21.3.1矩形（第1课时）课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.3.1矩形（第1课时） 知识分点练 夯基础 知识点1 矩形的性质 1． 日常生活中矩形建筑与物品十分普遍，矩形区别于平行四边形的核心特征是（    ） A．对边互相平行 B．四个内角均为直角 C．对边长度相等 D．对角线互相平分 2．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为（　　） A． B． C．5 D．6 4．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 5．如图，在矩形中，是延长线上一点，且，连接，取的中点，连接交于点．若，则为_____（用含的代数式表示）． 6．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为_____． 7．如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 8．如图，四边形是矩形，点在的延长线上，．求证：是等腰三角形． 9．如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 10．如图，在中，，，D是的中点，则的长为（    ） A．6 B．3 C． D．4 知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 11．如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍长6米，点到点的距离（    ） A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米 12．如图，在中，分别是的中点，连接．若，则_____． 13．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 14．如图，在中，，点为的中点，连接，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 能力综合练 练思维 15．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 17．如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 19．如下图，在矩形中，，，G，H分别是，上的中点，E，F是对角线上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若四边形为矩形时，求t的值 20．如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分別得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 21．如图1，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)点E是四边形边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点B落在点F处． ①如图2，当点F恰好落在对角线上，求的长． ②如图3，当点E为线段的中点时，延长交于点G，连接，求的长． 22．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B(a，b)，其中a、b满足．D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图2，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若，求∠CEG的度数． 23．小明、小丽、小芳三名同学在课后相约利用矩形纸片进行折纸游戏． (1)小明按如图所示方式沿对角线将矩形纸片折叠，点与点对应，交于点，则的形状为__________．__________． (2)如图，小丽计划将矩形纸片沿折叠（点，分别在边、上），使点与点重合．已知小丽先通过折纸画出了点，请你只用无刻度的直尺帮助小丽画出点：（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图，小芳先将矩形纸片沿对折，然后展开；再将此矩形纸片沿折叠．使点与点重合． ①若，，求的长； ②连接、，当四边形为梯形时，直接写出与满足的数量关系； 拓展探究练 提素养 24．综合与探究 问题情境：如图1，在矩形中，，，点E和点P分别在边和上，将矩形沿直线折叠． (1)若顶点C恰好落在顶点A处，求的长． 特例探究： (2)如图2，若点C恰好落在边的中点处，连接，设与交于点F，求的长． 拓展延伸： (3)如图3，F为的中点，点C恰好落在（含端点）上的点处，当为直角三角形时，请直接写出的长． 25．如图1，平面直角坐标系中有矩形，点坐标为，点坐标为，点在边上，，点在边上，将矩形沿直线翻折，点落在边上的点处．若实数，满足：． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图2，若点从点出发以每秒个单位的速度沿折线的方向匀速运动，当与点重合时运动停止；设点的运动时间为秒，以点、、为顶点的三角形的面积记为，请用含的式子表示；（提示：在答题卡上画出对应简图分析） (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．（提示：结果可以含有根号不化简） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.1矩形（第1课时） 知识分点练 夯基础 知识点1 矩形的性质 1． 日常生活中矩形建筑与物品十分普遍，矩形区别于平行四边形的核心特征是（    ） A．对边互相平行 B．四个内角均为直角 C．对边长度相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】根据矩形与平行四边形的性质差异，只需找出矩形有、普通平行四边形没有的核心特征即可． 【详解】解：∵ 平行四边形的基本性质为对边互相平行，对边长度相等，对角线互相平分，这些性质矩形都具有， 因此选项A，C，D不符合要求； ∵ 矩形是特殊的平行四边形，其区别于普通平行四边形的核心特征是四个内角均为直角， ∴普通平行四边形不满足该性质． 2．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，在中利用两锐角互余求出的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理可得．本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 5．如图，在矩形中，是延长线上一点，且，连接，取的中点，连接交于点．若，则为_____（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】连接交于点，根据矩形的性质得到，，，进而得到，，由得到，根据三线合一性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵是的中点 ∴平分， ∴， ∴． 6．如图，在矩形中，，交于点，，，分别是线段，的中点，则的长为_____． 【答案】 9 【分析】根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得出结果. 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵，分别是线段，的中点， ∴. 7．如图，一面长方形墙壁因年久失修，墙上只残留5块形状大小一样的长方形瓷砖（空白部分），其中，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】47 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y，根据图形可得1个长加上3个宽等于13，一个长加上一个宽等于9，据此建立方程组求解，再求得每块长方形瓷砖的面积后即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：设每块长方形瓷砖的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴图中每块长方形瓷砖的面积为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：47． 8．如图，四边形是矩形，点在的延长线上，．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据矩形的性质得出，，根据可证明四边形是平行四边形，可得，进而得出，即可证明是等腰三角形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 9．如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得，再由勾股定理求出， 设，则，在中，，由此列方程求解即可； （2）先判定，即可得出，进而得到四边形是平行四边形，即可求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 10．如图，在中，，，D是的中点，则的长为（    ） A．6 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，从而得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴，负值舍去， ∵D是的中点， ∴． 知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 11．如图，一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，设木棍中点为，若木棍长6米，点到点的距离（    ） A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米 【答案】B 【分析】根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结果. 【详解】解：由题意，为的中点，， ∴， 即：点到点的距离为3米. 12．如图，在中，分别是的中点，连接．若，则_____． 【答案】 5 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质求出的长度，然后根据三角形的中位线定理求解即可. 【详解】解：∵在中，为斜边的中点，， ∴， ∵分别是的中点， ∴. 13．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据题意可得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，且过的中点， ∵M是的中点， ∴， 当时，最短，此时也最短， ∵， ∴， 即的最小值为． 14．如图，在中，，点为的中点，连接，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)1 【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得； （2）根据等腰三角形的性质得出是的中点，结合是的中点，得出是的中位线，则，结合，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，点是的中点， ∴， 即． （2）解：∵，， ∴是的中点， 又是的中点， 是的中位线， ∴， ∵， ∴． 能力综合练 练思维 15．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得出，再由角平分线得出是等腰直角三角形，得出，证明是等边三角形，得出，，得出，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴ . ∵ 平分， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ． 16．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等求出的长，利用邻补角和等腰三角形性质求出的度数，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 17．如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 【答案】 【分析】作于M，交于N，根据矩形的性质可得 即可求解． 【详解】解：作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴ ∴， ∴ 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 19．如下图，在矩形中，，，G，H分别是，上的中点，E，F是对角线上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若四边形为矩形时，求t的值 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）矩形中，可得，，则，进而证明，由，即可证明； （2）由，可得，，可得，证明，从而可得结论； （3）连接，证明四边形是矩形，可得，求解，分为当点E，F相遇前，当点E，F相遇后，逐步分析解答即可； 【详解】（1）证明：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 如图1，当点E，F相遇前， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， 解得； 如图2，当点E，F相遇后， ∵四边形是矩形， 又∵，， ∴， 解得， 综上所述，四边形为矩形时，或； 20．如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分別得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理得到，，由矩形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）分别计算出两个四边形的面积，比较即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1所示，连接， ∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 同理可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：图1中四边形的面积， 同理可求出， 图2中四边形的面积， ∵， ∴图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 21．如图1，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)点E是四边形边上一点，连接，将沿所在直线折叠，使点B落在点F处． ①如图2，当点F恰好落在对角线上，求的长． ②如图3，当点E为线段的中点时，延长交于点G，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）因为四边形是平行四边形，所以，，由 ，得，得 ．可得四边形是矩形． （2）①先利用矩形性质和勾股定理求出的长度；由折叠性质可得， ；设，用x表示出和，在中，根据勾股定理建立方程求解的长．②先利用矩形性质和E是中点，得出；由折叠性质可得， ，进而得到；可通过证明三角形全等或相似，结合勾股定理求出相关线段长度，最终计算出的长． 【详解】（1）∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，，． ∵ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 平行四边形对角线相等，则四边形是矩形． （2）① ∵ 矩形中 ， 由勾股定理得： ． 由折叠性质得：，，， ∴ ，． 设，则， 在 中由勾股定理： 解得 ​， 即 ．​ ② 以点B为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则 ， ∵E为中点， 则． 由折叠性质：，， 设 ， 则 展开 ∴， 代入，得， 解得（舍去），或， ∴ ， 由两点距离公式： ， 即 ​​​． 22．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B(a，b)，其中a、b满足．D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图2，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若，求∠CEG的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1） 由 得 且 ，解得 ，，从而确定 ；再由矩形 的边 、 分别在 轴与 轴正半轴上，得 ，，进而确定 、 的坐标； （2） 设 ，由折叠性质得 ，，，进而 ；利用 ，，证 ，得 ，从而 ；在 中由勾股定理列方程 求出 ；再求出 、的长度，过 作 于 ，利用等面积法求出 ，进而求出 ，由 得 为等腰直角三角形，从而求出 ． 【详解】（1）解：， ，解得， ， 矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上， ， ; （2）解：设   由折叠得，，， ∴ ∵，    ∴ ∴ ， ∴    解得 ∴，   ∴   如图，过点G作于点I，    解得   ∴    ∴是等腰直角三角形 ∴ 23．小明、小丽、小芳三名同学在课后相约利用矩形纸片进行折纸游戏． (1)小明按如图所示方式沿对角线将矩形纸片折叠，点与点对应，交于点，则的形状为__________．__________． (2)如图，小丽计划将矩形纸片沿折叠（点，分别在边、上），使点与点重合．已知小丽先通过折纸画出了点，请你只用无刻度的直尺帮助小丽画出点：（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图，小芳先将矩形纸片沿对折，然后展开；再将此矩形纸片沿折叠．使点与点重合． ①若，，求的长； ②连接、，当四边形为梯形时，直接写出与满足的数量关系； 【答案】(1)等腰三角形 (2)见解析 (3)① ② 【分析】（1）利用折叠后，再利用矩形对边平行得到，求出答案． （2）由为对应点，可知直线是线段的垂直平分线． （3）①连，利用折叠的对称性得到，再利用勾股定理及等量代换求出答案． ②利用直角三角形的中线等于斜边的一半得出，再利用平行得出，证明，再利用新得的条件证，最后解出答案，最后解出答案． 【详解】（1）解：∵是由折叠所得， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图所示，点为所求点． （3）解：①如图所示，连， ∵矩形沿对折，， ∴， ∵矩形沿折叠，且点与点为对应点， ∴线段是线段的垂直平分线， ∴， 又∵矩形， ∴，，， 设，则， 在和中， ，， ∴， 解得， 即． ②，理由如下： 如图所示，作线段的中点， 连接， ∵矩形，四边形由四边形折叠所得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为梯形， ∴， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵矩形沿线段对折，矩形沿折叠，且点为对应点， ∴，， 在 和中， ， ∴， ∴， 则， 即． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题与直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键点在于理解折叠后的图形与原图形全等，得出新条件，最后利用勾股定理和三角形全等以及方程思想解决问题． 拓展探究练 提素养 24．综合与探究 问题情境：如图1，在矩形中，，，点E和点P分别在边和上，将矩形沿直线折叠． (1)若顶点C恰好落在顶点A处，求的长． 特例探究： (2)如图2，若点C恰好落在边的中点处，连接，设与交于点F，求的长． 拓展延伸： (3)如图3，F为的中点，点C恰好落在（含端点）上的点处，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质得，，设，则，在中，由列方程求解即可； （2）先求出，再根据折叠的性质得，， ，，设，则，在中，由， 解得，最后在中，利用勾股定理计算； （3）由F为的中点，得到，则，即中，当为直角三角形时，或，此时是等腰直角三角形，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，， 根据折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即； （2）解：∵点是的中点， ∴， 在中，， 根据折叠的性质得，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 在中，； （3）解：∵矩形中，，，F为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，， 设，则， ∵中， ∴当为直角三角形时，或， 当时，，则，，即可得到，解得； 当时，，则，即可得到，解得； 综上所述，当为直角三角形时，或． 25．如图1，平面直角坐标系中有矩形，点坐标为，点坐标为，点在边上，，点在边上，将矩形沿直线翻折，点落在边上的点处．若实数，满足：． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图2，若点从点出发以每秒个单位的速度沿折线的方向匀速运动，当与点重合时运动停止；设点的运动时间为秒，以点、、为顶点的三角形的面积记为，请用含的式子表示；（提示：在答题卡上画出对应简图分析） (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．（提示：结果可以含有根号不化简） 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）根据算术平方根与绝对值的非负性得出，根据矩形的性质求出点的坐标，过点作于点，则，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）分情况讨论，当在上时，当在上时，当在上时，分别根据三角形的面积公式列出代数式，即可得到答案； （3）同（2）分类讨论，根据等腰三角形的性质，勾股定理进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴，， 四边形是矩形， ， ， 过点作于点， 则四边形是矩形， ∴， 将矩形沿直线翻折，点落在边上的点处， ， 在中，， 则， ； （2）解：∵ ，，， ， ，， 当在上时，， ； 当在上时，， ； 当在上时，， ； ； （3）解：， 当在上时，不能构成等腰三角形， 当在上时，， ①当时， ， ， 解得，（舍去）， ， ； ②当时， ， ， 解得， ， ； ③当， ， ，无解； 当在上时，， ①当时， ， ； ②当，， 解得（舍去）； ③当时，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 综上所述，为等腰三角形时，或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $