 数学　八年级下册 (2)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E.∴∠DEA＝90°. ∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝90°－∠DAE＝30°. (2)当纸宽都为 ，且纸条交叉成60°时，求重叠面积． ∴AE＝ AD. 在Rt△ADE中， DE2＝AD2－AE2＝ AD2＝( )2， ∴AD＝2. 如图，过点C作CF⊥AD于点F. ∴CF＝ . ∴重叠面积S＝AD·CF＝2 . 数学　八年级下册 9.(BS八下P178T20·改编)如图，已知直线MN与▱ABCD的对角线AC平行，延长DA，DC，AB，CB与MN分别交于点E，H，G，F. (1)求证：EF＝GH； (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，即AE∥CF. ∵EF∥AC，∴四边形AEFC是平行四边形． ∴EF＝AC. 同理可证GH＝AC. ∴EF＝GH. 数学　八年级下册 (2)若FG＝AC，试判断AE与AD之间的数量关系，并说明理由． (2)解：AE＝2AD.理由如下： ∵AC∥FG，∴∠ACB＝∠BFG. ∴△ACB≌△GFB(AAS).∴BF＝BC. 在▱ABCD中，BC＝AD，∴CF＝2BC＝2AD. 在▱AEFC中，AE＝CF，∴AE＝2AD. 在△ACB和△GFB中， 数学　八年级下册 10.教材再现：(1)如下是北师大版八年级下册数学教材一道问题的部分内容．请你将证明过程补充完整． 数学　八年级下册  (1)解：证明过程补充如下： ∵AC⊥b，BD⊥b， ∴∠1＝∠2＝90°. ∴AC∥BD. 又∵AB∥CD， ∴四边形ACDB是平行四边形． 数学　八年级下册 (2)证明：如图2，过点A，D分别作AE⊥BC于点E， DF⊥BC于点F. ∴AE＝DF. 知识延伸：(2)如图2，已知AD∥BC，求证：△ABC和△DBC的面积相等． ∴S△ABC＝S△DBC. ∵S△ABC＝ BC·AE， S△DBC＝ BC·DF， 数学　八年级下册 (3)解：如图3，过点E作 EF⊥CD于点F，连接AF. ∵EF⊥CD，CE＝DE， ∴∠DFE＝90°，DF＝CF. ∵DC＝6， 知识应用：(3)如图3，∠ADC＝90°，AD＝CD＝6，ED＝EC，连接AE，则△ADE的面积是____．(提示：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF) 9 ∴DF＝ DC＝3. 数学　八年级下册 ∵∠ADC＝90°， ∴∠DFE＝∠ADC. ∴EF∥AD. ∴点E与点F到边AD的距离相等． 故答案为9. ∴S△ADE＝S△ADF＝ AD·DF＝ ×6×3＝9. 数学　八年级下册 $第9课　《平行四边形》复习作业 数学　八年级下册 1.平行四边形不具有的特征是 ( ) A．平行四边形对边相等     B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等     D．平行四边形邻角互补 C 数学　八年级下册 2．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，S▱ABCD＝60，则图中阴影部分的面积为 ( ) A．15     B．20     C．30     D．60 C 数学　八年级下册 3．在▱ABCD中，若∠A∶∠B＝2∶3，则∠C的度数是 ( ) A．36°    B．72°    C．108°    D．120° 4．一个正多边形的每一个内角均为120°，则它的边数是____． 5．已知△ABC的三条中位线分别为3 cm，4 cm，6 cm，则△ABC最长边的长是______． B 6 12  cm 数学　八年级下册 6．如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝5，则CF的长为___． 7．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(3，8)，则顶点B的坐标是________.　 5 (8，8) 数学　八年级下册 8．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是_______________________． 9．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的内角和是______°. AB＝CD(答案不唯一) 1 080 数学　八年级下册  证明：∵BD∥GF，∠GFE＝62°， ∴∠D＝180°－∠GFE＝118°. ∵∠ABD＝118°， ∴∠D＝∠ABD.∴BC∥DE. 又∵BD∥CE， ∴四边形BCED是平行四边形． 10．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，BD∥CE∥GF. 求证：四边形BCED是平行四边形． 数学　八年级下册 11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，N是边BC上一点，M为边AB上的动点，D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是____． 2.4 数学　八年级下册 12．(BS八下P176T8·改编)如图，在▱ABCD中，已知它的周长为30，AB＝6，∠B∶∠C＝1∶5，求▱ABCD的面积． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，AB∥CD. ∵▱ABCD的周长为30，AB＝6， ∴BC＝9. ∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°. 又∵∠B∶∠C＝1∶5，∴∠B＝30°. ∴▱ABCD的面积为BC·AE＝9×3＝27. 如图，过点A作AE⊥BC于点E.∴AE＝ AB＝3. 数学　八年级下册 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD. ∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， 13．(BS八下P164T18·改编)如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠BCD的平分线交AD于点F. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； ∴∠DAE＝∠BCF. ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB. ∴∠AEB＝∠BCF.∴AE∥CF. 又∵AD∥BC，即AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形． ∴∠DAE＝∠BAE＝ ∠BAD，∠BCF＝ ∠BCD. 数学　八年级下册 (2)解：由(1)知，∠BAE＝∠DAE＝∠BEA， ∴AB＝BE. ∵BC－AB＝3， ∴BC－BE＝EC＝3. 又∵AE＝5， ∴四边形AECF的周长＝2(AE＋EC)＝2×(5＋3)＝16. (2)若AE＝5，BC－AB＝3，求四边形AECF的周长． 数学　八年级下册 14.如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝ BC，连接CD和EF. (1)求证：DE＝CF； (1)证明：在△ABC中， ∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线． ∴DE＝CF. ∴DE＝ BC. 又∵CF＝ BC， 数学　八年级下册 (2)求EF的长； (2)解：由题知，AC＝BC＝AB＝4. 又∵D是AB的中点， ∴AD＝BD＝2，∠CDB＝90°. ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥CF. 又∵DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形． ∴CD＝ . ∴EF＝CD＝2 . 数学　八年级下册 (3)求四边形DEFC的面积．  (3)解：如图，过点D作DH⊥BC于点H. ∴∠DHC＝90°. ∵△ABC是等边三角形，AD＝BD， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∴DH＝ DC＝ . ∴S四边形DEFC＝CF·DH＝2 . ∵CF＝DE＝ BC＝2， 数学　八年级下册 $第4课　平行四边形的判定(2) 数学　八年级下册 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是 ( ) A．AB∥CD，AD＝BC     B．∠BAD＝∠ABC C．AO＝CO，BO＝DO     D．AB＝CD，∠BAD＝∠BCD C 数学　八年级下册 2．如图，小康将两根木条AC， BD的中点O重叠，并用钉子固定， 使AC，BD可以绕着点O转动， 无论木条怎么转动，以A，B， C，D为顶点的四边形始终 是____________． 平行四边形 数学　八年级下册 3．如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，延长BD至点E，使DE＝BD，连接AE，CE.求证：四边形ABCE是平行四边形． 证明：∵BD是△ABC的边AC上的中线， ∴AD＝CD. 又∵DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形． 数学　八年级下册 4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AO＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝____cm时，四边形ABCD是平行四边形． 8 数学　八年级下册 5．如图，BD是▱ABCD的对角线，点E，F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件 是____________________. BE＝DF (答案不唯一) 数学　八年级下册 证明：∵O为AC的中点，∴OA＝OC. ∵AE＝CF，∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF. ∵DF∥BE，∴∠E＝∠F. 6．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，且O为AC的中 点，AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD是平行四边形． ∴△BOE≌△DOF(ASA).∴OB＝OD. 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 在△BOE和△DOF中， 数学　八年级下册 7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作直线EF，交DA的延长线于点E，交BC的延长线于点F，连接AF，CE.求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：∵O是AC的中点，∴AO＝CO. ∵AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO. ∴△AEO≌△CFO (AAS).∴EO＝FO. 又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形． 在△AEO和△CFO中， 数学　八年级下册 8.(BS八下P178T17·改编)已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，DE＝BF.在条件①∠ADB＝∠CBD或条件②AE＝CF中，任选一个作为补充条件，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由． 解：选择条件①∠ADB＝∠CBD， 四边形ABCD是平行四边形． 理由如下： ∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠BCF. 数学　八年级下册 ∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝ 90°. ∴△ADE≌△CBF(AAS). ∴AD＝CB. 又∵AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 或选择条件②AE＝CF，四边形ABCD是平行四边形． 理由如下： 在△ADE和△CBF中， 数学　八年级下册 ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEO＝∠BFO＝90°. 又∵∠EOD＝∠FOB，DE＝BF， ∴△ODE≌△OBF(AAS). ∴OE＝OF，OD＝OB. ∵AE＝CF， ∴OE＋AE＝OF＋CF，即OA＝OC. ∴四边形ABCD是平行四边形． (任选一个条件作答即可) 数学　八年级下册 9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别在OD，OB上，连接CM，AN. (1)给出以下条件：①OC＝OA；②∠1＝∠2；③OM＝ON，请你从中选取两个条件证明：△CMO≌△ANO.  解：(1)选取①和②，证明如下： ∴△CMO≌△ANO(AAS). 在△CMO和△ANO中， 数学　八年级下册 或选取①和③，证明如下： ∴△CMO≌△ANO(SAS). 或选取②和③，证明如下： ∴△CMO≌△ANO(ASA). 在△CMO和△ANO中， 在△CMO和△ANO中， 数学　八年级下册 (2)在(1)中你所选条件的前提下，添加DM＝BN，则四边形ABCD是平行四边形吗？试加以证明． (2)四边形ABCD是平行四边形． 选取①和②，证明如下： 由(1)可知△CMO≌△ANO， ∴OM＝ON. ∵DM＝BN，∴DM＋OM＝BN＋ON，即OD＝OB， 又∵OC＝OA，∴四边形ABCD是平行四边形． 或选取①和③，证明如下： 数学　八年级下册 ∵OM＝ON，DM＝BN， ∴DM＋OM＝BN＋ON，即OD＝OB. 又∵OC＝OA，∴四边形ABCD是平行四边形． 或选取②和③，证明如下： 由(1)可知△CMO≌△ANO，∴OC＝OA. ∵OM＝ON，DM＝BN， ∴DM＋OM＝BN＋ON，即OD＝OB. ∴四边形ABCD是平行四边形． 数学　八年级下册 $第8课　多边形的外角和 数学　八年级下册 1．多边形的边数由3增加到n(n＞3)，其外角度数之和( ) A．增加     B．保持不变     C．减小     D．变成(n－3)×180° B 数学　八年级下册 2．某舞台造型可以看作是一个正多边形，若它的一个外角为36°，则它是 ( ) A．正九边形     B．正十边形     C．正十一边形     D．正十二边形 B 数学　八年级下册 3．已知正n边形的每一个外角都是30°，则这个正n边形的内角和为 ( ) A．1 200°     B．1 500°     C．1 440°     D．1 800° D 数学　八年级下册 4．正八边形每一个外角的度数为 ( ) A．30°     B．45°     C．60°     D．90° B 数学　八年级下册 证明：方法1：由平角的定义可知， ∠1＋∠BAD＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDA＝180°， ∴∠1＋∠BAD＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDA＝180°×4＝720°. ∵∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°. 5．请用两种方法证明：四边形的外角和为360°. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2，∠3，∠4是它的外角． 求证：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°. 数学　八年级下册 方法2：如图，连接BD. 由三角形外角的性质可知， ∠1＝∠ABD＋∠ADB， ∠3＝∠CBD＋∠CDB， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠ABD＋∠ADB＋∠2＋∠CBD＋∠CDB＋ ∠4＝∠ABC＋∠2＋∠ADC＋∠4＝180°×2＝360°. 数学　八年级下册 6．如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形是____边形． 7．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的 ，则这个多边形的边数是____． 八 6 数学　八年级下册 (2)(12－2)×180°＝1 800°. 答：这个多边形的内角和为1 800°. 8．已知一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于与它相邻的外角的5倍． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形的内角和． 解：(1)设该多边形的每个外角为x°，则每个内角为5x°. 根据题意，得5x＋x＝180，解得x＝30. ∴多边形的边数为n＝ ＝12. 答：这个多边形的边数为12. 数学　八年级下册 解：正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°. ∵正五边形的每一个内角、外角都相等， ∴∠COF＝540°÷5＝108°， ∠OCB＝360°÷5＝72°. 正六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°. ∵正六边形的每一个内角、外角都相等， 9.如图，将正六边形的边AB与正五边形的边CD放在同一直线上，O为公共顶点．试求出∠POF的度数． 数学　八年级下册 ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB ＝180°－60°－72°＝48°. ∴∠POF＝360°－∠BOP－∠COF－∠BOC ＝360°－120°－108°－48°＝84°. ∴∠BOP＝720°÷6＝120°，∠OBC＝360°÷6＝60°. 在△BOC中，∠BOC＋∠OCB＋∠OBC＝180°， 数学　八年级下册 10．在四边形ABCD中，∠A＝98°，∠D＝140°. (1)如图1，若∠B＝∠C，则∠B＝____°； (2)如图2，作∠BCD的平分线CE交AB于点E，若CE∥AD，求∠B的度数； 61 解：(2)∵CE∥AD， ∴∠CEB＝∠A＝98°，∠DCE＝ 180°－∠D＝180°－140°＝40°. ∵CE平分∠BCD，∴∠ECB＝∠DCE＝40°. 在△BCE中，∠B＋∠BCE＋∠CEB＝180°， ∴∠B＝180°－∠CEB－∠BCE ＝180°－98°－40°＝42°. 数学　八年级下册 (3)如图3，作∠ABC和∠DCB的平分线交于点E，求∠BEC的度数． (3)由四边形的内角和为360°，∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D＝360°－98°－140°＝122°. ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠BCD. ∴∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB) ＝180°－61°＝119°. ∴∠EBC＋∠ECB＝ ∠ABC＋ ∠BCD＝ (∠ABC＋∠BCD)＝ ×122°＝61°. 数学　八年级下册 解：(1)设∠C＝2x°，则∠A＝4x°，∠B＝3x°. ∵四边形ABCD是智慧四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. ∴4x＋2x＝180，解得x＝30. ∴∠B＝3x°＝90°.∴∠D＝180°－∠B＝90°. 故答案为90°. 11.规定：有一对相对的角互补的四边形叫作智慧四边形． 例如，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD是智慧四边形． (1)如图1，已知四边形ABCD是智慧四边形，其中三个内角∠A，∠B，∠C的比是4∶3∶2，则∠D＝_____； 90° 数学　八年级下册 (2)如图2，D为△ABC内一点，且∠BDC＝90°＋ ∠A，△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线交于点E，判断四边形DBEC是否为智慧四边形，并说明理由． (2)四边形DBEC为智慧四边形．理由如下： ∵△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线交于点E， ∴∠CBE＝ ∠MBC，∠BCE＝ ∠NCB. ∴∠CBE＋∠BCE ＝ ∠MBC＋ ∠NCB ＝ (∠MBC＋∠NCB) 数学　八年级下册 ∵∠CBE＋∠BCE＋∠E＝180°， ∴∠BDC＋∠E＝180°. ∴四边形DBEC为智慧四边形． ∴90°＋ ∠A＋∠E＝180° . 又∵∠BDC＝90°＋ ∠A， ＝ (180°－∠ABC＋180°－∠ACB) ＝ (180°＋∠A) ＝90°＋ ∠A. 数学　八年级下册 $第1课　平行四边形的性质(1) 数学　八年级下册 1．如图，已知∠A＝50°，∠B＝130°，∠C＝50°，四边形ABCD是不是平行四边形？若是，请说明理由． 解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下： ∵∠A＝50°，∠B＝130°， ∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC. ∵∠C＝50°， ∴∠B＋∠C＝180°. ∴AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 数学　八年级下册 2．如图，▱ABCD中，点A关于点O的对称点是____． C 数学　八年级下册 3．如图，O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，则下列结论成立的是 ( ) A．∠CFE＝∠DEF     B．∠DOC＝∠OCD     C．AE＝BF     D．OE＝OF D 数学　八年级下册 4．若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝5，BC＝3，则它的周长是____． 5．如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是_______． 16 (4，2) 数学　八年级下册 6．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B＝3∶1，则∠C＝______． 7．如图，在▱ABCD中，∠B＝110°，AE平分∠DAB交CD于点E，则∠DEA的度数为_____． 135° 35° 数学　八年级下册 8. 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，则▱ABCD的面积为____，点C到AB的距离是____． 48 4.8 数学　八年级下册 9．如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠D＝60°，AB＝3，则AC＝____． 数学　八年级下册 10．(BS八下P163T15·改编)如图，4×4方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得△ABC的面积为2.满足条件的点C有几个？请你画出所有的点并找出这些点的共同特征． 解：如图所示，满足条件的点C有6个．这些点到AB的距离都是 . 数学　八年级下册 11．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE. (1)当∠AOE＝60°时，求∠ACB的大小； (1)解：∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝ 90°. ∴∠EAO＝90°－∠AOE＝90°－60°＝30°. ∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝30°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠ACB＝∠DAC＝30°. 数学　八年级下册 (2)求证：BE＝DF. (2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. ∴△AEB≌△CFD(AAS). ∴BE＝DF. 在△AEB和△CFD中， 数学　八年级下册 12.(BS八下P177T11·改编)问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，请直接写出EF的长是____． 探究：(1)把“问题”中的条件“AB＝10”去掉， 其余条件不变． ①当点E与点F重合时，AB的长为____； ②当点E与点C重合时，EF的长为___． 2 12 6 数学　八年级下册 (2)把“问题”中的条件“AB＝10，AD＝6”去掉，其余 条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时， 求 的值． 解：(2)分三种情况： ①如答图1所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，BC＝AD，AB∥CD. ∴∠DEA＝∠BAE. ∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE. ∴∠DEA＝∠DAE. ∴DE＝AD.同理CF＝BC. 数学　八年级下册 ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴AD＝DE＝EF＝CF. ∴AB＝3AD. ②如答图2所示，同①得AD＝DE＝CF. ∵DF＝FE＝CE，∴AD＝2DF，AB＝3DF. ∴ ； ∴ ； 数学　八年级下册 ③如答图3所示，同①得AD＝DE＝CF. ∵DF＝DC＝CE，∴AD＝2CD. ∵AB＝CD，∴ . 综上所述， 的值为 或 或2. 数学　八年级下册 $第6课　三角形的中位线 数学　八年级下册 1．如图，在△ABC中，D，E分别 是AB，AC的中点，则线段DE是 △ABC的_____线，BE是△ABC的 ___线．任意一个三角形有___条 中位线，____条中线． 中位 中 3 3 数学　八年级下册 2．如图，为测量池塘边上点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB 的中点分别是D，E，且DE＝15 m，那么 A，B两点间的距离是 ( ) A．20 m     B．24 m     C．30 m     D．28 m C 数学　八年级下册 3．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，△ADE的面积为2，则四边形DBFE的面积为____.   4．如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝30 cm，当跷跷板的一端 A着地时，另一端B离地面的高度为_____cm. 4 60 数学　八年级下册 5.如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得 到第二个等边三角形；再依次连接第二个等边三角形各 边的中点，得到第三个等边三角形……按这样的规律， 第2 026个等边三角形的周长为________． 数学　八年级下册 6．如图，已知D，F分别为△ABC的边AC，BC的中点，连接DF，AP平分∠BAC交DF于点P.若CD＝4，则DP的长为____． 7．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB， AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝4，则BE的长为___． 4 8 数学　八年级下册 8．如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC＝2，BD＝2AD，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点，求线段EF的长． 解：∵AD＝2，BD＝2AD， ∴BD＝4. 在△ACD中，AD＝AC，AE⊥CD， ∴CE＝DE，即E为CD的中点． 又∵F是CB的中点， ∴EF＝ BD＝2. 数学　八年级下册 9．(BS八下P169T2·改编)已知：如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，O是DE的中点．求证：AF经过点O. 证明：如图，连接DF，EF. ∵D，F分别是AB，BC的中点， ∴DF∥AC. 同理可得EF∥AB， ∴四边形ADFE是平行四边形． ∵O是DE的中点， ∴AF经过点O. 数学　八年级下册 10.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若∠FEG＝50°，则∠EGF＝_____°. 11．如图，∠AOB＝60°，C，D是 边OA上的两点，且OD＝8，CD＝2， P是OB上的一动点，连接PD，Q是 PD的中点，连接CQ，则CQ的最小 值为_____． 65 数学　八年级下册 12．(BS八下P178T18·改编)如图，DE是△ABC的中位线，过点E作AB的平行线交BC于点F，连接DF.求证：四边形CEDF是平行四边形． 又∵EF∥BD, ∴四边形DBFE是平行四边形． ∴DE＝BF. ∴DE＝BF＝FC. 又∵DE∥FC， ∴四边形CEDF是平行四边形． 证明：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝ BC. 数学　八年级下册 $第3课　平行四边形的判定(1) 数学　八年级下册 1．下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A．两组对边分别平行     B．一组对边平行     C．对角线互相垂直     D．对角线相等 2．如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC， C′A′∥CA，则图中有_____个平行 四边形． A 3 数学　八年级下册 3．在四边形ABCD中，AD＝BC，添加一个条件：_________，可得四边形ABCD为平行四边形． 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A．∠B＝∠C     B．AD＝BC     C．AB＝BC     D．∠B＋∠A＝180° AB＝CD B 数学　八年级下册 5．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的一个条件是_________． 6．下列关于平行四边形的判定不正确的是 ( ) A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行 四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 AD＝BC B 数学　八年级下册 7．观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是______．(填序号) ③ 数学　八年级下册 证明：(1)∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠DAC＝∠BCA＝90°. 8.如图，已知四边形ABCD中，AD⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为A，C，AB＝CD. (1)求证：Rt△ACD≌Rt△CAB； ∴Rt△ACD≌Rt△CAB(HL).  在Rt△ACD和Rt△CAB中， 数学　八年级下册 (2)求证：四边形ABCD是平行四边形． (2)由(1)知Rt△ACD≌Rt△CAB， ∴∠DCA＝∠BAC. ∴DC∥AB. 又∵DC＝AB， ∴四边形ABCD是平行四边形． 数学　八年级下册 9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，E是边BC上一点，且DE＝DC. 求证：四边形ABED是平行四边形． 证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C. ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC. ∴AB∥DE. 又∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 数学　八年级下册 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°. 10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，且AE＝CF，BE＝DF.求证：四边形ABCD是平行四边形． ∴△AEB≌△CFD(SAS). ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF. ∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形． 在△AEB和△CFD中， 数学　八年级下册 11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒． (1)若PE⊥BC，求BQ的长． 数学　八年级下册 解：(1)过点A作AM⊥BC于点M，设PE交AC于点N，如答图所示． ∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠C＝∠B＝45°. ∴AB＝AC. ∴AM＝CM＝5. ∵AD∥BC，∴∠PAC＝∠C＝45°. ∵AM⊥BC，PE⊥BC， ∴∠AME＝∠PEC＝90°.∴AM∥PE. ∴BM＝CM＝ BC＝5. 数学　八年级下册 又∵AD∥BC， ∴四边形AMEP为平行四边形，∠APN＝∠PEC＝90°. ∴PE＝AM＝5. ∴△APN和△CEN是等腰直角三角形． ∴PN＝AP＝t cm，CE＝NE＝(5－t)cm. ∵CE＝CQ－QE＝(2t－2)cm， ∴5－t＝2t－2.∴t＝ . ∴BQ＝BC－CQ＝10－2× ＝ . 数学　八年级下册 (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出t的值；若不存在，请说明理由． 数学　八年级下册 (2)存在． 