8.5.3 平面与平面的平行导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 理解平面与平面平行的定义，掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，明确定理的条件与结论.
- 能运用判定定理证明两个平面平行，运用性质定理解决与平面平行相关的简单问题，提升空间想象能力和逻辑推理能力.
- 掌握平面与平面平行的判定与性质的内在联系，能灵活运用定理进行转化，体会空间几何中“线面平行”与“面面平行”的转化思想.
- 平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
- 平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
- 判定定理中“两条相交直线”条件的理解（不能是平行直线）.
- 性质定理的应用（需构造第三个平面）.
- 三种平行关系（线线、线面、面面）的相互转化.
- 问题引入：
如何判断两个平面平行？根据定义，两个平面平行是指它们没有公共点.但直接判断无公共点很困难.能否通过线面平行来判定面面平行？
观察：若一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，能保证这两个平面平行吗？
(1) 若两条直线平行（如长方体中一个面的两条对边），则两平面可能相交（举例：将一本书翻开，书脊处的两条直线都平行于桌面，但书页平面与桌面相交）.
(2) 若两条直线相交（如两条邻边都平行于另一平面），则两平面平行（如直尺的两条邻边都与桌面平行时，直尺所在的平面与桌面平行）.
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- 判定定理：
文字：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
符号：
，
，
，
，
.
图形：画两个平行平面，其中一个平面内画两条相交直线分别平行于另一平面内的直线.
- 辨析：
(1) 若一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则两平面一定平行吗？
（不一定，可能相交.）
(2) 若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两平面平行吗？
（不一定，这无数条直线可能都平行于同一条直线，仍不能保证相交.）
- 判定定理：，，，，.
- 关键：两条直线必须相交.
- 转化：面面平行
线面平行 线线平行.
- 性质探究：
若两个平面平行，那么它们具有哪些性质？
(1) 其中一个平面内的直线与另一个平面平行（直线与平面无公共点）.
(2) 如果第三个平面与这两个平行平面相交，那么它们的交线有什么位置关系？
观察：若
，平面 
与 
交于 
，与 
交于 
.因为 ，所以 与 无公共点；又 ， 同在平面 内，故 
.
- 性质定理：
文字：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
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符号：，
，
.
图形：画两个平行平面，被第三个斜平面所截，交线平行.
- 推论：
(1) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.
(2) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(3) 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
- 辨析：
(1) 若 ，，则 .（正确）
(2) 若 ，则 内的任意直线都与 内的任意直线平行？（错误，可能异面）
- 性质定理：，，.
- 应用：由面面平行推出线线平行.
- 常用推论：平行线间的平行线段相等.
- 例1：在正方体
中，
是 
中点，
分别是 
中点.求证：
(1) 直线 
平面 
；
(2) 平面 
平面 .
证明：
(1) 连接 
，
、
是中点，则 
，又 
平面 ，
平面 ，故 平面 .
(2) 同理 
，得 
平面 .又 
，且 
平面 
，故平面 平面 .
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