8.5.3（1） 平面与平面平行的判定 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.5 空间直线、平面的平行 §8.5.3（1） 平面与平面平行的判定【导学】 【导学目标】 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性 2.能利用判定定理解决有关面面平行问题 【导学重点】能利用判定定理解决有关面面平行问题 【导学难点】直观想象、逻辑推理 【知识要点】 1.知识点 平面与平面平行的判定定理 表示 定理 图形 文字 符号 平面与平面平 行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⇒β∥α 简 记 线面平行，则面面平行 2.平面与平面平行的判定方法 方法一、平面与平面平行的定义； 方法二、平面与平面平行的判定定理. 典型例题 题型一 面面平行判定定理的理解 【例1-1】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A． AD1∥平面EFGH B．BD1∥GH C．BD∥EF D．平面EFGH∥平面A1BCD1 【例1-2】下列命题中，错误的命题是 (　　) A． 平行于同一直线的两个平面平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．平行于同一平面的两直线关系不确定 D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面 【例1-3】α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定α∥β的是(　　) A． α、β都平行于直线a、b B．α内有三个不共线的点到β的距离相等 C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，α∥β，b∥β 【例1-4】已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题： ①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【例1-5】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断： ①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1； ③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是(　　) A.①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【例1-6】设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件： ①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α； ②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ； ④a⊥α，b⊥β，a∥b． 其中能推出α∥β的条件是______(填上所有正确的序号)． 【例1-7】(多选题)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　) A．⇒a∥b B．⇒a∥b C．⇒α∥β D．⇒α∥β 【变式1-1】(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有(　　) A． BM∥平面DE B．CN∥平面AF C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF 【变式1-2】(多选题)已知α,β是两个平面，则下列条件可以得到α∥β的是（ ） A. 平面α内的任何一条直线l，都有l∩β=∅ B. 平面α内有无数条直线与平面β平行 C. 平面α内任意一条直线与平面β内的任意一条直线都没有公共点 D. 平面α内有两条相交直线都在平面β外 题型二 平面与平面平行的证明 【例2-1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1=2BC=4，点G在棱BB1上，BB1=4B1、G，E，F分别为棱CC1，B1C1的中点，A1C1与B1D1相交于点O. 求证：平面OGF∥平面ABE。 【例2-1】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． 求证：平面A1C1G∥平面BEF； 【例2-2】如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形． 证明：平面A1BD∥平面CD1B1； 题型三 线面平行、面面平行的综合应用 【例3-1】如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1． (1)证明：平面ABF∥平面DCE； (2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由． 【例3-2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝． (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.5 空间直线、平面的平行 §8.5.3（1） 平面与平面平行的判定【导学】【解析】 【导学目标】 1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性 2.能利用判定定理解决有关面面平行问题 【导学重点】能利用判定定理解决有关面面平行问题 【导学难点】直观想象、逻辑推理 【知识要点】 1.知识点 平面与平面平行的判定定理 表示 定理 图形 文字 符号 平面与平面平 行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⇒β∥α 简 记 线面平行，则面面平行 2.平面与平面平行的判定方法 方法一、平面与平面平行的定义； 方法二、平面与平面平行的判定定理. 典型例题 题型一 面面平行判定定理的理解 【例1-1】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A． AD1∥平面EFGH B．BD1∥GH C．BD∥EF D．平面EFGH∥平面A1BCD1 【答案】D 【例1-2】下列命题中，错误的命题是 (　　) A． 平行于同一直线的两个平面平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．平行于同一平面的两直线关系不确定 D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面 【答案】A 【解析】选项 A：平行于同一直线的两个平面，可能平行，也可能相交。所以A 是错误命题。 选项 B：根据面面平行的传递性，平行于同一平面的两个平面平行，B正确的。 选项 C：平行于同一平面的两直线，可能平行、相交或异面，所以关系不确定，C正确的。 选项 D：根据面面平行的性质，两平面平行时，一平面内的直线必平行于另一平面，D正确的。 故选：A 【例1-3】α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定α∥β的是(　　) A． α、β都平行于直线a、b B．α内有三个不共线的点到β的距离相等 C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，α∥β，b∥β 【答案】D 【解析】逐一分析判定面面平行的核心条件（需一个平面内有两条相交直线平行于另一平面）： A 选项：若a、b平行，即使α、β都平行于这两条直线，平面仍可能相交. B 选项：不共线的三点到β距离相等，这三点可能在β的同侧（平行），也可能在β的两侧（相交）. C 选项：a、b平行时，无法判定α、β是否平行. D 选项：a、b是异面直线，且a∥α、b∥α、a∥β、b∥β，可在α内作a′∥a、b′∥b，则a′、b′相交且都平行于β，满足面面平行判定定理. 故选：D 【例1-4】已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题： ①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】分析三个命题的正确性： 命题①：m、n相交且都在平面α、β外，由m∥α、m∥β得m平行于α、β的交线，同理n也平行于交线，故m∥n，与 “相交” 矛盾，错误。 命题②：平行于同一直线的两个平面可能相交，错误。 命题③：m∥α、n∥β且m∥n，α、β可能相交，错误。综上，正确命题只有 1 个。 故选：B 【例1-5】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断： ①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1； ③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是(　　) A.