当点E在线段BC上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE， ∴t＝10－2t＋2，解得t＝4； 当点E在线段CB的延长线上时，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE， ∴t＝2t－2－10，解得t＝12. 综上所述，存在t的值，使以A，B，E， P为顶点的四边形为平行四边形，此时 t的值为4或12. 数学　八年级下册 $第7课　多边形的内角和 数学　八年级下册 1．从一个多边形的一个顶点出发，共可以作出4条对角线，则这个多边形的边数是 ( ) A．8     B．7     C．6     D．5 B 数学　八年级下册 2．从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形的个数是 ( ) A．10     B．12     C．7     D．6 C 数学　八年级下册 3．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 2 026个三角形，则这个多边形的边数为________． 4．十二边形的内角和是_________． 5．一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是_____. 2 028 1 800° 6 数学　八年级下册 6．正八边形的每一个内角的度数是_____°. 7．若一个正多边形的一个内角是135°，则这是一个正____边形． 8．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE.在图2中，∠ACD的度数为_____． 135 八 72° 数学　八年级下册 9.一个多边形剪掉一个角后，内角和为360°，则原多边形的边数为___________． 10．观察下面图形，解答下列问题． (1)在图4中，画出缺少的对角线； (2)观察规律，把下表填写完整； 3或4或5 数学　八年级下册 (3)从n边形的一个顶点出发，可以作出8条对角线，求n的值，并求出这个多边形的内角和． 边数 3 4 5 6 7 … n 对角线条数 0 2 5 ___ ____ … ___________ 9 14 解：(1)如图4所示． (3)根据题意，得n－3＝8，解得n＝11. 这个多边形的内角和为(11－2)×180°＝1 620°. 数学　八年级下册 11.北师大版八年级下册数学第5页有：三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内角的和． 探究：利用上述性质，求出图1五角星中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数和． 解：探究：如图1，∵∠A＋∠E＝∠2，∠B＋∠C＝∠1，∠1＋∠2＋∠D＝180°， ∴∠B＋∠C＋∠A＋∠E＋∠D＝180°， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 数学　八年级下册 发现：如图2， ∵∠A＋∠B＝∠2，∠C＋∠D＝∠1， ∠E＋∠F＝∠4， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F ＝∠2＋∠1＋∠4. ∵∠3＝∠1＋∠2，∠3＋∠4＋∠G＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠4＋∠G＝180°，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝180°.故答案为180°. 发现：直接写出图2七角星中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋ ∠E＋∠F＋∠G的度数和为______． 180° 数学　八年级下册 12.综合与探究 如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫作“对顶三角形”．如图1，△AOB与△COD互为“对顶三角形”． 【问题发现】(1)如图1，请说明： ∠A＋∠B＝∠D＋∠C. 解：(1)∵∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，∠D＋∠C＋∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A＋∠B＝∠D＋∠C. 数学　八年级下册 【拓展探究】(2)如图2，若AP是∠BAD的平分线，CP是∠BCD的平分线，∠B＝x，∠D＝y，求∠P的度数．(用含x，y的代数式表示) 数学　八年级下册 由(1)知∠BAD＋∠B＝∠BCD＋∠D， ∠B＋∠BAE＝∠P＋∠BCP. ∴∠BAD－∠BCD＝∠D－∠B， ∠P＝∠B＋∠BAE－∠BCP. ∵∠B＝x，∠D＝y， (2)∵AP是∠BAD的平分线，CP是∠BCD的平分线， ∴∠BAE＝ ∠BAD，∠BCP＝ ∠BCD. 数学　八年级下册 ＝∠B＋ ∠BAD－ ∠BCD ＝∠B＋ (∠BAD－∠BCD) ＝∠B＋ (∠D－∠B)＝ ∠B＋ ∠D ＝ x＋ y. ∴∠P的度数为 x＋ y. ∴∠P＝∠B＋∠BAE－∠BCP 数学　八年级下册 【解决问题】(3)如图3，在(2)的条件下，分别延长BA，DC至点M，N.若AQ与CQ分别平分∠DAM与∠BCN，120°＜∠Q＜150°，请直接写出x＋y的取值范围．   数学　八年级下册 (3)由条件可知∠PAD＋∠DAQ＝ ∠BAD＋ ∠DAM＝ (∠BAD＋∠DAM)＝ ×180°＝90°， ∠PCB＋∠BCQ＝ ∠BCD＋ ∠BCN ＝ (∠BCD＋∠BCN) ＝ ×180°＝90°， 即∠PAQ＝∠PCQ＝90°. 数学　八年级下册 解得60°<x＋y<120°. ∴ ∵120°<∠Q<150°， ∴∠Q＝360°－∠PAQ－∠PCQ－∠P ＝360°－90°－90°－( x＋ y) ＝180°－ (x＋y). 数学　八年级下册 $