21.3.1 第1课时 矩形的性质-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

∴.△ABE2△CDF.∴.AE=CF.∴.OA-AE=OC-CF,即OE=OF.又OB=OD, 四边形BEDF是平行四边形.(2)99.解：(1)tcm(15-3t)cm(2)如图1，当 四边形PDCQ是平行四边形时，，AD∥BC,∴.PD=CQ,即12一t=3t,解得t=3;如 图2，当四边形PABQ是平行四边形时，'AD∥BC,∴.AP=BQ,即t=15一3t,解得 ;如图3，当四边形PDQB是平行四边形时，：AD∥BC,∴PD=BQ,即12-4 15 15-3t,解得t= 综上所述的值为3或或 3 ,33 图2 图 21.2.3三角形的中位线 知识储备 1.中点2.平行一半DE∥BC,DE=2BC 基础练综合练素养练 1.C2.D3.94.25.66.B7.B8.证明：.D,E,F分别是△ABC的边 AB,BC,AC的中点，EF∥AB,EF=7AB,AD=2AB.·EF LAD.·四边形 ADEF是平行四边形.9.C10.30°11.证明：连接ME,MF,NE,NF.E,M分 别是AD,BD的中点∴ME∥AB,ME=2AB.同理可得FN∥AB,FV=2AB. ME∥FN,ME=FN.,.四边形EMFN是平行四边形..EF与MN互相平分. 12.(1)证明：连接BD,取BD的中点O,连接OE,OF.在△ABD中，E,O分别是AD BD的中点，.OE= AB,OE∥AB.∠OEF=∠BMr.同理可证：OF=CD, ∠OFN=∠CVF.,∠BMF=∠CNF,∴.∠OFN=∠OEF.∴.OE=OF.∴.AB=CD (2)2.5 微专题六 1.6.52.w613.D 方法技巧专题（一）平行四边形判定方法的选择 1.证明：：DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠AFB=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA 中，PAR:R△DEC≌Rt△BFA(H).∠DCA=∠BAC.AB/CD.卫 AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形.2.证明：.△ABC是等边三角形，， ∠ABC=60.∠EFB=60°，∠ABC=∠EFB..EF∥DC.又EF=DC,四边形 EFCD是平行四边形.3.证明：：DE∥BF,∠DEC=∠AFB.又∠ADE= ∠CBF,∴.∠DEC-∠ADE=∠AFB-∠CBF,即∠DAE=∠BCF,.AD∥BC.又 AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形.4.证明：(1)，四边形ABCD是平行四 边形，.AD∥BC.,DF∥BE,.四边形BEDF是平行四边形..DE=BF;(2) 四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,AD∥BC.,DE=BF,∴.AD-DE=BC BF,即AE=CF.又AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.，.AF∥CE.又BE∥ DF,∴.四边形MENF是平行四边形.5.证明：四边形ABCD是平行四边形， OA=OC,OB=OD..AE=CF,BG=DH,..OA-AE=OC-CF.OB-BG=OD- DH,即OE=OF,OG=OH.∴四边形EGFH是平行四边形.6.证明：四边形 ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD..∠CEO=∠AFO.'O是AC的中点，.OC= OA.又∠COE=∠AOF,.△CEO≌△AFO..OE=OF.又OA=OC,..四边形 AECF是平行四边形.7.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，，.AB=CD,AD =BC,∠B=∠D.AF=CE,.AD-AF=BC-CE..DF=BE.∴.△ABE≌ △CDF(SAS).(2)解：添加BE=CE,理由如下：.AF=CE,BE=CE,∴.AF=BE 四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..四边形ABEF是平行四边形. 8.(1)证明：在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,.OA=OC..AE EF,.OE∥CF,OE=)CF.∴·∠EBC=∠FCB,∠BEF=∠CFE.·P是BC中点， BP=CP.'.△PBE≌△PCF(AAS)..'.PE=PF.又BP=CP,∴.四边形CFBE是平行 四边形；(2)：□ABCD,∴.OB=。BD=3,OC= 2AC=4.由(1)知四边形CFBE是 平行四边形OE2CFBE=CF.OE=号BE.OE= 3OB= 3X3=1.:CE1 BD,.∠CEO=90°.∴.CE=√OC-OE=√4-1=√15 21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 第1课时矩形的性质 知识储备 1.平行四边形2.平行且相等都是直角相等且互相平分3.斜边的一半 基础练综合练素养练 1.D2.103.证明：，四边形ABCD是矩形，.AD=BC,∠D=∠B=90°.在Rt 18 △ADF与R△CBE中，AB-CE:R△ADF≌R△CBE(H).DF=BE 4.C5.46.27.60°128.证明：.四边形ABCD是矩形，.BD=AC,DC∥ AB.CE∥BD,·∴.四边形DBEC是平行四边形.∴.BD=EC.∴.AC=EC..∴.∠E= CAE.9.C10.25°11.D12.2.413.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴∠D =90°，DC∥AB..∠BAN=∠AMD.,BN⊥AM,∴.∠BNA=90°=∠D..'AM= AB,.△ABN≌△MAD.(2)4√5一814.(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴.AD =BC=4,∠D=90°.，E为AD的中点，.AE=ED=2.由折叠的性质，得∠EGF ∠D=90,∠GEF=∠DEF=2∠DEG,EG=ED,∴∠EGB=90°=∠A,EG=AE 又BE=BE,·R△EGB≌R△EAB(H).·∠GEB=∠AEB=?∠AEG. ∠BEF=∠GEB+∠GEF=2(∠DBG+∠AEG)=90,即BE⊥EF.(2)解：由 (1)知△EGB≌△EAB,.BG=AB=3..四边形ABCD是矩形，..CD=AB=3,∴. FC=CD一DF=3一DF,BF=BG十FG=3十DF.在Rt△BCF中，由勾股定理，得 FC+BC-BF,即(3-DF)+4=(3+DF).解得DF= 3 微专题七 1.D2.24 第2课时矩形的判定 知识储备 1.直角2.相等3.三 基础练综合练素养练 1.D2.证明：.四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC..E是边AB 的中点，AE=BE.又：EC=ED,△AED≌△BEC.∴∠A=∠B.AD∥BC, ∠A十∠B=180°..∠A=∠B=90°..□ABCD是矩形.3.C4.对角线相等的平 行四边形是矩形5.证明：.AD∥BC,∠BAD=∠BCD,.∠BAD+∠ABC ∠BCD+∠ABC=180°..AB∥CD.又AD∥BC,∴.四边形ABCD是平行四边形. OC=号AC,OB=2BD.:OB=OC,.AC=BD.口ABCD是矩形. 6.∠A=901 (答案不唯-)7.证明：”AB=AC,AE⊥BC,∴∠AEC=90°，∠CAE= 2∠BAC AD平分∠FAC,.∠DAC= 2∠FAC.·∠DAE=∠CAE+∠DAC= 2（∠BAC +∠FACO=号X180=90.又CD⊥AD.∴∠ADC=90.·∠AEC=∠EAD ∠ADC=90°..四边形AECD是矩形.8.A9.B10.1511.证明：(1)四边形 ABCD为平行四边形，.AB∥CD..∠ABE=∠FCE..E为BC的中点，.BE= CE=BC.:∠AEB=∠FEC,·△ABE≌△FCE(ASA).AB=CF.又AB∥ CF,∴.四边形ABFC为平行四边形.(2)由(1)知四边形ABFC为平行四边形，. AE=EF=2AF.·∠AEC=2∠ABC,∠AEC=∠ABC+∠EAB,·∠ABC= ∠EAB.∴AE=BE.由(1)知BE=7BC.又AE=2AF,.BC=AF..平行四边形 ABFC为矩形.12.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB=CD,AB∥CD, OB=OD,OA=OC.∴.∠ABE=∠CDF..点E,F分别为OB,OD的中点，∴.BE 2OB,DF=2OD.∴BE=DE.又AB=CD,∠ABE=∠CDPF,∴△ABE2△CDF; (2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.理由如下：，AC=2OA,AC=2AB, ·AB=OA..E是OB的中点，.AG⊥OB.∴.∠OEG=90°.同理可证CF⊥OD,. EG∥CF.由(1)知△ABE≌△CDF,∴.AE=CF.又AE=EG,.EG=CF..EGL CF.∴.四边形EGCF是平行四边形.，∠OEG=90°，.□EGCF是矩形 21.3.2菱形 第1课时菱形的性质 知识储备 1.邻边2.（1)相等(2)互相垂直平分 一组对角(3)轴对称对角线所在的直 线3.两条对角线乘积的一半 基础练综合练素养练 1.B2.D3.B4.65.(0,-1)6.证明：：四边形ABCD是菱形.AB=AD= BC=DC,∠B=∠D.又∠AEB=∠AFD,∴.△ABE≌△ADF(AAS).∴.BE=DF.. BC=DC,.BC-BE=DC一DF,即CE=CF.7.248.解：，四边形ABCD是菱 形，BD=4,∴.OA=OC=号AC,OB=OD=BD=2,ACLBD..:在Rt△OCD中， ∠OCD=30°，.CD=2OD=4.∴.OC=CD-OD=/42-22=23..∴.AC=2OC =43.S装形m=号AC·BD=?X43X4=83.9.B10.C11.4.8 12.(1)证明：.点E是CD的中点，.CE=DE.又CF∥BD,.∠ODE=∠FCE.又21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 第1课时 矩形的性质 知识储备 5.如图，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形 1.有一个角是直角的 叫作矩形. ADBE的对角线AB与DE交于点O.若OD 2.矩形的对边 矩形的四个角 =2,则AC= ;矩形的对角线 3.直角三角形斜边上的中线等于 01基础练 增必备知识梳理 第5题图 第6题图 知识点一 矩形的边和角的性质 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 于点O,若AC=8,P,Q分别是AD,AO的中 于点O,以下说法错误的是 ( 点，则PQ的长是 A.∠ABC=90 B.AC-BD 7.【教材P69例1变式】如图，在矩形ABCD 中，已知AB=6,∠DBC=30°，则： C.OA-OC D.OA-AD (1)∠DOC= (2)AC的长是 8.【教材P70练习T2变式】 B∠ ○30° 第1题图 第2题图 如图，在矩形ABCD中，AC,BD是对角线， 过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E 2.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,则 求证：∠CAE=∠E. BD的长是 3.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边 AB,CD上，且AF=CE.求证：DF=BE 知识点三直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10, CD是边AB上的中线，则CD的长是() 知识点二矩形对角线的性质 A.20 B.10 C.5 D.2.5 4.如图，在矩形ABCD中， AB<BC,AC,BD相交 于点O,则图中等腰三 第9题图 第10题图 角形的个数是 10.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的 A.8 B.6 C.4 D.2 中线，若∠B=65°，则∠ACD= 53八年级数学·下册 02综合练 身关锭能力提升一 03素养练 季李科去米路有一 11.如图，O是矩形ABCD的 A 14.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E 对角线AC的中点，M是 为AD的中点，F为CD上一点.将△DEF 边AD的中点.若OM=3, 沿EF折叠后，点D恰好落到BF上的点G BC=10,则OB的长是 处 C.34 (1)连接BE,求证：BE⊥EF; A.5 B.4 D.√34 (2)求DF的长 12.如图，在矩形ABCD中，ABD =4,BC=3.若P是CD上 任意一点，PE⊥BD于点 E,PF⊥AC于点F,则PE+PF的值为 13.如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM =AB,且BN⊥AM,垂足为N. (1)求证：△ABN≌△MAD: (2)若AD=2,AN=4,则四边形BCMN的 面积为 微专题七 构造直角三角形斜边上的中线++++++ 模型展示 于点D,CE⊥AB于点E,F,G分别为BC, DE的中点，若ED=12,则FG的长为( D构造直角三角形 斜边上的中线 A.213 B.12 C.10 D.8 ⊙ 模型归纳 在直角三角形中，当已知条件中有斜边中点 时，常作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半来解决线段间的数量关系或 第1题图 第2题图 计算线段的长，同时可以得到两个等腰三角形，进 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC= 一步计算角度 72°，过C作CF∥AB,连接AF与BC相交 【针对训练】 于点G,若GF=2AC,则∠BAG= 1.如图，在△ABC中，BC=20,若BD⊥AC 十十时十 十十十 助学助教优质高数54