①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【例1-6】设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件： ①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α； ②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ； ④a⊥α，b⊥β，a∥b． 其中能推出α∥β的条件是______(填上所有正确的序号)． 【答案】②④ 【解析】：在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交； 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足； 在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，条件④满足． 故答案：②④ 【例1-7】(多选题)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是(　　) A．⇒a∥b B．⇒a∥b C．⇒α∥β D．⇒α∥β 【答案】：AD　 【变式1-1】(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有(　　) A． BM∥平面DE B．CN∥平面AF C．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF 【答案】ABCD 【解析】以ABCD为下底还原正方体，如图所示， 则有BM∥平面ADE，CN∥平面BAF，选项A、B正确； 在正方体中，BD∥FN, FN⊂平面AFN，BD⊄平面AFN，所以BD∥平面AFN， 同理BM∥平面AFN，BM∩BD＝B，BM，BD⊂平面BDM， 所以平面BDM∥平面AFN， 同理平面BDE∥平面NCF，选项C、D正确， 故选：ABCD． 【变式1-2】(多选题)已知α,β是两个平面，则下列条件可以得到α∥β的是（ ） A. 平面α内的任何一条直线l，都有l∩β=∅ B. 平面α内有无数条直线与平面β平行 C. 平面α内任意一条直线与平面β内的任意一条直线都没有公共点 D. 平面α内有两条相交直线都在平面β外 【答案】AC 【解析】选项 A：平面α内的任何一条直线l，都有l∩β=∅，说明α内所有直线都与β无公共点，即α与β无公共点，根据面面平行的定义，可得α∥β，A 正确. 选项 B:平面α内有无数条直线与平面β平行，如果这无数条直线互相平行，不能保证α与β无公共点，所以不能推出α∥β，B 错误. 选项 C:平面α内任意一条直线与平面β内的任意一条直线都没有公共点，说明两个平面没有任何公共点，根据面面平行的定义，可得α∥β，C 正确. 选项 D:平面α内有两条相交直线都在平面β外，只能说明这两条直线与β无交点，但无法保证α与β无公共点，所以不能推出α∥β，D 错误. 故答案：AC. 题型二 平面与平面平行的证明 【例2-1】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1=2BC=4，点G在棱BB1上，BB1=4B1、G，E，F分别为棱CC1，B1C1的中点，A1C1与B1D1相交于点O. 求证：平面OGF∥平面ABE。 【证明】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1=2BC=4，所以BC=2，BB1=4. 由BB1=4B1G，得B1G=1，BG=3。E、F分别为CC1、B1C1的中点， 所以B1F=C1F=1，CE=2. O是A1C1与B1D1的交点，即O为A1C1、B1D1的中点. 在长方体中，A1B1C1D1是矩形，O是B1D1中点，F是B1C1中点， ∴OF是△B1D1C1的中位线，∴OF∥D1C1，且OF=D1C1. 又∵AB∥D1C1，AB=D1C1，∴OF∥AB. ∵OF平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴OF∥平面ABE. ∵BB1∥CC1，BB1=CC1=4，BG=3，CE=2，B1O=B1D1，B1G=1，B1C1=2， ∵BC=B1G，B1A1=B1O（B1A1=BC=2）， ∴△OB1G∼△CBA（B1O∥BC，B1G∥AB，对应边成比例且夹角为直角）， ∴OG∥BE. ∵OG⊂平面ABE，BE⊂平面ABE， ∴OG∥平面ABE. ∵OF∩OG=O，OF⊂平面OGF，OG⊂平面OGF，且OF∥平面ABE，OG∥平面ABE， ∴平面OGF∥平面ABE. 【例2-1】如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点． 求证：平面A1C1G∥平面BEF； 【证明】∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1， ∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G， 又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，且A1F∥BG， ∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G， ∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G， ∴BF∥平面A1C1G， 又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF， ∴平面A1C1G∥平面BEF． 【例2-2】如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形． 证明：平面A1BD∥平面CD1B1； 【证明】：由题设知BB1∥DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1． 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1． 因为A1D1∥B1C1∥BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥D1C． 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1， 所以A1B∥平面CD1B1． 又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD， 所以平面A1BD∥平面CD1B1． 题型三 线面平行、面面平行的综合应用 【例3-1】如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1． (1)证明：平面ABF∥平面DCE； (2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)证明：∵DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，∴DE∥AF， 又DE⊂平面DCE，AF⊄平面DCE，∴AF∥平面DCE， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD， 又CD⊂平面DCE，AB⊄平面DCE，∴AB∥平面DCE， ∵AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF， ∴平面ABF∥平面DCE． (2)存在点G，满足题意，理由如下： 在DE上取DN＝AF＝1，连接FN，NC，可证NC綉BF． 假设存在一点G，过G作MG∥NC交EC于M，连接BG，BM，FG， 如图，由V几何体ABCDEF＝V四棱锥B­ADEF＋V三棱锥B­CDE＝×3×＋×3×＝， 设EG＝t，∵△EGM∽△ENC，∴＝＝． 则V几何体GFBME＝V三棱锥B­EFG＋V三棱锥B­EGM＝×＝， 设M到ED的距离为h， 则＝，∴＝，即h＝t，则S△EGM＝×t×t＝t2， V几何体GFBME＝V三棱锥B­EFG＋V三棱锥B­EGM＝×3××3×t＋×3×t2＝， 即4t2＋8t－21＝0，解得t＝，或t＝－(舍)，则存在点G，满足EG＝， 即G为ED的中点时满足条件． 【例3-2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝． (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． 【解析】：(1)证明：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1， 因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM， 所以＝＝，又因为＝＝，所以＝＝， 所以PQ∥MD1．又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA． (2)当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA．如图， 证明如下：因为＝，即＝， 故＝．所以PR∥DA． 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA， 又由(1)知PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR， 所以平面PQR∥平面A1D1DA． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $