甘肃兰州市学府致远学校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

兰州市学府致远学校 2025一2026学年度第二学期高二年级期中测试 数学试卷答案 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的) 1.空间直角坐标系中，已知A(2,3,5),B(3,1,4),则A,B两点间的距离为（B) A.6 B.6 C.√30 D.√42 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】根据给定条件利用空间直角坐标系中两点间的距离公式直接计算即得 【详解】因A,B两点的坐标分别是A(2,3,5),B(3,1,4),则AB=√V3-2)2+1-3)2+(4-5)2=5， 所以A,B两点间的距离为√6 故选：B 2.下列四组函数中，导数是同一函数的是(D) A.f(x)=5,g(x)=5x B.f(x)=2x+1,g(x)=x+1 C.f(x)=2+sinx,g(x)=cosx D.f(x)=-x2+2,g(x)=-x2+4 【答案】D 【分析】根据选项中的函数，求得'(x)和g'(x),结合同一函数的判定方法，即可求解 【详解】对于A中，由函数f(x)=5和8(x)=5x,可得∫'(x)=0和8'(x)=5的对应法则不同，所以不是同一函数， 所以A不符合题意； 对于B中，函数f(x)=2x+1和g(x)=x+1,可得(x)=2和g(x)=1的对应法则不同，所以不是同一函数，所以B 不符合题意； 对于C中，函数f(x)=2+sinx和g(x)=cosx,可得∫'(x)=cosx和g'(x)=-sinx的对应法则不同，所以不是同一函 数，所以C不符合题意： 对于D中，函数f(x)=-x2+2,g(x)=-x2+4,可得∫'(x)=-2x,8(x)=-2x的定义域和对应法则都相同，所以是同 一函数，所以D符合题意， 故选：D 3.已知空间向量a=（3,-3,2),b=（2,0,-3),c=(-6,6,-4:则下列结论正确的是(A) A.a⊥b,a/eB.a⊥b,a⊥c c.a/1b,a/1 D.a/1b,a⊥c 第3页 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知a.b=3×2+(-3)×0+2×(-3)=0→d⊥b,c=-2a,a1/忙. 故选：A 4.在长方体ABCD一A1B1CD1中，可以作为空间向量的一组基的是() A.(D A,D C1,D DY B.(AB,AA1,AB1) C.(AB,AC,AD) D.(AC1,AC,CC1) 答案A 5.设a=(1,2,3)是平面a外的直线1的方向向量，n=(1,-2,1)是平面x的法向量，则(C A.l⊥a B.l⊥a或lcx C.1/la D.l/a或lca 【答案】C 【分析】计算出ai=0,即可判断得解. 【详解】a.i=1×1+2×(-2)+3×1=0. ∴.ali. .l11a. 故选：C 6.函数x)x3+2+3x一9在=一3时取得极值，则a等于(B) A.4 B.5 C.2 D.3 答案B 解析fx)=3x2+2ax+3】 由x)在=一3时取得极值，即f(一3)=0， 即27-6a十3-0， ∴.=5，经检验5合题意 7.在四面体OABC中，BG=3GC,设OA=a,OB=b,OC=元，则AG=(A) A.-a+6+3c 3 4 B.-a-16+2c 4 43 C.-a+lB+lc 43 D.-a+6-2c 33 【答案】A 【难度】0.65 第4页 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】先作出符合题意的图形，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算法则求解即可！ 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为8G=3GC,所以BG=3BC, 4 由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得AG=OG-OA=OB+BG-OA =0丽+8c-M=0丽+0c-0丽-a -01+OB+30C=-a++，故A正确。 44 故选：A 8.已知f(x)=x-3x+m,若关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有实根，则实数m的取值范围是(D) A.(-0,-2] B.（-2,2) C.[2,+m) D.[-22] 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】 分离参数构造新函数，将问题转换为求8(x)=-x+3x,x∈[0,2]的值域即可. 【详解】若f(x)=x3-3x+=0,则由题意方程=-x3+3x在[0,2]上有解 令g(x)=-x3+3x,x∈[0,2]，则g(x)=-3x2+3=3(1-x)(1+x), 当0<x<1时，g(x)>0,8(x)单调递增，当1<x<2时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 而8(0)=0>8(2)=-8+6=-2,8(x)=8(1)=-1+3=2, 所以当x∈[0,2]时，g(x)∈[-2,2]， 综上所述，实数m的取值范围是[-2,2] 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分) 第3页 9.在空间直角坐标系Oxz中，已知点P(1,2,3),则(AD) A.点P关于x轴的对称点是(1，-2，-3)B.点P关于Oxy平面的对称点是P(-1,-2,3) C.点P关于z轴的对称点是卫(1,2，-3)D.点P关于原点的对称点是P(-1,-2,-3) 【答案】AD 【分析】根据对称性只需判断对应坐标轴上是否需要变号，对选项逐一判断即可得出结论。 【详解】对于A,点P关于x轴的对称点，纵坐标和竖坐标变号，横坐标不变，即为 (1,-2,-3),故A正确： 对于B,点P关于Oxy平面的对称点，只有竖坐标变号，其余不变，即为(1,2，-3)，所以B错 误； 对于C,点P关于z轴的对称点，横坐标和纵坐标变号，竖坐标不变，即为(-1，-2,3)，即可 知C错误； 对于D,点P关于原点的对称点，横坐标、纵坐标和竖坐标都要变号，即为(1，-2，-3)，即 D正确： 故选：AD 10.已知向量=(1，-1，-2)，b=(1,-3,-3),则下列结论正确的是（BC). A.+b=(2,-2,-5) B.d-b=(0,2,1) C.a.b=10 D.=6 11.如图是函数y=fx)的导函数y=f(x)的图象，则(AC) A.在=一2时，函数=式x)取得极值 B.在=1时，函数=式)取得极值 C.函数=x)在区间（一2,2）上单调递增 D=x)的图象在O处切线的斜率小于零 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知a=(2,-1,-3),b=(2,-2,x),且a1五，则x的值为2 13.函数f(x)=4lnx-3x2的图象在x=1处的切线方程为2x+y+1=0 【答案】2x+y+1=0 第4页 【分析】求出∫()及导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程。 【详解】因为f(x)=4nx-3x2,所以f)=4m1-3x12=-3,(x)=4-6x, 则/0161=2， 所以切线方程为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0. 故答案为：2x+y+1=0 14.已知2a+6=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a.c=4,1b1=12,则<五，c>=_120 【答案】1201否 【分析】利用空间向量数量级的运算律可得bc=-18,再由已知及空间向量数量积的定义求<五，c>即可 【详解】由题设，(2a+万c=2a.c+b.c=8+b.c=(0,-5,10)-1,-2,-2)=-10, bc=-18,又c=(1,-2,-2),b1=12, b.c-181 osc6c812xg立又<6c>e01801 ∴.<b,c>=120° 故答案为：120° 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)根据如图的平行六面体ABCD-AB'CD,化简下列各式： (1)AB+BB'-D'A+DD:(6 C 答案：AC (2)AC-AC+AD-AA.(7分) 答案：AD 16.(15分)已知函数f(x)=x+3x2 (1)求x)的导数与极值：(7分) (2)求f(x)在区间[-2,1]上的最值.(8分) 【答案】(1)由f(x)=x3+3x2得f'(x)=3x2+6x=3x(x+2),极大值f-2)=4,极小值f0)=0; (2)最小值0：最大值4： 【分析】(1)利用导数求出函数的极值点，以及求出函数f(x)在区间[-2，]端点的函数值，比较大小即可得解 (2)最小值0：最大值4： 【详解】(1)由∫(x)=x+3x2得f'(x)=3x2+6x=3x(x+2) 由∫'(x)=0解得x=-2或x=0 f(x)与∫(x)在区间[-2,1]上的情况如下： 第3页 ~2 (-2,0) 0 (0,1) f'() - + f(x) 4 单调递减 0 单调递增 4 由以上表格可知，当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=0:又f(-2)=f1)=4, 所以f(x)的最小值为0，最大值为4. 17.(15分)如图，在棱长是2的正方体ABCD-AB,GD中，0是底面ABCD的中心，E,F分 别为AB,AC的中点. D By F D D C E A B (1)证明：0F/∥平面AAD1D:(8分) (2)求异面直线EF与CD,所成角的大小.(7分) 答案：(1)法一：线面平行的判定定理。 D (2)以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， E B 则A(2,0,2),C(0,2,0),D(0,0,0),E(2,1,0),F1,1,1),D(0,0,2),CD=(0,-2,2), Ef=2,cD=22, 所以EF.CD=(←1)×0+0×(-2)+1×2=2， 2 所以cos EF,CD= EF.CD EF CD V2×252 故巫，c可-号 因此异面直线与©A所成角的大小为兮 18.(17分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面 ABCD,且PD=CD=4,AD=2. (I)求证：PA⊥CD,(6分) (2)求AP与平面CMB所成角的正弦值；(11分) 【答案】(1)证明见解析 D R 5 第4页 【难度】0.76 则sin 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】(1)方法一：连接DN,先利用平面几何知识求得AC⊥DN,利用线面垂直的性质定理得PD⊥AC,然 即直 后利用线面垂直的判定定理得AC⊥平面PDN,进而利用线面垂直的性质定理证明即可；方法二：建立空间直角坐 标系，表示点的坐标，设M(0,0,t)(0≤t≤2)，利用向量数量积即可证明 19. (2)先利用线面平行的性质定理得M为DP的中点，然后求出平面MBC的法向量，进而利用线面角的向量公式求 m3, 解即可. ,高 【详解】(1)方法一：如图，连接DN,在矩形ABCD中，AB=3N,CD=3,AD=√3， 圆柱 所以tan∠ADN=1=5 V53an∠BAc=V3 费用 3 (提 又∠ADN, 所以∠ADN=∠BAC 因为∠AC+∠DAC-所以∠D4C+∠ADN-于即AC LD.. 因为PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以PD⊥AC. 因为AC⊥DN,PD⊥AC,DN∩PD=D,DN,PDC平面PDN, 所以AC⊥平面PDN, 又MNc平面PDN,所以MN⊥AC 方法二：由题意可知DA,DC,DP两两垂直， (1)求 故可以D为坐标原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. (2)当 因为AB=3A,CD=3,AD=√5，则N(51,0),AV5,0,0),C(0,3,0). 【答 设M(0,0,t)(0≤t≤2)，则=(5,1，-t),Ac=(V5,3,0). (2)31 由.AC=3×(B)+1x3+（tK0=0可得MLAC,即MNLAC. 【难 【知 (2)连接BD交AC于点O,连接OM, 【分 因为PB/I平面MAC,PBC平面PBD,平面PBD∩平面MAC=OM, 数关 所以PBI1OM. (2) 因为四边形ABCD是矩形，所以O为BD的中点，所以M为DP的中点. 由题意可知，DA,DC,DP两两垂直， 【详 故可以D为坐标原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 所以 故M(0,0,1),NV3,1,0),B3,3,0),C(0,3,0) =10 所以=(W5,1,-1),MB=（5,3,-1,Mc=(0,3,-1) 设=(x,y,)为平面BC的一个法向量， 即y mB=x+3w-z=0,故可取m=(0,13) 则 因为 mMC=3y-z=0 D 设直线MN与平面MBC所成角为B, 所以 第3页 θ=cos(iMN= 1-3引2 10x5 5 线W与平面MBC所成角的正弦值为V2 7分)某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）.每座帐篷的体积为54π 且分上下两层，其中上层是半径为r（r≥1)（单位：m)的半球体，下层是半径为rm 为h的圆柱体（如图2）·经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方 体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造 为y千元. .4 示：球体积公式：”=号0) (图1) (图2) y关于的函数解析式，并指出该函数的定义域：(7分) 半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值(10分) 案】(1)y=60mr2+ 54 定义域为1≤r<3 n,最小值为1620元 度】0.65 识点】建立拟合函数模型解决实际问题、成本最小问题、圆柱表面积的有关计算 析】()根据题意，由圆柱的表面积公式以及球的表面积公式代入计算，即可得到函 系式： 根据题意，求导可得∫()，利用导数即可得到最值，从而得到结果 2 解】(1)由题意可得二π3+π2h=54π，所以h= 542 23 y=(2W2×2+2m2×3+2oh×3)×10 60rt. 21,h>0,所以42 r2 >0，则1≤r<33, 3 定义域为{1≤r<3 第4页 (2)设f)=r+41≤r<35, 则了)=24，令f=0,解得r=3. 当r∈[1,3)时，f'(r)<0,f(r)单调递减， 当r∈(3,33)时，∫()>0，f(r)单调递增， 所以当r=3时，f()取得极小值，即最小值， 且∫(r)mm=27,总费用最小值为1620π 所以当半径r为3m时，建造费用最小，最小为1620π千元. 第3页 第4页兰州市学府致远学校 班级 2025一2026学年度第二学期高二年级期中测试 数学试卷 姓名 (本试卷满分150分，时间120分钟) 题号 三 四 总分 得分 考场 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的) 座位号 1.空间直角坐标系中，已知A(2,3,5),B(3,1,4),则A,B两点间的距离为() A.6 B.√6 C.√30 D.√42 2.下列四组函数中，导数是同一函数的是() A.f(x)=5,g(x)=5x B.f(x)=2x+1,g(x)=x+1 C.f(x)=2+sinx,g(x)=cosx D.f(x)=-x2+2,g(x)=-x2+4 3.已知空间向量a=(3,-3,2),b=(2,0,-3),c=(-6,6,-④，则下列结论正确的是() A.a⊥b,a/1e B.a⊥b,a⊥c C.a//b,a/lc D.a/b,a⊥c 4.在长方体ABCD一A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基的是( A.(DAi,DiCi,DD) B.(AB,AA1,AB1) C.(AB,AC,AD) D.(ACI,AIC,CCI) 5.设ā=(1,2,3)是平面x外的直线1的方向向量，i=(1,-2,1)是平面a的法向量，则() A.I⊥ B.l⊥a或lca C.1/la D.1/a或lca 6.函数f(x)=x3十ax2+3x一9在=-3时取得极值，则a等于() A.4 B.5 C.2 D.3 7.在四面体OABC中，BG=3GC,设OA=a,OB=b,OC=,则AG=() 1。3 A.-a+-b+d B.-a-1+2c 44 43 第1页共2页 c.-a++ 0.+- 8.已知f(x)=x-3x+m,若关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有实根，则实数m的取值范围是 () A.(-∞，-2] B.(-2,2) C.[2,+m) D.[-2,2] 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分) 9.在空间直角坐标系Oxz中，已知点P(1,2,3),则() A.点P关于x轴的对称点是(1，-2，-3) B.点P关于Oxy平面的对称点是P(-1,-2,3) C.点P关于z轴的对称点是卫(1,2，-3) D.点P关于原点的对称点是P(-1,-2,-3) 10.已知向量=(1，-1，-2)，b=(1,-3,-3),则下列结论正确的是(). A.+b=(2,-2,-5) B.a-b=(0,2,1) C.a.b=10 D.园=6 11.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则() 2-1 012 A.在一2时，函数=x)取得极值 B.在=1时，函数=f代x)取得极值 C.函数=孔x)在区间(-2,2)上单调递增 D=x)的图象在O处切线的斜率小于零 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知a=(2,-1,-3),万=(2，-2，x),且a⊥b,则x的值为 13.函数f(x)=4nx-3x2的图象在x=1处的切线方程为 14.己知2a+3=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),c=4,11=12,则<b,c>= 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)根据如图的平行六面体ABCD-AB'CD,化简下列各式： (1)AB+BB'-D'A+D'D:(6) -- (2)AC-AC+AD-AA.(7分) 16.(15分)已知函数f(x)=x+3x2. (1)求x)的导数与极值：(7分) (2)求f(x)在区间[-2,1]上的最值.(8分) 17.(15分)如图，在棱长是2的正方体ABCD-AB,CD中，0是底面ABCD的中心，E,F分别为AB,AC的中点. D B D- E (1)证明：0F∥平面AAD1D;(8分) (2)求异面直线EF与CD所成角的大小.(7分) 第2页共2页 8.(17分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD,且 D=CD=4,AD-2 1)求证：PA⊥CD:(6分) 2)求AP与平面CMB所成角的正弦值；(11分) 9.(17分)某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）·每座帐篷的体积为54π3， 且分上下两层，其中上层是半径为r(r≥1)（单位：m)的半球体，下层是半径为rm,高为hm 的圆柱体（如图2）·经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、 隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元 (提示：球体积公式：V= 3w) (图1) (图2) 1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；(7分) 2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值(10分)