21.3.1矩形（第2课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.3.1矩形（第2课时） 知识分点练 夯基础 知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1．在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 根据矩形的判定定理，结合平行四边形的性质，逐一分析各选项是否能判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项B： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 选项C： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项D： ∵ 平行四边形中本身就有（平行四边形对角相等）， ∴ 此条件不能判定为矩形． 故选：B． 2．若添加一个条件，能使是矩形，则这个条件可以是___________．（写出一个符合要求的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定定理，添加一个角为直角或对角线相等的条件可使平行四边形成为矩形． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当时， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形， 可得：四边形是矩形； 四边形是平行四边形， 当时， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可得：四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一） 3．如图，点M在的边上，连接、．若，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】先证明，得出，根据平行线的性质得出，则，最后根据矩形判定即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为矩形． 知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形 4．如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C． 5．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 6．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： 四边形 是平行四边形， 若添加条件， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形 是矩形． 故答案为 （答案不唯一）． 7．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件_________时，四边形是矩形． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到对角线互相平分，再由中点定义确定四边形的对角线互相平分即可得证； （2）由矩形对角线相等求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 点分别为的中点， ， 则， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形； （2）解：若四边形是矩形，则， 由（1）知，， ， 则当与满足条件时，四边形是矩形． 知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形 8．一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 【答案】C 【分析】根据平行四边形和矩形的判定规则，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； B：对角相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； C：四边形内角和为，若三个角都为，则第四个角也为，四个角都是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意； D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意． 9．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 10．数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析各选项的方案是否能判定该四边形为矩形． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴A选项错误； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴B选项错误； ∵一组对角为直角的四边形，另外两个内角和为，但这两个角不一定都是直角，无法判定为矩形，∴C选项错误； ∵四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 11．如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求．                    (1)依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； (2)请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 【答案】(1)四个角都是直角的四边形是矩形 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，尺规作图，熟知矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的判定定理结合作图方法即可得到答案； （2）如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形（四个角都是直角的四边形是矩形）； （2）解：如解析图①所示，以A为圆心，的长为半径画弧，以C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 如解析图②所示，作线段的垂直平分线与交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧交的垂直平分线于点D，则四边形即为所求． 12．如图，直线与被直线所截，且，、的平分线交于点，、的平分线交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据角平分线的定义得出，再得出，则可得，进而可得，同样的方法可得，由此即可得证． 【详解】证明：∵是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是矩形． 能力综合练 练思维 13．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 14．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与矩形的判定定理，结合矩形的判定条件逐一分析每个条件是否能判定平行四边形为矩形即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，无法判定其为矩形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为矩形； ③∵，四边形是平行四边形， ∴为矩形； ④∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴为矩形； 综上，能够判定为矩形的有个． 故选：C． 15．中经过两条对角线的交点，分别交、于点、，在对角线上通过作图得到点、，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（    ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都为矩形 B．都为菱形 C．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 【答案】D 【分析】图1：连接、、、，证明，得到，然后推出，即可得到四边形为矩形； 图2：连接、，证明，得到，然后推出，即可得到四边形为平行四边形； 图3：连接、，证明，得到，然后证明，得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：图1：连接、、、，如图所示： 在中，对角线与交于， ，， ， 在和中， ， ， ， 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， ，即， 四边形为矩形，即图1为矩形； 图2：连接、，如图所示： 在中，对角线与交于， ，， ， 在和中， ， ， ， 为，的中线， ， 四边形为平行四边形，即图2为平行四边形； 图3：连接、，如图所示： 同理得，， ， 为的角平分线， ∴ ，， ∴， 四边形为平行四边形，即图3为平行四边形． 综上所述，图1为矩形，图2、图3为平行四边形． 16．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 17．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 18．如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 19．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，与交于点， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴分别为的垂直平分线， ∴， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴四边形为矩形， ∴，故②正确； ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理得 ∵， ∴，故③错误； ∴正确的结论是①②， 故选：B． 20．如图，在中，点为斜边上的动点，于点于点，那么线段的最小值是___________． 【答案】 【分析】连接，证四边形是矩形，可得，再由垂线段最短可得：时，线段的长最小，进而解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得：时，线段的长最小， 在中，， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为． 21．如图，已知，于，于，，．点是的中点，则的长为 ________ 【答案】 【分析】延长，取，连接，过点D作于点G，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出，根据中位线的性质求出． 【详解】解：延长，取，连接，过点D作于点G，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴． 22．在中，是边上的一点，是边的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）利用平行线的性质得，根据中点的性质可得，从而可证，进而得，即可根据“一组对边平行且相等”的四边形是平行四边形； （2）根据已知条件先证平行四边形是矩形，再在中，运用勾股定理即可得，进而可得出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形， 在中， ∴， ∴， 故的长为． 23．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 24．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即水平距离），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，求需要将秋千往前推送多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，四边形是矩形，，则可求出的长，进而求出的长，设，则，再利用勾股定理求解即可； （2）当时， ，，利用勾股定理求出此时的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，四边形是矩形，， ∴， ∴， 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：秋千的长度为； （2）解：当时， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：需要将秋千往前推送． 拓展探究练 提素养 25．定义：在一个四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做倍直四边形． (1)探究发现 如图1，在倍直四边形中，，过点D作交于点E．若，求证：． (2)问题拓展 如图2，在倍直四边形中，，，点E在线段上，连接，且，连接，求的度数． (3)方法迁移 如图3，在倍直四边形中，，，，，点E在线段上，作，且交于点P，过点E作于点M交于点N．已知，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先推出，再证明即可； （2）过点作交于点，先证明为等腰直角三角形，得到，接着证明，推出，最后算得答案； （3）延长交的延长线于点，先证明四边形是矩形，得到，，，接着证明是等腰直角三角形，得到，，那么，不妨设，那么，接着证明，得到，，下一步证明，推出，，根据，得到，最后在中，利用勾股定理求得，从而得到，结合（1）可知，． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：过点作交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交的延长线于点，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 不妨设，那么， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 26．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.1矩形（第2课时） 知识分点练 夯基础 知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1．在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．若添加一个条件，能使是矩形，则这个条件可以是___________．（写出一个符合要求的即可） 3．如图，点M在的边上，连接、．若，．求证：为矩形． 知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形 4．如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 5．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 7．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件_________时，四边形是矩形． 知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形 8．一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 9．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 10．数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 11．如图①，已知线段、，．求作：矩形． 下面是小红同学的作图过程，如图②：①过点作的垂线；②过点作的垂线，交于点；连接，即为所求．                    (1)依据小红同学的作法，得到矩形的依据是： ； (2)请再用两种不同于小红同学的作法，作出矩形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）． 12．如图，直线与被直线所截，且，、的平分线交于点，、的平分线交于点．求证：四边形是矩形． 能力综合练 练思维 13．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 14．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 15．中经过两条对角线的交点，分别交、于点、，在对角线上通过作图得到点、，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（    ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都为矩形 B．都为菱形 C．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 16．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 18．如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 19．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 20．如图，在中，点为斜边上的动点，于点于点，那么线段的最小值是___________． 21．如图，已知，于，于，，．点是的中点，则的长为 ________ 22．在中，是边上的一点，是边的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 23．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 24．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即水平距离），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，求需要将秋千往前推送多少？ 拓展探究练 提素养 25．定义：在一个四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做倍直四边形． (1)探究发现 如图1，在倍直四边形中，，过点D作交于点E．若，求证：． (2)问题拓展 如图2，在倍直四边形中，，，点E在线段上，连接，且，连接，求的度数． (3)方法迁移 如图3，在倍直四边形中，，，，，点E在线段上，作，且交于点P，过点E作于点M交于点N．已知，求线段的长． 26．如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $