8.5.3 平面与平面的平行导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5 空间直线、平面的平行 8.5.3 平面与平面的平行 【学习目标】 1. 理解平面与平面平行的定义，掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，明确定理的条件与结论. 1. 能运用判定定理证明两个平面平行，运用性质定理解决与平面平行相关的简单问题，提升空间想象能力和逻辑推理能力. 1. 掌握平面与平面平行的判定与性质的内在联系，能灵活运用定理进行转化，体会空间几何中“线面平行”与“面面平行”的转化思想. 【学习重点】 1. 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 2. 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 【学习难点】 1. 判定定理中“两条相交直线”条件的理解（不能是平行直线）. 2. 性质定理的应用（需构造第三个平面）. 3. 三种平行关系（线线、线面、面面）的相互转化. 学习任务一 平面与平面平行的判定定理 【合作探究】 1. 问题引入： · 如何判断两个平面平行？根据定义，两个平面平行是指它们没有公共点.但直接判断无公共点很困难.能否通过线面平行来判定面面平行？ · 观察：若一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，能保证这两个平面平行吗？ (1) 若两条直线平行（如长方体中一个面的两条对边），则两平面可能相交（举例：将一本书翻开，书脊处的两条直线都平行于桌面，但书页平面与桌面相交）. (2) 若两条直线相交（如两条邻边都平行于另一平面），则两平面平行（如直尺的两条邻边都与桌面平行时，直尺所在的平面与桌面平行）. 1. 判定定理： · 文字：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. · 符号：，，，，. · 图形：画两个平行平面，其中一个平面内画两条相交直线分别平行于另一平面内的直线. 1. 辨析： (1) 若一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则两平面一定平行吗？ · （不一定，可能相交.） (2) 若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两平面平行吗？ · （不一定，这无数条直线可能都平行于同一条直线，仍不能保证相交.） 【自主梳理】 1. 判定定理：，，，，. 1. 关键：两条直线必须相交. 1. 转化：面面平行 线面平行 线线平行. 学习任务二 平面与平面平行的性质定理 【合作探究】 1. 性质探究： · 若两个平面平行，那么它们具有哪些性质？ (1) 其中一个平面内的直线与另一个平面平行（直线与平面无公共点）. (2) 如果第三个平面与这两个平行平面相交，那么它们的交线有什么位置关系？ · 观察：若，平面 与 交于 ，与 交于 .因为 ，所以 与 无公共点；又 ， 同在平面 内，故 . 1. 性质定理： · 文字：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. · 符号：，，. · 图形：画两个平行平面，被第三个斜平面所截，交线平行. 1. 推论： (1) 夹在两个平行平面间的平行线段相等. (2) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (3) 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. 1. 辨析： (1) 若 ，，则 .（正确） (2) 若 ，则 内的任意直线都与 内的任意直线平行？（错误，可能异面） 【自主梳理】 1. 性质定理：，，. 1. 应用：由面面平行推出线线平行. 1. 常用推论：平行线间的平行线段相等. 学习任务三 综合应用（判定与性质的转化） 【合作探究】 1. 例1：在正方体 中， 是 中点， 分别是 中点.求证： · (1) 直线 平面 ； · (2) 平面 平面 . · 证明： · (1) 连接 ，、 是中点，则 ，又 平面 ， 平面 ，故 平面 . · (2) 同理 ，得 平面 .又 ，且 平面 ，故平面 平面 . 1. 例2：在正方体 中， 是 中点， 是 上的点.当 在何处时，平面 平面 （ 为底面 中心）？ · 解：当 为 中点时，取 中点 ，连接 .可证 和 ，从而得面面平行. 1. 例3：正方体 中， · (1) 求证：平面 平面 ； · (2) 体对角线 与平面 和平面 分别交于 ，证明 . · 证明： · (1) 由平行四边形得 ，，且 ，故面面平行. · (2) 利用平行关系和中位线性质，结合平面 与两平行平面的交线平行，可证得中点的三等分关系. 1. 例4：已知 是 所在平面外一点，平面 平面 ， 分别交 于 ，且 ，求 与 的比. · 解：由面面平行得 ，则 . 【自主梳理】 1. 面面平行判定：在一个平面内找两条相交直线，分别平行于另一个平面. 2. 面面平行性质：两个平行平面被第三个平面所截，交线平行；夹在两个平行平面间的平行线段相等. 3. 转化思想：面面平行 ↔ 线面平行 ↔ 线线平行. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行. （ ） 1. 若两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线平行于另一个平面. （ ） 1. 若两个平面平行，则它们没有公共点. （ ） 1. 夹在两个平行平面间的平行线段相等. （ ） 1. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：在正方体 中， 分别是 上的点，且 .求证：平面 平面 . 证：由比例关系得 ，.故 平面 ， 平面 ，且 ，所以平面 平面 . 例2：已知 ，，，，且 ，、 在 内，、 在 内.求证：. 证：过平行线 、 作平面 ，则 ，，由 得 ，故四边形 为平行四边形，所以 . 【习题巩固】 1. 下列说法正确的是（ ） · A. 一条直线与两个平行平面中的一个平行，则必与另一个平行 · B. 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行 · C. 平行于同一个平面的两个平面平行 · D. 夹在两个平行平面间的平行线段相等 1. 已知平面 ，直线 ，则下列说法正确的是（ ） · A. 与 内所有直线平行 · B. 与 内的无数条直线平行 · C. 与 内的任何一条直线都不平行 · D. 与 内的任何一条直线平行 1. 若平面 ，点 ，过点 的直线中（ ） · A. 不一定存在与 平行的直线 · B. 只有两条与 平行的直线 · C. 存在无数条与 平行的直线 · D. 有且只有一条与 平行的直线（其中 ） 1. 在正方体 中，彼此平行的一对面是（ ） · A. 平面 与平面 · B. 平面 与平面 · C. 平面 与平面 · D. 平面 与平面 1. （选做）已知 ， 且 ，过点 的直线 与 、 分别交于 、，过点 的直线 与 、 分别交于 、，且 ，，，求 的长. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 习题巩固： 1. B、C、D（A错误，直线可能在另一个平面内） 1. B 1. D 1. A 1. 解：由 ，平面 与 、 交于 、，得 ，故 .因为 ，所以 ，解得 ，所以 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $